金华一中2023学年高一十月月考试卷
数 学
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.
1. 已知集合,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由补集和交集的定义求解即可.
【详解】由题可得,则.
故选:C
2. 给出下列关系式,错误的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系,以及集合与集合之间的关系,逐项判定,即可求解.
【详解】A中,根据元素与集合间的关系,可得,所以A正确;
B中,根据空集是任何集合的子集,可得,所以B正确;
C中,根据集合与集合间的关系,可得,所以不正确;
D中,根据集合的定义,可得,所以D正确.
故选:C.
3. 函数的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得,求解即可.
【详解】依题意可得,解得,
所以函数的定义域是.
故选:B.
4. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先解分式不等式,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解:因为,所以,
,,
或,
当时,或一定成立,所以“”是“”的充分条件;
当或时,不一定成立,所以“”是“”的不必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
5. 已知关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是( )
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由一元一次不等式求得,且;由此化简二次不等式并求出解集.
【详解】由关于x的不等式的解集是,
得且,
则关于x的不等式可化为,
即,
解得:或,
所求不等式的解集为:.
故选:A.
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法,属于基础题.
6. 用一架两臂不等长的天平称黄金,先将的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,则两次共称得的黄金( )
A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】由杠杆原理与基本不等式求解
【详解】设左右两臂的长度为,两次取的黄金重量为克,显然,
则,化简得,由基本不等式得
故选:A
7. 对任意,,都有,则实数的最大值为
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】原不等式化为,换元得到恒成立,结合二次函数图像的性质列式求解即可.
【详解】∵,,∴
令,∴,不妨设
∴或,解得:或
综上:,∴的最大值为
故答案为B.
【点睛】本题主要考查学生对于齐二次不等式(或方程)的处理方法,将多变量问题转化成单变量问题,进而利用二次函数或者基本不等式进行求解.
8. 若,且,则的最小值为( )
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把转化为,再将,根据基本不等式即可求出.
【详解】,且,
,
,
,
,
当且仅当,即,时取等号,
故的最小值为,
故选:D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 若,则( )
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式的性质及基本不等式一一判定即可.
【详解】对于A项,,
因为,所以,即A正确;
对于B项,,由上可知,即B正确;
对于C项,,即C错误;
对于D项,,当且仅当时取得等号,
又,所以,即D正确.
故选:ABD
10. 下列命题正确的是( )
A. 命题“,”的否定是“,”
B. 与是同一个函数
C. 函数的值域为
D. 若函数的定义域为,则函数的定义域为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A;求出两个函数的定义域可判断B;利用换元法令,求出的值域可判断C;根据抽象函数定义域的求法可判断D..
【详解】对于A,命题“,”的否定是“,”,故A正确;
对于B,函数的定义域为,函数的定义域为,
两个函数的定义域不一样,所以两个函数不是同一个函数,故B错误;
对于C,函数的定义域为,
函数,令,则,
所以,所以函数的值域为,故C错误;
对于D,若函数的定义域为,可得,则函数的定义域为,故D正确.
故选:AD.
11. 若实数a,b满足,则下列说法正确的有( )
A. 的取值范围为 B. 的取值范围是
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断AB;求得,然后利用不等式的性质判断CD;
【详解】由,两式相加得,即,故A正确;
由,得,又,两式相加得,即,故B正确;
设,
所以,解得,则,
因为,所以,
又因为,所以,
所以,即,故C正确,D错误.
故选:ABC.
12. 若,,且,下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为6
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A,可通过直接使用基本不等式去求解mn的最大值;选项B,可使用“1”的代换,从而构造出乘积为定值的两项和的关系,然后再使用基本不等式求解;选项C,首先先将扩大,然后再让式子乘以两个分式分母组成的和,构造出乘积为定值的两项和的关系,然后再使用基本不等式求解,选项D,可直接求解出该式子的最小值,从而完成判断求解.
【详解】选项A,因为,,
所以,当且仅当,即时等号成立,故该选项正确;
选项B,因为,,
当且仅当,即时等号成立,故该选项不正确;
选项C,,
当且仅当,即时等号成立,
故该选项正确;
选项D,,当且仅当,
即时等号成立,故该选项正确;
故选:ACD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13 已知,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
在中,将x换成x-1,代入即得f(x).
