高二数学试卷 为3 6的正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个
注意事项： 半正多面体，则这个半正多面体的外接球的表面积为（ ）
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 A. 22π B.33π C. 44π D.55π
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
写在本试卷上无效。 9.已知全集U R ，集合 A x | 3 x 4 ，B x |1 2x 4 ，则（ ）
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A. A B R B. A B C. UB A A D. B U A
4.本试卷主要考试内容：人教 A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章， 10.已知点 A 0,2 ， B 1,0 ，下列结论正确的是（ ）
第二章第一节。
A.若直线 AB 1的方向向量为 1,k ，则 k
2
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
1
符合题目要求的. B.若直线 l的斜率为 ，则 l AB
2
1.已知复数 z满足 1 3i z 3 i，则 z （ ） C.若C 1, 1 ，则△ABC为直角三角形
A.1 B.2 C.3 D.4
1 D.若C 1, 1 ，D 3,3 ，则四边形 ABCD是平行四边形2.设单位向量a ，b满足a b ，则a与b 的夹角为（ ）
2 11.已知 AB 平面 ，AC ，BD AB，BD与平面 成 30°角，AB AC BD 2，则C与
π π π π D之间的距离可能是（ ）A. B. C. D.
6 4 3 2 A.2 2 B. 2 3 C.4 D. 2 5
3.已知 f x x a 3x 3 x 为奇函数，则 a （ ） 12.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，
1 如图 1，也可由正方体切割而成，如图 2，在图 2所示的“蒺藜形多面体”中，若 AB 2，则A. 1 B.1 C.0 D.
3 给出的说法中正确的是（ ）
4.等式 a 2b a 2b 成立的充要条件是（ ）
A. ab 0 B. ab 0 C. ab 0 D. ab 0
5.在四面体OABC中，OA a ，OB b ，OC c ，OM MA 0 ， N 为 BC的中点，若
MN 3 1 1 a b c ，则 （ ）
4 2 2
A. 1 B.3 C. 1 D.2
3 2
6.如图，三棱锥 S ABC的棱长均为a，点E，F，G分别是 SA，SC，BC
的中点，则 a2等于（ ）
A.2AS AB B. 2FG SB
A.该几何体的表面积为18 3
C.4FG EF D. 4EF BA
B.该几何体的体积为 4
7.如图， A1B1， AB分别是圆台上、下底面圆的直径， AB 2A1B1 2a， 1
C.二面角 B EF H的余弦值为 3
C π1是圆O1上一点，且 B1O1C1 ，则 AC1 在a 上的投影向量是（ ）3
5 5 5 4 D.若点P，Q在线段BM，CH
2 3
上移动，则 PQ的最小值为
A. a B. a C. a D. a 3
4 3 2 3 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
8.由两种或两种以上的正多边形围成的多面体称为“半正多面体”，由于古 13.已知点 A 1,3 和B 3,5 ，则直线 AB的倾斜角为________.
希腊著名学者阿基米德首先列举了所有的半正多面体，故又称为“阿基米德多面体”.现将棱长
14. a b 2 1 1 a 8b ________. 20.（12分）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为
a b 甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为 3的倍数，则
15.在锐角 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是 3的倍数，则由对方接着投掷.规定第 1次由甲
acosB bcosA 2csinC 1 1，则C ________， 的取值范围为 投掷.
tanA tanB （1）求第 2次由甲投掷的概率；
________. （2）求前 4次投掷中，乙恰好投掷 2次的概率.
16.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，E是 AB的中点，点M ，N
分别在直线D1E，CD上，则线段MN的最小值为________.
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知点 A 0,2 ，B 3, 2 . 21.（12分）
在三棱台 A1B1C1 ABC中，CC1 平面 ABC，AB BC AC 2A1B1 2，D，E分别为 AC，
（1）若点C在 x轴上，且 ACB为直角，求点C的坐标；
BC的中点.
（2）若点D m,6 ，且点 A，B，D在同一条直线上，求m的值.
（1）证明： A1B∥平面C1DE .
（2）若BC1 A1C，在线段 AB上是否存在一点F，使得C1F与平面 ABB1A1所成角的正弦值
21
为 若存在，求 AF的长度；若不存在，请说明理由.
14
18.（12分）
已知函数 f x Asin x （ A 0， 0，0 π）在一个周期内的图象如图所示.
（1）求 f x 的解析式；
（2）当 x R 时，求使 f x 0成立的 x的取值集合.
22.（12分）
如图，在四面体 ABCD中，AC BC，AC 2 2，BC 4，CD 2 BD 2 3，cos ABD ，
6
E，F，G分别为棱 BC， AD，CD的中点，点H在线段 AB上.
