2023年秋学期九年级数学学科学习情况了解（一）
考试分值：150分 考试时长：120分钟
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的二次项系数为 （ ）
A． B． C． D．
3．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D=85°，则∠B的度数为（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
5．如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，圆锥口圆面半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于（ ）．
A． B． C． D．
6．已知是方程的一个根，则的值是（ ）
A． B．4044 C． D．
7．如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
9．方程的解是 ．
10．若关于的方程有一个根是，则 ．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．
12．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交，∠ACD =，则∠BAD = ．
13．如图所示，O为△ABC的外心，若∠BAC＝70°，则∠OBC＝ ．
14．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形边界或没有击中游戏板，则重投掷一次），任意投掷飞镖1次，则飞镖击中阴影部分的概率是 ．
15．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．
16．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“非内接四边形”，已知一个圆的一个非内接四边形是边长为3的菱形，且这个菱形不在圆上的顶点与圆上的点最近距离是为2，若这个顶点在圆的内部，则这个圆的半径为 .
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，．请判断△ABC的形状，并说明理由．
19．为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
20．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米．
(1)求主桥拱所在圆的半径；
(2)若水面下降1米，求此时水面的宽度．
21．某校举行了主题为“新冠肺炎防护”的知识竞赛活动，对八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班，，，，；八（2）班，，，，．通过数据分析，列表如下：
班级 平均分 中位数 众数 方差
八（）
八（）
(1)直接写出表中a，b，c的值；
(2)求d的值，并根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，点、、，
(1)经过A，B，Ｃ三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为___________
(2)的半径为___________（结果保留根号），的度数为___________
(3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径___________（结果保留根号）
(4)点M是第一象限网格中的一个格点，直线与相切，写出满足条件的点M的坐标___________
23．如图，圆内接四边形，，点E是边上一点，且平分
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
24．某超市销售一种饮料，平均每天可售出箱，每箱利润为元，通过调查发现，若每箱降价元，每天可多售出箱，为了让利顾客和扩大销售量，增加利润，超市准备适当降价销售．
(1)若将这种饮料每箱降价元，则每天可多售出______箱，每天的销售量是______箱（用含的代数式表示）；
(2)如果要使每天销售饮料获利元，并且让顾客得到尽可能多的实惠，问每箱应降价多少元？
25．如图，已知中，，以为直径的交于点，与相切，交于点，连接，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若以、的长为方程两个实数根，求的值；
(3)求图中以线段、和所围成图形的面积．
26．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为x1，x2则， ．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
，
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为x1，x2，则 ， ．
(2)初步体验：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)类比应用：已知实数s、t满足，且，求的值．
(4)思维拓展：已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值．
27．在平面直角坐标系中，的半径为1，A、B为外的两点，．给出如下定义：平移线段得到的弦，（，分别是A，B的对应点），线段的最小值称为线段到的“平移距离”
(1)平移线段得到的长度为的弦和，则这两条弦的位置关系是______；在点，，，中，连接点A与点______的线段的长度等于线段到的“平移距离”；
(2)若A、B两点在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；
(3)若点A的坐标是，记线段到的“平移距离”为，
①求的最小值；
②当取得最小值时点的坐标为______．
参考答案
1．D
【分析】依据一元二次方程定义即可判断．
【详解】解： A、，是关于的一元一次方程，不符合题意；
B、，为二元二次方程，不符合题意；
C、，是分式方程，不符合题意；
D、，只含有一个未知数，未知数的最高次数是，二次项系数不为，是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．
2．A
【分析】找出一元二次方程的二次项，即可得出二次项系数．
【详解】解：方程的二次项系数为5，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
3．A
【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点与圆的位置关系．
【详解】解：∵的半径是4，点到圆心的距离是5，大于圆的半径，
∴点在圆外，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系进行解题．
4．A
【分析】根据圆内接四边形的性质可进行求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠D=85°，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
5．B
【分析】圆锥的侧面积S＝πRL（R为圆锥体底面圆的半径，L为圆锥的母线长）．
