广州市部分中学2023-2024学年高三上学期第二次月考
数 学
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答
题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡
上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答
卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，
先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以
上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分 选择题（共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．己知集合，，则=( )
A． B． C． D．
2．在复数范围内方程的解为( )
A． B． C． D．
3．己知函数的图象关于点(1，1)对称，则下列函数是奇函数的是( )
A． B．
C． D．
4．两个单位向量与满足，则向量与的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．若，，，则( )
A． B．
C． D．
6．某企业在生产中位倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知
在过滤过程中污水的剩余污染物数量N(mg/L)与时间t(h)的关系为,其中N0为
初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，
则可计算前6小时共能过滤掉污染物的( )
A． B． C． D．
7．设为等比数列，则“对于任意的，”是为递减数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，
则( )
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．己知一组样本数据中，与样本平均数相等，
，则去掉以下哪个数据以后，新的样本数据的方差一定比原来的样本数据的方差
小？( )
A． B． C． D．
10．在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，
则MN∥平面ABC的有( )
11．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时
出发．P的角速度大小为,起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为
,起点为射线与的交点，则当Q与P重合时，Q的坐标
可以为( )
A．
B．
C．
D．
12．若图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数的“友情点
对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友
情点对”，则实数a的值可以是( )
A．0 B． C． D．
第二部分 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．己知直线与圆相切，则半径= .
14．己知函数,是奇函数，则= .
15．将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好
有1名同学的排法有 种．
16．若函数，，则函数在上平均变化率的取值范围
为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
记数列的前n项和为Sn，对任意正整数n，有
(1)证明：数列为常数列；
(2)求数列的前n项和Tn
18．（本小题满分12分）
己知锐角三角形ABC中，,
(1)求证：；
(2)设,求CD边上的高.
19．（本小题满分12分）
中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：℃）关于时间x(单位：min)的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.
表中：,
(1)根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；
(2)己知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据(1)中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
附：(1)对于一组数据，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
(2)参考数据：，，，，
20．（本小题满分12分）
如图1，在平行四边形ABCD中，，，将沿AC折起，使得点D到点P的位置，如图2，经过直线PB且与直线AC平行的平面为，平面平面
,平面平面
(1)证明：
(2)若，求直线BC与平面ABP所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）
平面直角坐标系xOy中，己知双曲线（）的离心率为，实轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点P(0，t)且垂直于y轴(P位于原点与上顶点之间)，过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若
求点P的坐标．
22．（本小题满分12分）
己知函数,（其中a为常数，e是自然对数的底数）．
(1)若,求函数在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
数学参考答案
选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C D D A B C A AD AB ABD BD
填空题：
13． 14． 15．20： 16．
选择填空部分解析
6、解析：由己知,可得，则6个小时后剩余污染物数量为，故前6小时共能过滤掉污染物的
7、解析：由题意不变号，所以公比
q>0
8、解析：由题意，
，当且仅当时，取得最大值
9、解析：根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，故AD正确；去掉x5，样本平均数不变，则根据方差公式可知方差变大，故B错误；去掉x6样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件，故C错误。
11、解析：设当Q与P重合时时间为t，角为，则由己知
解得：（），当时，，故点的坐标为
当时，故点的坐标为即
当时，故点的坐标为即
12、解析：若有两个友情点对，则且与在x>0时有两个交点，
则，即与在时有两个交点，
对于，得，当时，单调递增，
当时，单调递减，，，又x→0时，→0，时，
的大致图象如图，要使与在时有两个交点，则，即，故选BD.
解答题：
17．(10分)解：(1)由题意，，
两式相减得：
即此时
即所以，即数列为常数列….5分
(2)取,有，解得
由(1)可得，故
所以…．10分
18、解：(1)证明：
所以
(2)解：，
即，将代入上式并整理得
解得，舍去负值得
设AB边上的高为CD. 则
由得，所以AB边上的高等于
19、解：(1)更适宜的回归方程为（2分）
由，可得两边取自然对数，得
令则（4分）
计算，得，结合表中数据，可得
结合参考数据可得（6分）由
所以茶水温度y关于时间x的回归方程为（8分）
(2)由题， 25℃室温下，茶水温度降至60摄氏度口感最佳，
即所以
解得 (11分)
故在室温下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳引用口感． (12分)
20、解：(1)因为平面，平面PAC，平面平面
所以（线面平行性质定理的应用）．（2分）
同理，因为平面，平面平面平面ABC =n，
所以（4分） 所以（5分）
(2)由题，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x,y轴建立空间直角坐标系，则
,,设
则由，可得，得所以（8分）
设平面PAB的法向量为,则
,又所以，得
，令，可得，所以 (10分)
又，（11分）
所以，直线BC与平面ABP所成角的正弦值为 (12分)
21．解：(1)因为实轴长为4，即，（1分）
又，所以（2分）（3分）
故C的方程为 （4分）
(2)设，，
由题意可知，则直线直线
因为M在直线l上，所以，代入直线AG方程，可知
故M坐标头所以（6分）
又
由,则，整理可得（7分）
当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，
故设直线代入双曲线方程：中
可得听以，（9分），
又
所以(11分)
故，即，所以点P坐标为(12分)
22．解：(1)根据题意可知：，，所以，
所求的直线方程为，即（3分）
(2)方法一：，故不等式恒成立
可等价转化为：在上恒成立， （4分）
记，，所以
记，则，在上递增，
由得（6分）
记，，则
所以在上是增函数，又，
所以使得即
则当时，，即
当时，，即
故在上单调递减，在上单调递增，
所以②， （9分）
由①式可得，
代入②式得
因为，即故，即
所以时，恒成立，
故a的取值范围为(12分)
方法二：根据己知条件可得：
且恒成立；故可等价转化为：恒成立．（4分）
设则单调递增，因而恒成立，（8分）
即恒成立．令则
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以从而即为所求．(12分)
