第3章 圆锥曲线与方程
——2023-2024学年高二数学苏教版（2019）选修一
单元自测练
1.已知椭圆，则长轴的端点为( )
A.， B.，
C.， D.，
2.已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
3.已知P为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，M为的内心.若，则的面积为( )
A. B.10 C.8 D.6
4.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A. B. C.1 D.
5.已知抛物线的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于点A，点在抛物线C上.，则( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左、右焦点为，，过作x轴的垂线与C交于A，B两点，与y轴交于点D，直线BD的斜率为-2.则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C. D.
7.已知点P是椭圆上非顶点的动点，分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的平分线上一点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的焦点为，点P为第一象限内的点，且在抛物线C上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点.若的最大值为5，则( )
A.椭圆的短轴长为 B.当最大时，
C.离心率为 D.的最小值为3
10.（多选）关于双曲线，下列说法正确的是( )
A.该双曲线与双曲线有相同的渐近线
B.过点作直线l与双曲线C交于点A，B，若，则满足条件的直线只有一条
C.若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率
D.过点能作4条直线与双曲线C仅有一个交点
11.抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则此抛物线的方程为______________.
12.设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则__________.
13.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左支交于P，Q两点，，，则与的面积之比为________.
14.已知抛物线经过点，直线l经过点且与抛物线C交于A，B两点.若线段AB的中点为M，F为抛物线C的焦点，则的周长为_____________.
15.已知抛物线的焦点为为坐标原点，横坐标为的点P在抛物线C上，满足.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过抛物线C上的点A作抛物线C的切线与O不重合，过O作l的垂线，垂足为B，直线与抛物线C交于点D.当原点到直线的距离最大时，求点A的坐标.
16.已知椭圆的两个焦点分别为，，且直线与椭圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线，，与椭圆分别交于点P，Q及M，N，求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为椭圆C的方程为，所以，且焦点在x轴上，所以长轴的端点为，.故选A.
2.答案：C
解析：如图，由题意，得，，，所以，.由得，所以，即.由得，所以.故选C.
3.答案：B
解析：设内切圆的半径为R.由双曲线的标准方程可知，，.因为，所以，即，所以，所以.故选B.
4.答案：B
解析：抛物线的焦点为，到双曲线的一条渐近线的距离为，故选B.
5.答案：D
解析：过M向抛物线的准线作垂线，垂足为N，则，故.
又在抛物线上，故，于是，解得，，.
故选D.
6.答案：C
解析：设，则.因为轴，所以，.因为，所以点D为的中点，所以点D的坐标为.
因为，所以，，即，解得或 (舍)，故选C.
7.答案：B
解析：如图，延长交的延长线于点G，
，.又PM为的平分线，，M为的中点.又为的中点，.，，易知，且，.故选B.
8.答案：A
解析：设点P在直线上的投影为点Q，则.易知当直线与抛物线C相切时，最小，即最小，亦即最小.设过点E且与抛物线C相切的直线的方程为.将其代入，得.由，得(负值已舍去).所以的最大值为，所以的最小值为，所以的最小值为，即的最小值为.故选A.
9.答案：ABD
解析：由题意知，所以.因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确.当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确.由B的分析，不妨令，将点A的坐标代入椭圆方程，得.又，所以，解得，所以椭圆的短轴长为，故A正确.易得，所以，故C错误.选ABD.
10.答案：ACD
解析：A项，双曲线和双曲线的渐近线方程均为，故A项正确；
B项，当点A，B均位于右支时，由于双曲线的通径长为，所以满足条件的直线只有一条；当点A、B分别位于左右两支时，满足的直线l还有2条，故B项错误；
C项，如图，当直线l绕着F从逆时针旋转到时，始终与双曲线左右两支各交于一个点，这一过程中k从变到，即，故C项正确；
D项，过点与渐近线平行的直线有2条，它们与双曲线C只有1个交点.除此之外，我们来研究一下过点P可作几条双曲线C的切线，过点P且斜率不存在的直线显然不是双曲线C的切线，设过点P的直线的方程为，联立消去y，整理得，令判别式，化简得，该方程有2个解，即过点P可作2条双曲线C的切线，它们与双曲线C也只有1个交点，故D项正确.
11.答案：
解析：过点M作准线的垂线，垂足为P.设抛物线的焦点为F，依题意得，，即，解得，
抛物线的方程为.
12.答案：2
解析：由椭圆方程，知.因为P为椭圆上的点，所以.又因为，所以，，所以.
13.答案：
解析：由知，又，则，设，则，，由，得，，则，解得，则，于是.
14.答案：
解析：把点代入中得，故抛物线C的方程为.设，，由题意可知直线l的斜率存在且不为0，故.则，，两式相减得，又因为AB的中点为，所以，将代入上式得直线l的斜率，于是直线AB的方程为，即.联立消去y得，，由根与系数的关系得，，由抛物线的定义得，而，因此的周长为.
15.答案：(1)
(2)或
解析：(1)依题意设点，
由，得，
又，解得，
所以抛物线C的方程为.
(2)设，由求导，得，
所以过点A的切线l斜率为，
所以切线l的方程为，
即.
因为直线与切线l垂直，所以，
直线方程为，即，
由解得或(舍).
即点.
因为，所以，
则直线的方程为，
即.
原点到直线的距离，
当且仅当，即时，等号成立.
所以原点到直线的距离最大为2，
此时点A坐标为或.
16.答案：（1）
（2）四边形PMQN的面积的最小值为，最大值为2
解析：（1）设椭圆方程为.
因为直线与该椭圆相切，
所以方程组只有一组解，
消去y，整理得，
所以，得.
又焦点为，，
所以，所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）若直线PQ的斜率不存在（或为0），则.
若直线PQ的斜率存在且不为0，设为，则直线MN的斜率为，
所以直线PQ的方程为，设，，
由得，
所以，，
所以，
同理可得，.
所以
.
因为（当且仅当时取等号），
所以，所以.
综上所述，四边形PMQN的面积的最小值为，最大值为2.
2
