2024届高三一轮复习小练(三十八) 带电粒子在叠加场中的运动
A卷——全员必做
1．(多选)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有( )
A．电子从N到P，电场力做正功
B．N点的电势高于P点的电势
C．电子从M到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
解析：选BC 过N点画一条与M、P平行的直线，即为等势线，由于沿电场线电势逐渐降低，所以φN>φP，故B正确；电子从N到P，电势能增大，电场力做负功，A错误；洛伦兹力不做功，故C正确；根据动能定理可知电子从M到P，电场力做功为零，电子在P点速度为零，则电子在M点与在P点均只受电场力作用，故D错误。
2.(多选)某化工厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，其长为L、直径为D，左、右两端开口，匀强磁场方向竖直向下，在前后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极。污水充满管口从左向右流经测量管时，a、c两端电压为U，显示仪器显示污水流量Q(单位时间内排出的污水体积)。则( )
A．a侧电势比c侧电势高
B．污水中离子浓度越高，显示仪器的示数将越大
C．若污水从右侧流入测量管，显示器显示为负值，将磁场反向则显示为正值
D．污水流量Q与U成正比，与L、D无关
解析：选AC 根据左手定则可知，正离子向a侧偏转，则仪器显示a侧电势比c侧电势高，A正确；若污水从右侧流入测量管，则受磁场力使得正离子偏向c侧，则c端电势高，显示器显示为负值，将磁场反向，则受磁场力使得正离子偏向a侧，则显示为正值，C正确；显示仪器显示污水流量Q，Q＝Sv＝πD2×＝，则污水流量Q与U成正比，与D有关，与L、污水中离子浓度无关，B、D错误。
3．如图所示，空间中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里，在正交的电磁场空间中有一足够长的固定光滑绝缘杆，与电场方向成60°夹角且处于竖直平面内。一带电小球套在绝缘杆上，当小球沿杆向下的初速度为v0时，小球恰好做匀速直线运动，则下列说法正确的是( )
A．小球可能带正电，也可能带负电
B．磁场和电场的大小关系为＝v0
C．若撤去磁场，小球仍做匀速直线运动
D．若撤去电场，小球的机械能不断增大
解析：选C 洛伦兹力和支持力与运动方向相互垂直，均不做功，重力做正功，而小球动能保持不变，则电场力一定做负功，小球带正电，故A错误；仅当支持力为零时，电场力、重力、洛伦兹力三力平衡，则有qE＝qv0Bsin 60°，可得＝v0，故B错误；撤去磁场后，因重力和电场力的合力垂直于杆，小球仍做匀速直线运动，故C正确；撤去电场后，小球仅有重力做功，机械能不变，故D错误。
4.(多选)如图所示，一倾角为37°的光滑斜面体固定在水平面上，匀强磁场垂直于斜面向上，匀强电场沿斜面向上并垂直于斜面底边，一质量为m、带电荷量为q的小球以速率v在斜面上做半径为R的匀速圆周运动。重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是( )
A．小球带负电
B．小球沿顺时针方向做圆周运动
C．匀强电场的电场强度大小为
D．匀强磁场的磁感应强度大小为
解析：选BC 小球在斜面上做匀速圆周运动，故重力沿斜面向下的分力与电场力平衡，电场力沿斜面向上，故小球带正电，故A错误；小球在斜面上做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据左手定则判断可知，小球沿顺时针方向运动，故B正确；根据重力沿斜面向下的分力与电场力平衡，则有Eq＝mgsin 37°，解得E＝，故C正确；根据洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m，解得B＝，故D错误。
5.如图所示为某一新型发电装置的示意图，发电管是横截面为矩形的水平管道，管道的长为L、宽为d、高为h，上、下两面是绝缘板，前、后两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S和定值电阻R相连。整个管道置于磁感应强度大小为B、方向沿z轴正方向的匀强磁场中。管道内始终充满电阻率为ρ的导电液体(有大量的正、负离子)，且开关闭合前后，液体在管道进、出口两端压强差的作用下，均以恒定速率v0沿x轴正方向流动，则下列说法正确的是( )
A．M板的电势比N板的电势低
B．两导体板间液体的电阻r＝ρ
C．流过电阻R的电流I＝
D．假设导电液体所受摩擦力与流速成正比，比例系数为k，则在t时间内该发电机消耗的总机械能E′＝k＋v02t