（1）若FH∥平面 AEG，试确定点H的位置，并说明理由；
19.（12分） （2）求平面 AEG与平面CDH的夹角的取值范围.
如图，在长方体 ABCD A BC D 1 1 1 1 1中， AB AD AA1 2，P为棱DD1的中点.2
（1）证明： BD1∥平面 PAC .
（2）若Q是线段PD的中点，求△AQC1的面积.高二数学试卷参考答案
1A因为=告所以=震=1
2.C设a与6的夹角为0，因为os0=日治-名0c[0].所以0=
3
3.B因为y=|x是偶函数，所以g(x)=a·3一3是奇函数，由g(一x)=一g(x),可得a=1.
4.D因为a-2b=|a+|2b|,所以|a-2b2=(|a+|2b)2,展开得a2-4ab+4b2=a2+
4ab+4b2,化简得|ab=-ab,所以ab0.
5.B如图，因为Oi=xM.N为BC的中点，所以OM=Oi,ON-
0
20i+号0心，所以M耐=0N-0M=2成+20心-0i=2b+
M
C
2c-a,由解得A=3
6.D由题意知三棱锥S一ABC为正四面体，易知EF⊥FG,且EF=FG=
2a.
因为2A$.A3=2a×cos60=a2,2F·S8=2X2a2Xcos0°-a2,4Ft.E=0,
4E亦.B=4×a2×cos120°=-a,故选D,
7.A如图，取C在下底面的投影C,作CD⊥AB,垂足为D.
B
连接CA,C0,CC,则∠COD=号，AC在AB上的投影向量是AD.
设上底面圆的半径为r,则OD=AD=号=号AB
故AC在AB上的投影向量是爱A店=a.
8.B如图，半正多面体的外接球的球心与正四面体A一BCD的外接球的球
心相同，设为O,F为正△BCD的外心，E为AB的一个三等分点，因为
BC=3√6，易求得BF=3√2，AF=√(3√6)2-(3√2)2=6.设正四面体
A一BCD的外接球的半径为R,在Rt△OBF中，R=(6一R)2+(3√2)2，解
得R=号.在△ABF中，可得co∠BAF=号，所以OE=(6)P+(号》P-2X6X号×5
3
,这个半正多面体的外接球的表面积为4红×的-3元
9.BCD因为A={xx<-1},B={x0
【高二数学·参考答案第1页（共6页）】
·24-69B1+
10,BC对于AA-w-看9-2A错误对于B.因为-他=-1，所以11AB,B正确对
于C.因为c=片=一名krkm=-1,所以AB1BC,C正确对于D.因为如
3告2=ekw=号r=一名ko≠c所以四边形ABCD不是平行四边形，D结误。
11.AC如图，因为AC⊥a,BD⊥AB,所以CA·AB=AB·BD=0.
作DE⊥a,垂足为E,连接BE,
则CA,BD)=90°-30°=60°或CA,BD》=90°+30°=120°.
309
易知CD1=|CA+AB+BD
=√CA2+A+BD+2CA·BD.
若(C才，Bd)=60°，则1CD1=4,若(C才，Bd)=120°，则1CD1=22,A,C正确.
12.BCD因为AB=2,所以BE=2.该几何体的表面积为24××W2)2=123,A错误。
该几何体的体积为2°-12×号×2×V2×V2×1=4,B正确，
设EF的中点为O,连接OB,OH(图略)，则∠BOH即二面角
B-EF-H的平面角.OB=OH=5,cos∠BOH
OB+0FBH=-},C正确
2OB·OH
建立如图所示的空间直角坐标系，设P(2,m,m)(0≤m≤2)，
Q(2-n,2,n)(0n2),
PQ=r+(2-m)+(n-m)P=2n+2m2-4m-2mm+4=2m-2)2+号(m-
2
)2十
3
号>青，当且仅当m=青1=号时，等号成立故PQ的最小值为，D正确
17设直线AB的领斜角为e则am。=5=-1.又a∈[0，，所以。-经
1418因为a+80=(层+名a+86)=10+16+号≥10+2V16=18,当且仅当a=6,b=号
a
2
时，等号成立
15.于；[22-2,1)因为acos B-+-bcos A=√2 esin C,所以c=√2 esin C,解得C=开.又因为
.1 cos A cos B sin C
√2
tan A tan B sin A sin B sin Asin B-2sin Asin B.2sin Asin B-2sin Asin(
1
A)=sin Acos A十EsmA=sin(2A-吾)+号.所以A十alB
tan A
2
sin(2A-)+1
Ae(贤，受)所以号
·24-69B1+
