宁波市2023年九年级上学期期中模拟卷
（考试范围：第1-4章）
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·浙江·九年级期末）已知点P到圆心O的距离为3，若点P在圆外，则的半径可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知点是线段的黄金分割点（），若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·浙江舟山·九年级校联考阶段练习）对于二次函数，其图象的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，点C，D，E都在上，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，中，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
8．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分，与矩形组合而成的图形（点，在上），其中；已知的半径为25，，，，则香水瓶的高度是（ ）
A．56 B．57 C．58 D．59
9．（2023秋·浙江·九年级专题练习）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，是边上的点不与点，重合．过点作交于点；过点作交于点、是线段上的点，，是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出( )
A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
11．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）已知线段，，则，的比例中项线段长等于 ．
12．（2023·浙江湖州·统考一模）一个扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的弧长为 ．
13．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）如果函数与函数有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
14．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．
15．（2023春·浙江·七年级期末）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，其中，，，．若将三角板绕点按每秒的速度顺时针旋转，如图2，在此过程中，设旋转时间为秒，当线段与三角板的一条边平行时， ．
16．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，边长为2的正方形中，动点在边上，射线上取一点，使，当动点从点出发向终点运动时，点的运动路径长为 ，线段的最大值是 ．
三、解答题（8小题，共66分）
17．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，的直径，、是圆上的两点，，，求，两点的距离．
18．（2023·浙江·九年级专题练习）第19届亚运会将在2023年9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．每位同学任意选其中一个吉祥物，吉祥物的代号和名称如下表所示：
吉祥物代号 A B C
吉祥物名称 琮琮 莲莲 宸宸
(1)用列表法或树状图表示甲与乙两位同学所选吉祥物的所有可能结果（用A，B，C表示）；
(2)求甲与乙两位同学恰好选择同一种吉祥物的概率．
19．（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，在边长为6的等边三角形中，点E、D、F分别在边上，．
(1)求证：．
(2)若，时，求的长．
20．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，由边长为1的小正方形组成的网格的部分网格线被擦去，的顶点在网格上．
(1)线段的长是________；
(2)仅用无刻度的直尺画的中线；
(3)仅用无刻度的直尺在边上找点，使得．
21．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．
(1)证明：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
22．（2023秋·浙江·九年级专题练习）某校为加强学生的身体素质，举行了丰富多彩的体育活动，本周末，将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离的位置摇动大绳，大绳下至少有10名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．九（2）班选择小明和小亮摇动大绳，在训练中发现，他们持绳点距地面均为，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点O的水平距离为时，大绳的最大高度为．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)为增加比赛的观赏性，九（2）班准备选择若干名身高均为的同学参与跳绳，已知每位同学在绳下的距离均为，请问，九（2）班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．
23．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，．
(1)若，求该抛物线的解析式；
(2)若，是（1）中抛物线上的两点，且，求线段中点M的坐标；
(3)当时，y有最小值3，求t的值．
24．（2023秋·浙江温州·九年级期末）已知，AB是直径，弦于点H，点P是上一点．
(1)如图1，连接PB、PC、PD，求证：BP平分；
(2)如图2，连接PA、PC、PD，PC交AB于点E，交AD于点F，若；求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BP交AD于G，连接OG，若，，求半径．
宁波市2023年九年级上学期期中模拟卷
（考试范围：第1-4章）
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·浙江·九年级期末）已知点P到圆心O的距离为3，若点P在圆外，则的半径可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】解：∵点P在圆外，且，
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外则，②点P在圆上则，③点P在圆内则．
2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知点是线段的黄金分割点（），若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割点的定义，；则，代入数据即可得出的长度．
【详解】解：由于为线段的黄金分割点，
且是较长线段；
则．
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．
3．（2023秋·浙江舟山·九年级校联考阶段练习）对于二次函数，其图象的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数顶点式，直接可得顶点坐标．
【详解】解：二次函数，
其图象的顶点坐标为．
故选：D．
【点睛】本题考查了通过二次函数顶点式写出顶点坐标，熟练掌握二次函数顶点式是解题的关键．
4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】解：∵，
又∵和分别是和的高，，，
∴与的相似比为，
∴与的面积的比为．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．掌握相似三角形的性质是解题的关键．
5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，点C，D，E都在上，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据是的直径，得出，根据圆周角定理得出最后结果即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
由圆周角定理得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直接所对的圆心角为，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