【详解】这个冰激凌外壳的侧面积为π×3×12=36π(cm2)，
故选择：B．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握公式：圆锥的侧面积S＝πRL（R为圆锥体底面圆的半径，L为圆锥的母线长）是解题的关键．
6．B
【分析】根据方程根的定义，把代入方程中得到，即，整体代入即可得到答案．
【详解】解：根据题意，把代入方程中，
，即，
，
故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义，将代入方程中得到是解决问题的关键．
7．C
【分析】设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，
∴四边形是正方形，
由切线长定理可知，
∵是的切线，
∴，
∵，，，
∴
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
8．D
【分析】根据正六边形的特点分别求出每个内角，外角的度数，以及边长的关系，再根据旋转的特殊计算出旋转规律，由此可知当时，点所在位置，由此即可求解．
【详解】解：∵正六边形，
∴每个内角的度数为，即，
∴正六边形的一个外角为，即与轴正半轴的夹角为，
如图所示，未旋转时，连接，正六边形的边长为，，过点作于点，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∴，
当正六边形绕点顺时针旋转，
∴，即旋转次，正六边形回到起始位置，
∴当时，，即旋转次后，又旋转了个，即回到起始位置后又旋转了，如图所示，
∴，，
∴，即当时，顶点的坐标是，
故选：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形变换与点坐标，掌握几何图形的特点及变换的规律，找出点坐标变换的规律是解题的关键．
9．或
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
10．##
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入方程求解即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，解题关键是直接把已知解代入方程求出未知系数．
11．k≥﹣1
【分析】根据 ≥0列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得 ＝(﹣2)2﹣4(﹣k)≥0，
解得k≥﹣1．
故答案为：k≥﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式 =b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当 >0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 =0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 <0时，一元二次方程没有实数根．
12．30
【详解】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=，
∵∠ACD =，
∴∠BCD=∠ACB－∠ACD =，
∴∠BAD=∠BCD=．
故答案是：30．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
13．20°##20度
【分析】根据圆周角定理，等弧所对的圆心角是圆周角的2倍得出， ∠BOC=2∠BAC，再根据等腰三角形的性质求出∠OBC.
【详解】连接OC
∵∠BAC=70°
∴∠BOC=140°
∵OB=OC
∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2
∴∠OBC=20°
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形底角相等，熟练掌握相关的定理是解题的关键
14．
【分析】击中阴影小正方形的概率等于阴影小正方形与正方形总面积之比．
【详解】解：∵
∴击中阴影小正方形的概率，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了几何概率的求法，掌握阴影部分面积的计算是解题的关键．
15．10
【分析】连接AO,BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．
【详解】如图，连接AO,BO，
∴∠AOB=2∠ADB=36°
∴这个正多边形的边数为=10
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
16．
【分析】根据题意画出图形，如图，得到所在直线过圆心，即为直径，设，则，根据勾股定理得到，求解即可．
【详解】解：如图，菱形中，点C不在圆上，对角线交于点O，
∵，且平分，
∴所在直线过圆心，
与圆的交点为E，即为直径，且，
设，则，
连接，则，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴这个圆的半径为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，圆的性质，正确掌握圆的性质及菱形的性质是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据配方法可进行求解方程；
（2）先移项，然后根据因式分解法可进行求解方程．
【详解】（1）解：
∴；
（2）解：
∴或，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
18．△ABC是等边三角形，理由见解析.
【分析】由圆周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB=60°，故可得出结论
【详解】△ABC是等边三角形，
理由：∵
∴AC=BC，
∵∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有1种，即可求得答案；
（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：（1）∵已确定女生甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中女生乙的只有1种，
∴恰好选中乙的概率为；
故答案为：；
（2）分别用字母A，B表示女生，C，D表示男生
画树状如下：
4人任选2人共有12种等可能结果，其中1名女生和1名男生有8种，
∴（1女1男）．
答：所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．(1)主桥拱所在圆的半径
(2)此时水面的宽度
【分析】（1）以O为圆心，连接，根据三线合一定理可得，设，则，再根据勾股定理即可求出半径；
（2）由题意得，水面下降为，连接，根据水面下降1米，可得，再根据勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）如图，以O为圆心，连接，
由题意可得，D为弧的中点，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，，
∴，
解得：，
∴主桥拱所在圆的半径；
（2）由题意得，水面下降为，连接，
∵水面下降1米，
∴，