【详解】在中,将x换成x-1,
可得,
故答案为:
【点睛】本题考查了函数解析式的求法,考查了学生综合分析问题的能力,属于基础题.
14. 已知集合,,且,则___________.
【答案】3或
【解析】
【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质,即可求得答案.
【详解】因为,,
故,
又,若,若,则;
当时,,,符合题意;
当时,,,不合题意,
当时,,,符合题意,
故或,
故答案为:或
15. 命题“对任意的,总存在唯一的,使得”成立的充要条件是______.
【答案】
【解析】
【分析】方程变形为,转化为函数与与有且仅有一个交点,依据,,分类讨论,数形结合,求解a的范围即可
【详解】由得:;
当时,,则,解得:,∵,,满足题意;
当时,;若存在唯一的,使得成立,则与有且仅有一个交点,在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示,由图象可知:当时,与有且仅有一个交点,∴,解得:,则;
当时,,结合图象可得:,解得:,则;
综上所述:原命题成立的充要条件为,
故答案为:-116. 定义为与x距离最近的整数(当x为两相邻整数算术平均数时,取较大整数),令函数,如:,,,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】首先确定各相邻整数算术平均数在中哪两个数之间,再根据函数新定义判断的对应值,进而求目标式的值.
【详解】,,
,,
,,
,,
,
所以,,,
,,,
,,,
,
所以.
故答案为:
【点睛】关键点点睛:找到各相邻整数算术平均数在中的位置为关键.
四、解答题:本小题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合,.
(1)当时,求;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】(1)解一元二次不等式化简集合A,再把代入,利用补集、交集定义求解作答.
(2)由已知可得,再利用集合的包含关系分类求解作答.
【小问1详解】
解不等式,得,即,
当时,,,
所以.
【小问2详解】
由(1)知,,由,得,
当,即时,,满足,因此;
当,即时,,即有,
则,解得,因此,
所以实数取值范围.
18. 要设计一张矩形广告,该广告含有左 右全等的两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为200,四周空白的宽度为2,两栏之间的中缝空白的宽度为4.请设计广告的长与宽的尺寸,使矩形广告面积最小,并求出最小值.
【答案】广告的长为28,长为14时,可使广告的面积最小,最小值为392
【解析】
【分析】
先设一个矩形栏目的长为和广告的面积为S,接着用表示出栏目的宽、广告的长、广告的宽;再建立函数关系,接着由基本不等式求面积的最小值;最后判断等号成立的条件并作答.
【详解】解:设一个矩形栏目的长为x,广告的面积为S.
则两栏的面积之和为200,得宽为,广告的长为,宽为,其中
广告的面积,
当且仅当即时,等号成立,
此时广告的宽为,高为,S取得最小值392.
答:广告的长为28,长为14时,可使广告的面积最小,最小值为392
【点睛】本题考查根据实际问题建立函数关系、利用基本不等式求最值,是基础题.
19. (1)已知,,试比较与的大小并证明;
(2)如果x,,比较与的大小并证明.
【答案】(1),证明见解析;(2),证明见解析.
【解析】
【分析】(1)(2)应用作差法比较代数式的大小关系即可.
【详解】(1),证明如下:
,
若,则,故,即;
若,则;
若,则,故,即;
综上,.
(2),证明如下:
,
当且仅当时等号成立,故.
20. 设.
(1)若不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围;
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】(1)讨论和两种情况,按开口方向和判别式列不等式组,解出实数的取值范围;
(2)按,和三种情况分类讨论,当,比较和1的大小,分情况写出不等式的解集.
【小问1详解】
由得,恒成立,
当时,不等式可化为,不满足题意;
当时,满足,
即,解得;
故实数的取值范围是.
【小问2详解】
不等式,等价于.
当时,不等式可化为,所以不等式的解集为;
当时,不等式可化为,此时,
所以不等式的解集为;
当时,不等式可化为,
①当时,,不等式的解集为;
②当时,,不等式的解集为或;
③当时,,不等式的解集为或.
综上:当时,等式的解集为或
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为或;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
21. 已知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1.8元/千克,每次购买配料需支付运费236元,每次购买来的配料还需支付保管费用,其标准如下:7天以内(含7天),无论重量多少,均按10元/天支付;超出7天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,以每天0.03元/千克支付.