解析：选D 导电液向x轴正方向运动，由左手定则可知，正离子受到洛伦兹力向M板运动，负离子受到洛伦兹力向N板运动，则M板聚集正离子，N板聚集负离子，故φM＞φN，A错误；由电阻定律可得，两导体板间液体的电阻为r＝ρ＝ρ，B错误；由题可知，液体通过管道时，可以认为一个长度为d的导体棒切割磁感线，产生的感应电动势为E＝Bdv0，由闭合电路的欧姆定律可得，电路中的电流为I＝＝，C错误；假设导电液体所受摩擦力与流速成正比，比例系数为k，则在t时间内该发电机消耗的总机械能为E′＝WFf＋E电＝Ffs＋EIt，其中Ff＝kv0，s＝v0t，联立可得E′＝v02t，D正确。
6.如图所示，水平的两块带电金属极板a、b平行正对放置，极板长度为l，板间距为d，板间存在方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，假设电场、磁场只存在于两极板间。一质量为m、电荷量为q的粒子，以水平速度v0从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向进入极板间，恰好做匀速直线运动，不计重力及空气阻力。求：
(1)匀强磁场磁感应强度B的大小；
(2)若撤去磁场，粒子能从极板间射出，粒子穿过电场时沿电场方向移动的距离；
(3)若撤去磁场，并使电场强度变为原来的2倍，粒子将打在下极板上，粒子到达下极板时动能的大小。
解析：(1)带电粒子匀速通过两极板间时受到的电场力与洛伦兹力平衡，可得qE＝qv0B，解得B＝。
(2)撤去磁场后，粒子穿过电场时做类平抛运动，沿电场方向移动的距离
y＝at2＝。
(3)设粒子运动到下极板时的动能大小为Ek，
根据动能定理，可得2qE·d＝Ek－mv02，
解得Ek＝mv02＋qEd。
答案：(1) (2) (3)mv02＋qEd
7.如图所示，在边长为L的正方形abcd区域内存在图示方向的匀强电场，正方形的内切圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场。现有一质量为m、带电荷量为＋q的粒子从ad边中点e以速度v0沿内切圆直径ef射入场区，粒子恰沿直线从bc边的中点f射出场区。保持粒子入射位置及速度大小、方向均不变，仅撤去磁场，粒子射出电场时速度偏向角θ0＝45°。已知tan 53°＝，不计粒子重力。
(1)求仅撤去磁场时粒子在电场内运动的时间t0及电场强度E的大小；
(2)若保持粒子入射位置及速度大小、方向均不变，仅撤去电场，求粒子在磁场中的运动时间。
解析：(1)当只有电场时，粒子在电场中做类平抛运动，设粒子出电场时沿电场方向的分速度为vy，速度偏向角的正切值tan θ0＝tan 45°＝，粒子在垂直电场方向的位移x＝v0t0，
沿电场方向的位移y＝t0，
解得x＝2y，由几何关系可知粒子一定是从c点射出电场，则粒子的水平位移x＝L，
粒子在电场中的运动时间t0＝，
粒子在电场中的加速度a＝，
沿电场方向分速度vy＝at0，
解得E＝。
(2)设磁场的磁感应强度大小为B，当电场和磁场共存时粒子做直线运动，由平衡条件得qE＝qv0B，当只存在磁场时粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m，
由几何关系可知偏转角θ满足tan ＝＝，
可得θ＝53°，
粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，
则粒子在磁场中的运动时间t＝T＝。
答案：(1) (2)
8.如图所示，在平面直角坐标系中，AO是∠xOy的角平分线，x轴上方存在水平向左的匀强电场，下方存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，两电场的电场强度大小相等。一质量为m、电荷量为＋q的质点从OA上的M点由静止释放，质点恰能沿AO运动且通过O点，经偏转后从x轴上的C点(图中未画出)进入第一象限内并击中AO上的D点(图中未画出)。已知OM的长度L1＝20 m，匀强磁场的磁感应强度大小为B＝(T)，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)两匀强电场的电场强度E的大小；
(2)OC的长度L2；
(3)质点从M点出发到击中D点所经历的时间t。
解析：(1)质点在第一象限内受重力和水平向左的电场力，沿AO做匀加速直线运动，所以有mg＝qE
解得E＝。
(2)质点从M到O做匀加速直线运动，设质点到达O点的速度为v
由运动学规律知v2＝2aL1
由牛顿第二定律得mg＝ma
解得v＝20 m/s
质点在x轴下方，重力与电场力平衡，质点做匀速圆周运动，从C点进入第一象限后做类平抛运动，设圆周运动的半径为R，其轨迹如图所示
由牛顿二定律有Bqv＝m
解得R＝20 m
由几何知识可知OC的长度L2＝2Rcos 45°＝40 m。
(3)质点从M到O的时间t1＝＝2 s
质点做圆周运动时间
t2＝T＝×＝π s≈4.71 s
质点做类平抛运动时间t3＝＝1 s
质点全过程所经历的时间t＝t1＋t2＋t3＝7.71 s。
答案：(1) (2)40 m (3)7.71 s
