2023-2024 学年第一学期
第一次月考试卷
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合
题目的一项）
1. 直线3x y 1 0的斜率为（ ）
A．3 B． 3 C．1 D． 1
2． 直线 l经过 A( 2,3),B( 1,2)两点，则直线 l的倾斜角是（ ）
A π B 3π C π． ． ． D 2π．
4 4 3 3
3. 在空间直角坐标系 中，点 (2,3,6)在坐标平面 内的射影为点 ，则
的坐标为．( )
A. (0,3,6) B. (2,0,6) C. (2,3,0) D. (2,0,3)
4.如果 A 3,1 、 B 2,k 、C 8,11 在同一直线上，那么 k的值是
A．-6 B．-7 C．-8 D．-9
5. 已知空间向量a ( ,2,1),b (2, , 1),a∥b，则实数 （ ）
A．0 B． 2 C． 2 D．2
6. 已知直线 m 1 x 3y 1 0与直线4x my 1 0平行，则 m的值为（ ）
A．3 B． 4 C．3或 4 D．3或 4
7. 已知平面 的法向量为 = ( 2, 2,1)，点 ( , 3,0)在平面 内，且点
( 2,1,4) 10到平面 的距离为 ，则 =( )
3
A. 1 B. 11 C. 1或 11 D. 21
8. 已知空间中三点 (0,1,0)， (2,2,0)， ( 1,3,1)，则 ( )
A. 与 是共线向量 B. 2 5 5的单位向量是 , , 0
5 5
C. 与 55夹角的余弦值是 D. 平面 的一个法向量是(1, 2,5)
11
二、多选题（本大题共 4小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）
9.. 已知向量a 1,1,1 ，b 1,0,2 ，则下列正确的是（ ）
{#{QQABAYSAoggAAhAAAQgCAw1SCgMQkAGACAoGBFAIoAABgBNABAA=}#}
A． a b 0,1,3 B． a 3 C．a b=2 D a π． ,b 4
10.下列说法正确的是( )
A. 截距相等的直线都可以用方程 + = 1 表示
B. 方程 + 2 = 0( ∈ )能表示平行 轴的直线
C. 经过点 (1,1)，倾斜角为 的直线方程为 1 = tan ( 1)
D. 经过两点 1( 1, 1)， 2( 2, 2)的直线方程 ( 2 1)( 1) ( 2
1)( 1) = 0
11．下列结论中正确的有 ( )
A. 过点( 1,2)且与直线 2 + 1 = 0平行的直线的方程为 2 + 4 = 0
B. 过点( 1,2)且与直线 2 + 1 = 0垂直的直线的方程为 + 2 3 = 0
C. 若直线 1：ax + 3 + 4 = 0与直线 2： + ( 2) + 2 5 = 0平行，则
的值为 3
D. 过点 ( 3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 + + 1 = 0
12.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为棱BC,CC1,BB1的中点，则
下列结论正确的是（ ）
A．直线 EF到平面 A1ADD1的距离为 2
4
B．点 A1到平面 AEF的距离为 3
C 4 2．点 A1到直线 AF的距离为
3
D．点C与点G到平面 AEF的距离相等
三、填空题（本大题共 4小题，共 20.0 分）
13. 已知直线 过定点(1,0)，且倾斜角为3，则直线 的一般式方程为
14.两平行直线 + 2 1 = 0与 2 + 4 + 3 = 0的距离为
15．在空间直角坐标系中，已知向量OA 1,2,4 ,OB 2,1,3 ,OP 1,1,2 ，则PA PB
的值为
16.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍
{#{QQABAYSAoggAAhAAAQgCAw1SCgMQkAGACAoGBFAIoAABgBNABAA=}#}
交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽
火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最
短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 ，若将军从点
处出发，河岸线所在直线方程为 ．则“将军饮马”的最短总
路程为_______．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤）
17. (本小题 10.0分)已知△ 的三个顶点分别为 ( 3,0)， (2,1)， ( 2,3)，
求：
(1) 边所在直线的方程；
(2) 边的垂直平分线 的方程．
18．如图，在棱长为 3的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E是棱 A1B1上的一点，且
A1E 2EB1，点 F是棱 A1D1上的一点，且 A1F 2FD1．
(1)求异面直线 AD1与CF所成角的余弦值；
(2)求直线BD到平面CEF的距离．
19.已知直线 1: + 3 + 1 = 0, 2: + ( 2) + = 0.
(1)若 1 ⊥ 2，求实数 的值；
(2)当 1// 2时，求直线 1与 2之间的距离．
{#{QQABAYSAoggAAhAAAQgCAw1SCgMQkAGACAoGBFAIoAABgBNABAA=}#}
20．如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD为正方形，PA 底面 ABCD，AB AP，
E为棱 PD的中点．
(1)证明： AE CD；
(2)求直线 AE与平面 PBD所成角的正弦值
21．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB AC 2， BAC 120 ， AA1 3 .
（1）点D在棱 AA1上，且 BD A1C，求 AD的长；
（2）求二面角C A1B1 B的大小.