(1)当9天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用是多少元?
(2)设该厂天购买一次配料,求该厂在这天中用于配料的总费用(元)关于的函数关系式,并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
【答案】(1)88元;(2),天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少;
【解析】
【分析】(1)首先求出第天、第天剩余配料的重量,再根据题意计算可得;
(2)分和,两种情况讨论,分别求出函数解析式,设该厂天购买一次配料平均每天支付的费用为元,即可得到的解析式,再利用基本不等式计算可得;
【详解】解:(1)第8天剩余配料(千克),
第9天剩余配料(千克),
当9天购买一次时,该厂用于配料的保管费用(元,
即当9天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用是88元.
(2)①当且时,;
②当且时,,
.
所以,
设该厂天购买一次配料平均每天支付的费用为元,
当且时,,
当且时,,
当且时,当且仅当时,有最小值(元,
当且时,
当且仅当即时取等号,
当时有最小值393元,
即天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少;
22. 如果一个函数的值域与其定义域相同,则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且.
(Ⅰ)若,,求的定义域;
(Ⅱ)当时,若为“同域函数”,求实数的值;
(Ⅲ)若存在实数且,使得为“同域函数”,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)当,时,解出不等式组即可;
(Ⅱ)当时,,分、两种情况讨论即可;
(Ⅲ)分、且、且三种情况讨论即可.
【详解】(Ⅰ)当,时,由题意知:,解得:.
∴的定义域为;
(Ⅱ)当时,,
(1)当,即时,的定义域为,值域为,
∴时,不是“同域函数”.
(2)当,即时,当且仅当时,为“同域函数”.
∴.
综上所述,的值为.
(Ⅲ)设的定义域为,值域为.
(1)当时,,此时,,,从而,
∴不是“同域函数”.
(2)当,即,
设,则的定义域.
①当,即时,的值域.
若为“同域函数”,则,
从而,,
又∵,∴的取值范围为.
②当,即时,的值域.
若为“同域函数”,则,
从而,
此时,由,可知不成立.
综上所述,的取值范围为金华一中2023学年高一十月月考试卷
数 学
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.
1 已知集合,,,则( )
A. B. C. D.
2. 给出下列关系式,错误的是( )
A. B.
C. D.
3. 函数的定义域是( )
A. B. C. D.
4. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
6. 用一架两臂不等长天平称黄金,先将的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,则两次共称得的黄金( )
A. 大于 B. 等于 C. 小于 D. 无法确定
7. 对任意,,都有,则实数的最大值为
A. B. C. 4 D.
8. 若,且,则的最小值为( )
A. 3 B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 若,则( )
A. B. C. D.
10. 下列命题正确的是( )
A. 命题“,”的否定是“,”
B. 与是同一个函数
C. 函数的值域为
D. 若函数的定义域为,则函数的定义域为
11. 若实数a,b满足,则下列说法正确有( )
A. 的取值范围为 B. 的取值范围是
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
12. 若,,且,下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为6
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知,则______.
14 已知集合,,且,则___________.
15. 命题“对任意的,总存在唯一的,使得”成立的充要条件是______.
16. 定义为与x距离最近的整数(当x为两相邻整数算术平均数时,取较大整数),令函数,如:,,,,则______.
四、解答题:本小题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合,.
(1)当时,求;
(2)若,求实数的取值范围.
18. 要设计一张矩形广告,该广告含有左 右全等的两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为200,四周空白的宽度为2,两栏之间的中缝空白的宽度为4.请设计广告的长与宽的尺寸,使矩形广告面积最小,并求出最小值.
19. (1)已知,,试比较与的大小并证明;
(2)如果x,,比较与大小并证明.
20. 设.
(1)若不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围;
(2)解关于的不等式.
21. 已知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1.8元/千克,每次购买配料需支付运费236元,每次购买来的配料还需支付保管费用,其标准如下:7天以内(含7天),无论重量多少,均按10元/天支付;超出7天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,以每天0.03元/千克支付.
(1)当9天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用是多少元?
(2)设该厂天购买一次配料,求该厂在这天中用于配料的总费用(元)关于的函数关系式,并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
22. 如果一个函数的值域与其定义域相同,则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且.
(Ⅰ)若,,求的定义域;
(Ⅱ)当时,若为“同域函数”,求实数的值;