B卷——重点选做
9.如图所示，区域Ⅰ内有与水平方向成45°角的匀强电场，区域宽度为d1，区域Ⅱ内有正交的有界匀强磁场和匀强电场，区域宽度为d2，磁场方向垂直纸面向里，电场方向竖直向下。一质量为m、电荷量为q的微粒在区域Ⅰ左边界的P点由静止释放后水平向右做直线运动，进入区域Ⅱ后做匀速圆周运动，从区域Ⅱ右边界上的Q点穿出，其速度方向改变了60°，重力加速度为g，求：
(1)区域Ⅰ和区域Ⅱ内匀强电场的电场强度E1、E2的大小；
(2)区域Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(3)微粒从P运动到Q的时间。
解析：(1)微粒在区域Ⅰ内水平向右做直线运动，则在竖直方向上，有qE1sin 45°＝mg，
解得E1＝，
微粒在区域Ⅱ内做匀速圆周运动，则在竖直方向上，有
mg＝qE2，解得E2＝。
(2)设微粒在区域Ⅰ内水平向右做直线运动时加速度为a，离开区域Ⅰ时速度为v，在区域Ⅱ内做匀速圆周运动的轨道半径为R，则a＝＝g，
v2＝2ad1，Rsin 60°＝d2，
qvB＝m，解得B＝ 。
(3)微粒在区域Ⅰ内做匀加速直线运动，t1＝ ，
在区域Ⅱ内做匀速圆周运动的圆心角为60°，
而T＝，
则t2＝＝ ，
微粒从P运动到Q的时间
t＝t1＋t2＝ ＋ 。
答案：(1) (2)
(3) ＋
10.如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电荷量为＋q的小球从A点以速度v0沿直线AO运动，AO与x轴负方向成37°角。在y轴与MN之间的区域Ⅰ内加一电场强度最小的匀强电场后，可使小球继续做直线运动到MN上的C点，MN与PQ之间的区域Ⅱ内存在宽度为d的竖直向上匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，小球在区域Ⅱ内做匀速圆周运动并恰好不能从右边界飞出，已知小球在C点的速度大小为2v0，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)第二象限内电场强度E1的大小和磁感应强度B1的大小；
(2)区域Ⅰ内最小电场强度E2的大小和方向；
(3)区域Ⅱ内电场强度E3的大小和磁感应强度B2的大小。
解析：(1)带电小球在第二象限内受重力、电场力和洛伦兹力作用做直线运动，三力满足如图甲所示关系且小球只能做匀速直线运动。
由图知qE1＝mgtan 37°，qv0B1＝
解得E1＝，B1＝。
(2)小球在区域Ⅰ中做直线运动，电场强度最小，受力如图乙所示(电场力方向与速度方向垂直)，小球做匀加速直线运动，
由图知qE2＝mgcos 37°，
解得E2＝
方向与x轴正方向成53°角斜向上。
(3)小球在区域Ⅱ内做匀速圆周运动，所以mg＝qE3，
解得E3＝
因小球恰好不从右边界穿出，小球运动轨迹如图丙所示，
由几何关系得r＝d
由洛伦兹力提供向心力知
B2q·2v0＝m
联立得B2＝。
答案：(1) (2)，方向与x轴正方向成53°角斜向上 (3) 2024届高三一轮复习小练(三十八) 带电粒子在叠加场中的运动
A卷——全员必做
1．(多选)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有( )
A．电子从N到P，电场力做正功
B．N点的电势高于P点的电势
C．电子从M到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
2.(多选)某化工厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，其长为L、直径为D，左、右两端开口，匀强磁场方向竖直向下，在前后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极。污水充满管口从左向右流经测量管时，a、c两端电压为U，显示仪器显示污水流量Q(单位时间内排出的污水体积)。则( )
A．a侧电势比c侧电势高
B．污水中离子浓度越高，显示仪器的示数将越大
C．若污水从右侧流入测量管，显示器显示为负值，将磁场反向则显示为正值
D．污水流量Q与U成正比，与L、D无关
3．如图所示，空间中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里，在正交的电磁场空间中有一足够长的固定光滑绝缘杆，与电场方向成60°夹角且处于竖直平面内。一带电小球套在绝缘杆上，当小球沿杆向下的初速度为v0时，小球恰好做匀速直线运动，则下列说法正确的是( )
A．小球可能带正电，也可能带负电
B．磁场和电场的大小关系为＝v0
C．若撤去磁场，小球仍做匀速直线运动
D．若撤去电场，小球的机械能不断增大
4.(多选)如图所示，一倾角为37°的光滑斜面体固定在水平面上，匀强磁场垂直于斜面向上，匀强电场沿斜面向上并垂直于斜面底边，一质量为m、带电荷量为q的小球以速率v在斜面上做半径为R的匀速圆周运动。重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是( )
