江门市福泉奥林匹克学校2023-2024学年第一学期9月月考
九年级数学（1-5）
时间：120分钟满分：120分
班级：_________ 姓名：__________ 学号：_________
一、选择题（题3分，共30分）
1．若是方程的一个解，则常数k的值是（ ）
A．2 B． C．6 D．
2．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．存两个不相 的实数根 D．有两个实数眃
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．一个不透明的盒子中装有2个黄球，4个白球，6个红球，这些球除了硕色外无其它帣别，从中阿机摸出一个球，饸好是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数的图象上有三点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．如果关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
9．如图，已知抛物线的对称轴为，点均在抛物线上，且与轴平行，其中点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数二次函数的图象如图所示．下列结论：
①；②；③为任意实数、则；④；⑤若且，则，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共21分）
11．点与点关于原点对称，则_____________．
12．二次函数的对称轴是直线_____________．
13．把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是_____________．
14．已知是方程的两个实数根，则不等式的解集是_____________．
15．如图，已知抛物线与轴交于两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则阴影部分的面积为_____________．
16．已知抛物线与轴交于两点，若点为，则线段的长为_____________．
17．如图，在中，，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是_____________．
三、解答题（每题6分，共18分）
18．解方程：
19．有4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），放在一个不透明的盒子中，将卡片洗匀．
（1）从盒子中任意取出一张卡片，恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为_____________
（2）先从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回并洗匀，再从其中任意取出一张卡片，求取出的两张卡片中，至少有一张印有“兰”字的概率．（请用画树状图或列表的方法求解）；
20．已知关于x的方程
（1）求证：无论m的何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根为，满足，求m的值．
四、解答题（每题9分，共27分）
21．2022年冬奥会在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低１元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售利润为y（元）．
（1）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润为1050元；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
22．如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在该抛物线上，求的值．
23．如图，抛物线与x轴交于点A、C两点，与y轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式，并求出顶点P的坐标．
（2）在x轴的上方是否存在一点M，使得以A，B，P，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
五、解答题（每题12分，共24分）
24．一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是正方形内一点，，，．
你能求出的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，求的度数；
思路二：将绕点B顺时针旋转，得到，连接，求的度数；
图① 图②
（1）请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
（2）如图②，若点P是正方形外一点，，求的度数．
25．阅读材料：如图1，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫的“水平宽”（a），中间的这条直线在内部线段的长度叫的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：
图1 图2
如图2，抛物线顶点坐标为点，交x轴于点，交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）求的铅垂高及；
（3）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结，是否存在一点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
