第三章 圆锥曲线的方程单元综合练习卷
一．选择题（共8小题）
1．已知椭圆的焦点坐标分别为（0，﹣4），（0，4），长半轴长为5，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．斜率为k的直线l与椭圆C：交于A，B两点，线段AB的中点为M（2，m），则k的范围是（ ）
A．k＜1 B． C．k＜﹣1或k＞1 D．
3．准线方程为x＝2的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2＝﹣8x B．y2＝﹣4x C．x2＝﹣8y D．x2＝4y
4．已知等轴双曲线Γ经过点A（3，2），则Γ的标准方程为（ ）
A． B．
C．y2﹣x2＝1 D．x2﹣y2＝1
5．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A、B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D、E两点，且，则直线l的方程为（ ）
A． B．2x±y﹣2＝0 C．x±y﹣1＝0 D．x±2y﹣1＝0
6．已知圆B：（x+2）2+y2＝64，A（2，0），动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF1的中点，且BF1⊥BF2，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
8．已知直线l与圆x2+y2＝8相切，与抛物线y2＝4x相交于A，B两点， ＝0（O为坐标原点）直线l方程为（ ）
A．x+y﹣4＝0或x﹣y+4＝0 B．x﹣y﹣4＝0或x+y﹣4＝0
C．x+2y+4＝0或x﹣2y﹣4＝0 D．x﹣2y+4＝0或x+2y+4＝0
二．多选题（共4小题）
9．已知双曲线的焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为3x±4y＝0
B．双曲线C与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线C上一点P满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的周长为28
D．若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，若，则下面有关结论正确的是（ ）
A．e＝ B．e＝2 C．b＝ D．b＝
11．已知实数x，y满足4x2﹣4xy+4y2＝1，则x﹣2y的可能取值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
12．已知P，Q，R是椭圆上不同的三点，记△OPQ，△OPR，△ORQ的面积分别为S1，S2，S3（Si＞0，i＝1，2，3，O为坐标原点）．若，则（ ）
A．OQ⊥OR B．|OQ|2+|OR|2＝25
C．S3＝6 D．为定值
三．填空题（共4小题）
13．过抛物线y2＝8x的焦点作直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1+x2＝6，则线段AB的中点M到抛物线准线的距离为 ．
14．已知F1（0，﹣c），F2（0，c）是双曲线 E：的下、上焦点，直线y＝x+c与x轴交于A点，与双曲线的渐近线在第三象限内交于B点，且＝，则双曲线的渐近线方程为 ．
15．已知椭圆x2+ky2＝2的焦点在y轴上，若椭圆的焦距为4，则k的值为 ．
16．已知A，B，C是椭圆上的三个点，O为坐标原点，A，B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若|OA|＝|OF|且|AF|＝2|CF|，则该椭圆的离心率是 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知椭圆的方程为，其离心率e＝，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的点（P不在x轴上），△PF1F2周长为6．过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆交于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求|AB|的范围．
（3）O为坐标原点，△OAB面积为，求直线l的方程．
18．求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）顶点在x轴上，两顶点间的距离是10，且经过点（10，3）；
（2）一个焦点坐标为（5，0），一条渐近线方程为3x﹣4y＝0．
19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），点P（2，4）在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）不过原点的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若OP⊥OQ，求m的值．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为C的动圆过点（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知A（1，2）及曲线E上的两点B和D，直线BD经过定点（﹣3，2），直线AB、AD的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2为定值．
21．已知椭圆 C：的上、下顶点分别为A，B，左顶点为D，△ABD是面积为的正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆外一点M（m，0）的直线交椭圆于P，Q两点，已知点P与点P'关于x轴对称，直线P'Q与x轴交于点K；若∠AKB是钝角，求m的取值范围．
22．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），离心率为，点P（x1，2）是C右支上一点，△PF1F2的面积为4．
（1）求C的方程；
（2）点A是C在第一象限的渐近线上的一点，AF2⊥x轴，点Q是C右支在第一象限上的一点，且C在点Q处的切线l与直线AF2相交于点M，与直线x＝相交于点N．试判断的值是否为定值？若为定值，求出它的值；若不为定值，请说明理由.