A．小球带负电
B．小球沿顺时针方向做圆周运动
C．匀强电场的电场强度大小为
D．匀强磁场的磁感应强度大小为
5.如图所示为某一新型发电装置的示意图，发电管是横截面为矩形的水平管道，管道的长为L、宽为d、高为h，上、下两面是绝缘板，前、后两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S和定值电阻R相连。整个管道置于磁感应强度大小为B、方向沿z轴正方向的匀强磁场中。管道内始终充满电阻率为ρ的导电液体(有大量的正、负离子)，且开关闭合前后，液体在管道进、出口两端压强差的作用下，均以恒定速率v0沿x轴正方向流动，则下列说法正确的是( )
A．M板的电势比N板的电势低
B．两导体板间液体的电阻r＝ρ
C．流过电阻R的电流I＝
D．假设导电液体所受摩擦力与流速成正比，比例系数为k，则在t时间内该发电机消耗的总机械能E′＝k＋v02t
6.如图所示，水平的两块带电金属极板a、b平行正对放置，极板长度为l，板间距为d，板间存在方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，假设电场、磁场只存在于两极板间。一质量为m、电荷量为q的粒子，以水平速度v0从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向进入极板间，恰好做匀速直线运动，不计重力及空气阻力。求：
(1)匀强磁场磁感应强度B的大小；
(2)若撤去磁场，粒子能从极板间射出，粒子穿过电场时沿电场方向移动的距离；
(3)若撤去磁场，并使电场强度变为原来的2倍，粒子将打在下极板上，粒子到达下极板时动能的大小。
7.如图所示，在边长为L的正方形abcd区域内存在图示方向的匀强电场，正方形的内切圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场。现有一质量为m、带电荷量为＋q的粒子从ad边中点e以速度v0沿内切圆直径ef射入场区，粒子恰沿直线从bc边的中点f射出场区。保持粒子入射位置及速度大小、方向均不变，仅撤去磁场，粒子射出电场时速度偏向角θ0＝45°。已知tan 53°＝，不计粒子重力。
(1)求仅撤去磁场时粒子在电场内运动的时间t0及电场强度E的大小；
(2)若保持粒子入射位置及速度大小、方向均不变，仅撤去电场，求粒子在磁场中的运动时间。
8.如图所示，在平面直角坐标系中，AO是∠xOy的角平分线，x轴上方存在水平向左的匀强电场，下方存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，两电场的电场强度大小相等。一质量为m、电荷量为＋q的质点从OA上的M点由静止释放，质点恰能沿AO运动且通过O点，经偏转后从x轴上的C点(图中未画出)进入第一象限内并击中AO上的D点(图中未画出)。已知OM的长度L1＝20 m，匀强磁场的磁感应强度大小为B＝(T)，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)两匀强电场的电场强度E的大小；
(2)OC的长度L2；
(3)质点从M点出发到击中D点所经历的时间t。
B卷——重点选做
9.如图所示，区域Ⅰ内有与水平方向成45°角的匀强电场，区域宽度为d1，区域Ⅱ内有正交的有界匀强磁场和匀强电场，区域宽度为d2，磁场方向垂直纸面向里，电场方向竖直向下。一质量为m、电荷量为q的微粒在区域Ⅰ左边界的P点由静止释放后水平向右做直线运动，进入区域Ⅱ后做匀速圆周运动，从区域Ⅱ右边界上的Q点穿出，其速度方向改变了60°，重力加速度为g，求：
(1)区域Ⅰ和区域Ⅱ内匀强电场的电场强度E1、E2的大小；
(2)区域Ⅱ内匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(3)微粒从P运动到Q的时间。
10.如图所示，平面直角坐标系的第二象限内存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电荷量为＋q的小球从A点以速度v0沿直线AO运动，AO与x轴负方向成37°角。在y轴与MN之间的区域Ⅰ内加一电场强度最小的匀强电场后，可使小球继续做直线运动到MN上的C点，MN与PQ之间的区域Ⅱ内存在宽度为d的竖直向上匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，小球在区域Ⅱ内做匀速圆周运动并恰好不能从右边界飞出，已知小球在C点的速度大小为2v0，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)第二象限内电场强度E1的大小和磁感应强度B1的大小；
(2)区域Ⅰ内最小电场强度E2的大小和方向；
(3)区域Ⅱ内电场强度E3的大小和磁感应强度B2的大小。