22. (本小题 12.0分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， ⊥ ， = 6，
= 8， = 10，∠ = 45 ， 为 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)线段 上是否存在一点 ，满足 ⊥ ？若存在，试
求出二面角 的余弦值；若不存在，请说明理由．
{#{QQABAYSAoggAAhAAAQgCAw1SCgMQkAGACAoGBFAIoAABgBNABAA=}#}数学月考参考答案
单选题：
1-5： B B B D C 6-8：B C D
多选题：
9：AB 10;BD 11:AB 12:ABC
填空题：
13： = 14: 15:2 16:5
解答题：
17：解：(1)因为直线 经过 (2,1)和 ( 2,3)两点，
1 = 2由两点式得 的方程为 ，即 + 2 4 = 0.
3 1 2 2
(2) 的斜率 = 3 11 =
1
，则 的垂直平分线 的斜率
2 2 2 2
= 2，
由斜截式得直线 的方程为 = 2 + 2，即 2 + 2 = 0．
18（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
A 3,0,0 ,D1 0,0,3 ,C 0,3,0 ,F 1,0,3 ,E 3, 2,3 ，
AD1 3,0,3 ,CF 1, 3,3 ，
cos AD ,CF A D 1 C F 3 1 3 3 38所以 1 AD CF 3 2 ，1 32 12 3 2 32 19
38
所以异面直线 AD1与CF所成角的余弦值为 ；
19
（2）连接D1B1，显然D1B1 / /DB，因为 A1E 2EB1， A1F 2FD1．
{#{QQABAYSAoggAAhAAAQgCAw1SCgMQkAGACAoGBFAIoAABgBNABAA=}#}
所以D1B1 / /EF，于是DB / /EF，
因为BD 平面CEF，EF 平面CEF，
所以BD / /平面CEF，
因此直线 BD到平面CEF的距离就是点D到平面CEF的距离，
设平面CEF的法向量为n x, y, z ，
CF 1, 3,3 ,CE 3, 1,3 ，
n CF 0 x 3y 3z 0
则有 n 3,3,4
n CE 0 3x y 3z 0
，
DC n 9
DC 0,3,0 ， cos DC, n DC n DC n
点D到平面CEF的距离为：
DC cos 9 9 9 9 34 DC,n
n 3 2 32 . 42 34 34
19 解：(1)当 = 2时， 1与 2不垂直，
当 ≠ 2时，因为 1 ⊥ 2，
∴ · 1 = 1，
3 2
= 3解得 ，
2
(2由题意得 ≠ 2且 ≠ 0，
∵ 1// 2，
∴ = 1，
3 2
解得 = 3 或 = 1．
当 = 1时， 1与 2重合，故舍去；
当 = 3时， 1为 3 + 3 + 1 = 0， 2为 + + 3 = 0，即 3 + 3 +
{#{QQABAYSAoggAAhAAAQgCAw1SCgMQkAGACAoGBFAIoAABgBNABAA=}#}
9 = 0，
∴ = 8 = 4 2．
18 3
4 2
综上：当 = 3 时 1/ / 2，它们间的距离是 ．3
20 :
(1）因为 PA 底面 ABCD，CD 平面 ABCD，故PA CD .
又 ABCD为正方形，故 AD CD .又 PA AD A，PA, AD 平面 PAD，故CD
平面PAD .又 AE 平面 PAD，故 AE CD .
（2）以A为坐标原点， AB， AD， AP分别为 x， y， z轴建立如图空间
直角坐标系.
设 AB AP 2，则 A 0,0,0 ，B 2,0,0 ，D 0,2,0 ，P 0,0,2 ，E 0,1,1 .
AE 0,1,1 ，BP 2,0,2 ，DP 0, 2,2 .
n BP 0 2x 2z 0
设平面 PBD的法向量n x, y, z ，则 n
x 1
DP
0，即 2y 2z 0
，设 则
n 1,1,1 .
uuur r
AE n
设直线 AE与平面 PBD所成角为 ，则 sin
2 6
uuur r .
AE n 2 3 3
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21
{#{QQABAYSAoggAAhAAAQgCAw1SCgMQkAGACAoGBFAIoAABgBNABAA=}#}
22:
(1)证明：取 的中点 ，连接 和 ，过点 作 ⊥ ，垂足为
点 ．
在平面 内，
∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴ // ，
又 // ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ = = 8， = = 6，
在 △ 中，
则 = 2 2 = 102 82 = 6，
∴ = 12，
而 ， 分别为 ， 的中点，
∴ // 且 = 6，
又 // ，
∴ // 且 = ，四边形 为平行四边形，
∴ // ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 .
(2)解：由题意可得 ， ， 两两互相垂直，
如图，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空
间直角坐标系 ，
{#{QQABAYSAoggAAhAAAQgCAw1SCgMQkAGACAoGBFAIoAABgBNABAA=}#}
则 (8,0,0)， (8,12,0)， (0,6,0)， (0,0,8)．
假设 上存在一点 使 ⊥ ，
设点 的坐标为(8, , 0)(0 < < 12)，
则 = (8, 6,0)， = (8,12,0)，
由 · = 0，得 = 2．3
又平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )．
又 16= (0,6, 8)， = ( 8, , 0)．3
3
由 · = 0
6 8 = 0 =
，得 4
· = 0 8 +
16 = 0即 ,
3 =
2
3
不妨令 = 12，则 = (8,12,9)．
cos , = · = 8 = 8则 〈 〉 | || | 1× 82+122+92 17．
又由图可知，该二面角为锐二面角，
— — 8故二面角 的余弦值为 .
17
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