6．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的对称轴和开口方向，再由A，B，C三个点离对称轴的远近，即可解决问题．
【详解】解：由题知，
抛物线的开口向上，且对称轴是直线，
所以函数图象上的点，离对称轴越近，函数值越小．
又，
所以．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的增减性判断函数值的大小是解本题的关键．
7．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，中，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出，再根据旋转的性质可得，，从而求出，在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得，
∴，，，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
8．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分，与矩形组合而成的图形（点，在上），其中；已知的半径为25，，，，则香水瓶的高度是（ ）
A．56 B．57 C．58 D．59
【答案】B
【分析】作交于点G，延长交于点H，连接、，利用垂径定理，得到，，再利用勾股定理，求得，，即可求出香水瓶的高度．
【详解】解：如图，作交于点G，延长交于点H，连接、，
，，
，
，
在中，，
，，
，
，
在中，，
，
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题关键．
9．（2023秋·浙江·九年级专题练习）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由抛物线的对称轴的位置判断的符号，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定；当时，；然后由图象顶点坐标得出．
【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴，
∵，
∴，
故①错误；
②∵对称轴，
∴；
故②正确；
③∵，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
故③正确；
④根据图象知，当时，y有最小值；
当m为实数时，有
所以（m为实数）．
故④正确．
本题正确的结论有：②③④，3个；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．
10．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，是边上的点不与点，重合．过点作交于点；过点作交于点、是线段上的点，，是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出( )
A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积
【答案】D
【分析】如图所示，连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，结合题意得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，，，．
∴，．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，等面积转换．
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
11．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）已知线段，，则，的比例中项线段长等于 ．
【答案】
【分析】直接根据比例中项的公式计算即可．
【详解】∵，，
∴，的比例中项线段长等于，
故答案为．
【点睛】本题考查了比例中项的定义，如果一个比例的两个内项相等，我们就把它叫做外项的比例中项，即，则b叫a、c的比例中项，即．
12．（2023·浙江湖州·统考一模）一个扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的弧长为 ．
【答案】
【分析】利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：弧长为；
故答案为：
【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握弧长公式，是解题的关键．
13．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）如果函数与函数有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】当时，两直线和只有一个交点，则当时，先联立抛物线与直线的解析式得出关于的方程，再由直线和抛物线有两个不同交点可知，求出的取值范围．
【详解】解：当时，两直线和只有一个交点，
当时，，
由题意得，方程有两个不同的实数根，
，
解得：．
故答案为：且．
【点睛】主要考查的是函数图象的交点问题，两函数有两个不同的交点，则．
14．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．
【答案】
【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．
15．（2023春·浙江·七年级期末）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，其中，，，．若将三角板绕点按每秒的速度顺时针旋转，如图2，在此过程中，设旋转时间为秒，当线段与三角板的一条边平行时， ．
【答案】10秒或30秒或40秒
【分析】由线段与三角板的一条边平行可知有三种情况：（1）当时，点落在线段上，由此可求出旋转角，进而可求出的值；（2）当时，则，由此可求出旋转角，进而可求出的值；（3）当，则，由此可求出旋转角，进而可求出的值．
【详解】解：设旋转角为，则旋转的时间（秒），
在顺时针旋转的过程中，线段与三角板的一条边平行，
有以下三种情况：
（1）当时，
点落在线段上时，如图所示：
旋转角，
（秒）；
（2）当时，如图所示：
，
，
，
旋转角，
（秒）；
（3）当时，如图所示：
，
，
旋转角，
（秒）；
综上所述：秒或30秒或40秒，
故答案为：10秒或30秒或40秒．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转变换与性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，难点是利用分类讨论的思想进行分类讨论．
16．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，边长为2的正方形中，动点在边上，射线上取一点，使，当动点从点出发向终点运动时，点的运动路径长为 ，线段的最大值是 ．
【答案】 π 4
【分析】以为边在正方形内作等边三角形，点为圆心，为半径作圆，可知圆的半径为2，延长，交于点，延长，交于点，连接并延长交于点，连接，可知点的运动路径为，根据弧长公式求解，的最大值为，根据圆的直角即可求解．
【详解】解：如图，以为边在正方形内作等边三角形，点为圆心，为半径作圆，
则点在上，延长，交于点，延长，交于点，连接并延长交于点，连接，
四边形是正方形，
，
点、、在上，
，
从点运动到点，则点从运动到，
即点的运动路径为，
四边形是正方形，
，，
的长为，
圆内最长的弦为直径，由图可知最大值为，
为的直径，即，
最大值为4．
故答案为：①；②4．
【点睛】本题考查了点的运动，圆周角，弧长公式等知识，正确作出辅助线，找出点G的运动路径是解题的关键．
三、解答题（8小题，共66分）
17．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，的直径，、是圆上的两点，，，求，两点的距离．
【答案】
【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵的直径，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
18．（2023·浙江·九年级专题练习）第19届亚运会将在2023年9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．每位同学任意选其中一个吉祥物，吉祥物的代号和名称如下表所示：
吉祥物代号 A B C
吉祥物名称 琮琮 莲莲 宸宸
(1)用列表法或树状图表示甲与乙两位同学所选吉祥物的所有可能结果（用A，B，C表示）；
(2)求甲与乙两位同学恰好选择同一种吉祥物的概率．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况；
（2）找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）根据题意画图如下：
共有9个等可能的情况数