则，
∴，即水面的宽度为．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
21．(1)，，
(2)，八（2）班前名同学的成绩较好,理由见解析
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的概念进行解答即可；
（2）先根据方差公式计算方差，然后根据它们的平均数和方差进行判断即可解答本题．
【详解】（1），
将八（1）的成绩排序、、、、，
可知中位数是，众数是，
所以，；
（2）解：
∵，平均数，
∴八（2）班前名同学的成绩较好
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数、方差，解题的关键熟练掌握平均数、众数、中位数的求解方法，以及方差的意义．
22．(1)；
(2)：，；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据垂径定理可作和的垂直平分线，它们的交点即为D点；
（2）利用勾股定理可求得半径的长，根据勾股定理的逆定理可求得；
（3）先根据弧长公式求出的长，再根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式求出底面半径即可；
（4）根据和切线的性质可得，作出图形即可得到点M的坐标．
【详解】（1）解∶如图，分别作，的垂直平分线交于点D，则点D为所求圆心，
由图得，点D的坐标为，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，， ，
∴的半径为：，
∵，且，
∴，
∴，
故答案为：，；
（3）解：∵，
∴的长为：，
设该圆锥底面半径为r，
则，
解得：，
即该圆锥底面半径为，
故答案为：；
（4）解：∵，
∴，
∵直线与相切，
∴，
∴，
如图，当，点M是第一象限网格中的一个格点时，M的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理及其逆定理，弧长公式，圆锥的有关计算，切线的性质等知识，掌握确定圆心的方法是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)DE=
【分析】（1）连接，根据，平分，可得，再由，可得，即可；
（2）过点O作于F，可得四边形为矩形，从而得到， 由勾股定理求出的长，可得到的长，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：过点O作于F，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，且四边形ABED是圆内接四边形，
∴AE是圆的直径，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
24．(1)，；
(2)每箱应降价元．
【分析】（）根据每降价元，多卖箱，列出代数式即可解答；
（）根据每箱的利润销量利润，列出一元二次方程，解方程即可解答．
【详解】（1）设这种饮料每箱降价元，每天可多销售箱，每天的销售量是：箱，
故答案为：，；
（2）根据题意可得：，整理得：，即，
解得：，，
∵为了扩大销售量，
∴，
答：每箱应降价元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到等量关系正确列出方程．
25．(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（）连接，，可证得是的中位线，进一步得出结论；
（）在 中求得，在 中求得，根据根与系数的关系求得的值；
（）连接，， 作，求得等边三角形的面积，的面积，扇形的面积，进而求得结果．
【详解】（1）解：，理由如下，如图，连接，，
∵是的直径,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴
∴；
（2）在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
在中，，
∴，
（3）连接，，作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴线段、和所围成图形的面积为：．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，扇形面积公式，直角三角形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握切线的性质，添加辅助线构造直角三角形．
26．(1)3，-1
(2)-11
(3)
(4)c的最大值为1
【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得：，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（3）可把s与t看作是方程的两个实数根，则有，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（4）将a、b看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值．
【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为x1，x2，
，
故答案为：3，-1．
（2）解：一元二次方程的两根分别为m，n，
，
．
（3）解：实数s，t满足，且，
s，t是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
．
，
．
（4）解： ，
将a、b看作是方程的两实数根．
而，
，
，
即，
的最大值为1．
【点睛】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
27．(1)平行，
(2)
(3)①3，②或
【分析】（1）由直线的平移和“平移距离”的定义即可得出；
（2）过点O作于点H，交弦于点P，得出；
（3）①作出图形，根据图象确定点的最小值所在的位置，即可求出平移距离的最小值，②求出直线的解析式根据平移知识求出M点的坐标，进而确定点的坐标，再由平移知识求出B点坐标即可．
【详解】（1）解：由题知，
由“平移距离”的定义可知AP1的长度是线段AB的“平移距离”，
故答案为：平行，；
（2）线段在直线上，令直线与x轴交于点C，与y轴交于点D；
平移之后与圆相交，得到的弦为，
过点O作于点H，交弦于点P，
∴，
令，，解得：，
令，，
∴，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
由垂径定理得：，
∴；
（3）①∵点A的坐标为， ，
∴点B在以A为圆心，为半径的圆上，
连接OA交圆O于M，
则，
∴，
∵在圆O上，
∴当A点与M重合时有最小值为；
②当取最小值时，即点与M点重合，
设直线的解析式为，
代入A点坐标得，
解得，
即直线的解析式为，
设点M的坐标为，
∵，
∴，解得：，（舍），
∴此时M点的坐标为，
∴A点向下平移个单位，向左平移个单位即可得到M点坐标，
设点的坐标为：，
∵，点在上，
∴，解得：或，
则点坐标为或，
将点向上平移个单位，向左平移个单位即可得到B点坐标，
∴B点坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查圆的综合题，涉及一次函数的性质，平移的性质等知识，正确理解“平移距离”的定义是解题的关键．