参考答案
一．选择题（共8小题）
1--8DCAAB CBB
二．多选题（共4小题）
9．CD
10．BCD
11．BC
12．BC
三．填空题（共4小题）
13．5
14．y＝
15．
16．．
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）由题意可得e＝＝，2a+2c＝6，即a+c＝3，解得a＝2，c＝1，b＝＝，
所以椭圆的方程为+＝1；
（2）右焦点F2（1，0），当AB垂直于x轴时，|AB|取得最小值，且为3；
当AB为椭圆的长轴时，|AB|取得最大值，且为2a＝4，即|AB|的范围是[3，4]；
（3）设直线l的方程为x＝my+1，与椭圆3x2+4y2＝12联立，
可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，
则△OAB的面积为S＝|OF2| |y1﹣y2|＝＝
＝＝，
解得m＝±，即直线l的方程为2x±y﹣2＝0．
18．解：（1）设双曲线方程为，因为两顶点间的距离是10，且经过点（10，3），
则，解得，则双曲线方程为．
（2）因为一个焦点坐标为（5，0），可设双曲线方程为，且c＝5，
由一条渐近线方程为3x﹣4y＝0，可得，则，
设a＝4k，b＝3k，k＞0，则c2＝a2+b2 52＝（4k）2+（3k）2，解得k＝1，
则a＝4，b＝3，所以双曲线方程为．
19．解：（1）∵点P（2，4）在抛物线C上，∴42＝2p×2，∴p＝4，
故抛物线的方程为y2＝8x；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，
得x2+（2m﹣8）x+m2＝0，Δ＝（2m﹣8）2﹣4m2＞0，得m＜2，
∴x1+x2＝8﹣2m，x1x2＝m2，
又OP⊥OQ，则＝x1x2+y1y2＝0，
∴x1x2+y1y2＝x1x2+（x1+m）（x2+m）＝2x1x2＝+m（x1+x2）+m2＝2m2+m（8 2m）+m2＝0，
∴m＝﹣8或m＝0，经检验，当m＝0时，直线过坐标原点，不合题意，
又m＝﹣8＜2，
综上：m的值为﹣8．
20．（1）解：不妨设圆心C（x，y），半径为r，
∵圆心为C的动圆过点（2，0），∴（x﹣2）2+y2＝r2，
又圆心为C的动圆在y轴上截得的弦长为4，∴x2+22＝r2，
此时（x﹣2）2+y2＝x2+4，得y2＝4x．
则曲线E是抛物线，抛物线的方程为y2＝4x；
（2）证明：易知点A（1，2）在E上，而直线BD的斜率存在，
不妨设直线BD的方程为x＝ty+n，
联立，消去x并整理得y2﹣4ty﹣4n＝0，
此时Δ＝16t2+16n＞0，即t2+n＞0，
不妨设B（x1，y1），D（x2，y2），
由韦达定理得y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4n，
∵直线BD经过定点（﹣3，2），∴﹣3＝2t+n，即n＝﹣3﹣2t，
∵，，
∴＝
＝．
即k1+k2为定值1．
21．解：（1）∵△ABD是面积为的正三角形，∴，解得：，
∴椭圆C的方程为：；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则P'（x1，﹣y1），
直线P'Q方程为：，即y＝（x﹣x2）+y2，
由对称性可知：点K在x轴上，则令y＝0，解得：xK＝，
设直线PQ：x＝ty+m，由，
得：（t2+3）y2+2tmy+m2﹣3＝0，∴，
∴xK＝＝＝m+＝m﹣＝，∴K（，0），
又A（0，1），B（0，﹣1），＝（，﹣1），＝（，1），
∵∠AKB为钝角，∴，解得：m＜﹣3或m＞3，
即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．
22．解：（1）双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
离心率为，点P（x1，2）是C右支上一点，△PF1F2的面积为4．
可得e＝，，解得c＝2，a＝，则b＝1，
∴双曲线C的方程为﹣y2＝1；
（2）点A是C在第一象限的渐近线上的一点，AF2⊥x轴，知A（2，），点Q是C右支在第一象限上的一点，且C在点Q处的切线l，
设Q（x0，y0），则切线l的方程为：﹣y0y＝1，
又F2（2，0），直线l：﹣y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线直线x＝＝相交于点N．
于是可得M（2，），N（，），
又因为Q（x0，y0）在C上，所以有＝1，
∴＝
＝
＝
＝
＝