（2）其中甲与乙两位同学恰好选择同一种吉祥物的有3种，
则恰好选中同一种名著的概率为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（2023·浙江杭州·校联考二模）如图，在边长为6的等边三角形中，点E、D、F分别在边上，．
(1)求证：．
(2)若，时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由条件可得出，可得到，且，可证得结论；
（2）利用（1）结论可得出，且，代入可求得．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，
，
，
，
；
（2）由（1）知，
，
，，
，
，
解得．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件得到是解题的关键，注意等边三角形性质的应用．
20．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，由边长为1的小正方形组成的网格的部分网格线被擦去，的顶点在网格上．
(1)线段的长是________；
(2)仅用无刻度的直尺画的中线；
(3)仅用无刻度的直尺在边上找点，使得．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）运用勾股定理即可求得答案；
（2）利用矩形的对角线互相平分即可作出的中线；
（3）如图，根据相似三角形的判定和性质即可得出．
【详解】（1）解：如图，在中，，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，线段即为的中线，
（3）解：如图，点D即为所求作的点，
∵，
∴，
∴，
故点D即为所求作的点．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
21．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．
(1)证明：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边对等角可得，，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得，从而得证；
（2）根据扇形面积减三角形面积计算即可．
【详解】（1）证明：∵弦绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设的半径为，
由（1）知：是等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
解得：，
∴图中阴影部分的面积：
，
∴图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理，扇形和三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质和扇形面积的计算是解题的关键．
22．（2023秋·浙江·九年级专题练习）某校为加强学生的身体素质，举行了丰富多彩的体育活动，本周末，将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离的位置摇动大绳，大绳下至少有10名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．九（2）班选择小明和小亮摇动大绳，在训练中发现，他们持绳点距地面均为，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点O的水平距离为时，大绳的最大高度为．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)为增加比赛的观赏性，九（2）班准备选择若干名身高均为的同学参与跳绳，已知每位同学在绳下的距离均为，请问，九（2）班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．
【答案】(1)（或）
(2)能够达到比赛的要求，见解析
【分析】（1）根据题意，抛物线顶点为，过点，用待定系数法可得函数解析式；
（2）结合（1）令得，或，根据，可知在绳下可以站11人，故九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【详解】（1）设大绳所在抛物线的解析式为
由题意得顶点坐标为，则抛物线解析式为，
将点代入可得，，
∴所求的抛物线的解析式是（或）；
（2）当时，，
解得，，
（人）
则九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数关系式．
23．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，．
(1)若，求该抛物线的解析式；
(2)若，是（1）中抛物线上的两点，且，求线段中点M的坐标；
(3)当时，y有最小值3，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先得出，再把，代入求出b和c的值，即可求出该抛物线的解析式；
（2）把，代入得出关于和的表达式，再根据，列出方程求出m的值，得出点和的坐标， 根据中点坐标公式，即可求出M的坐标；
（3）把代入得出，根据点A和点B的坐标得出抛物线对称轴为直线，再得出抛物线对称轴为直线，推出，，得出抛物线表达式为，再根据二次函数的增减性，进行分类讨论：①当时， ②当时，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
把，代入得：
，解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：把，代入得：
，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，
当时，，，
∴；
当时，，，
∴．
综上：或．
（3）解：把代入得：，
∴，
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，则，
∴，
抛物线表达式为，
∵，
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
①当时，解得：，
∵，
∴当时，y取最小值，
∴，
解得：
②当时，解得：，
∵，
∴当时，y取最小值，
∴，
整理得：，
∵，
∴该方程无解．
综上：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的增减性，以及二次函数的对称轴为直线．
24．（2023秋·浙江温州·九年级期末）已知，AB是直径，弦于点H，点P是上一点．
(1)如图1，连接PB、PC、PD，求证：BP平分；
(2)如图2，连接PA、PC、PD，PC交AB于点E，交AD于点F，若；求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接BP交AD于G，连接OG，若，，求半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【分析】（1）利用垂径定理即可求证；
（2）设，先证明，即有，进而可得，连接ED，证明，再证明，结论即可得证；
（3）连接EG、CO，设，结合（2）中的相关结果可得，即有；在（2）中已证明，，则有AG为EP的垂直平分线，可得，，进而证明；接着证明，则有，设半径为r，，则，证明，即有，根据，，可得，即有，根据，可得，在中，勾股定理得，即，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵AB是直径，CD，
∴，
∴，
∴BP平分，
得证；
（2）证明：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
连接ED，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
得证；
（3）解：连接EG、CO，
设，
∵AB为直径，，
∴，
∵，
在（2）中已求得，即有，
∴，
∴，
∴，
在（2）中已证明，，
∴AG为EP的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵AB为直径，
∴，
∴，
∴，
在和中，AE＝AP，EG＝PG，AG＝AG，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设半径为r，，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
即在和中，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，勾股定理得，
即，
∴，即，令，
则原式为，即，
解得：，（舍），
∴，即半径r＝10，
即半径为10．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作辅助线，构造出全等三角形并灵活运用垂径定理是解答本题的关键．
