2024届高三一轮复习小练(三十) 带电粒子(体)在电场中运动的综合问题
A级——全员必做
1．如图甲为一对长度为L的平行金属板，在两板之间加上图乙所示的电压。现沿两板的中轴线从左端向右端连续不断射入初速度为v0的相同带电粒子(重力不计)，且所有粒子均能从平行金属板的右端飞出，若粒子在两板之间的运动时间均为T，则粒子最大偏转位移与最小偏转位移的大小之比是 ( )
A．1∶1 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1
解析：选C 设偏转电场电压不为零时，粒子在偏转场中的加速度为a，粒子在t＝nT时刻进入偏转场，则竖直方向上先加速后匀速然后飞出偏转场，此时粒子偏转位移最大y max＝a2＋a××＝aT2，粒子在t＝nT＋时刻进入偏转场，则竖直方向上先静止后加速然后飞出偏转场，此时粒子偏转位移最小y min＝0＋a2＝aT2，则粒子最大偏转位移与最小偏转位移的大小之比是3∶1，故C正确。
2.如图所示为空间某一电场的电场线，a、b两点为其中一条竖直方向的电场线上的两点，两点的高度差为h，一个质量为m、带电荷量为＋q的小球从a点由静止释放后沿电场线运动到b点时，速度大小为2，则下列说法中正确的是( )
A．该过程中，小球动能增加量等于电势能减少量
B．a、b两点的电势差U＝
C．小球若质量不变，电荷量变为＋2q，小球沿电场线运动到b点时，速度大小为
D．小球若质量不变，电荷量变为－q，小球沿电场线运动到b点时，速度大小为
解析：选C 质量为m、带电荷量为＋q的小球从a点静止释放后沿电场线运动到b点的过程中，机械能与电势能之和守恒，其动能增加量等于重力势能、电势能的减少量之和，故A错误；设a、b之间的电势差为U，由题意可知，小球从a点静止释放后沿电场线运动到b点的过程，根据动能定理得mgh＋qU＝m·4gh，解得qU＝mgh，a、b两点的电势差U＝，故B错误；质量为m、带电荷量为＋2q的小球从a点静止释放后沿电场线运动到b点时，由动能定理得mgh＋2qU＝mv12，解得v1＝，故C正确；质量为m、带电荷量为－q的小球从a点静止释放后沿电场线运动到b点时，由动能定理得mgh－qU＝mv22，解得v2＝0，故D错误。
3．如图所示竖直平面内，真空中的匀强电场与水平方向成15°角斜向下，现有一质量为m、电荷量为＋q的小球在A点以初速度v0水平向右抛出，经时间t小球下落到C点(图中未画出)时速度大小仍为v0，则小球由A到C的过程中( )
A．重力做功mg2t2
B．小球做匀变速曲线运动
C．C点电势可能低于A点
D．A、C连线一定与电场线垂直
解析：选B 小球从A点运动到C点过程，由于电场力向左下方，重力竖直向下，将电场力沿水平方向和竖直方向正交分解，竖直方向的合力大于重力，故在竖直方向的加速度a大于g，竖直方向h＝at2＞gt2，即WG＝mgh＞mg2t2，故A错误；小球所受重力和电场力均为恒力，加速度恒定，小球做匀变速运动，又因为合外力的方向与速度方向不在同一直线上，则小球做匀变速曲线运动，故B正确；小球从A点运动到C点过程，由动能定理可得mgh＋qUAC＝mv02－mv02，解得UAC＝－＜0，故φA＜φC，故C错误；若A、C连线垂直于电场线，则A、C两点电势相等，而φA＜φC，故D错误。
4.(多选)如图，一带电液滴在重力和匀强电场对它的作用力作用下，从静止开始由b沿直线运动到d，且bd与竖直方向所夹的锐角为45°，则下列结论正确的是 ( )
A．此液滴带正电
B．液滴的加速度等于g
C．合外力对液滴做的总功等于零
D．液滴的电势能减少
解析：选BD 带电液滴沿直线b运动到d，带电液滴所受重力与电场力的合力一定与其运动方向在同一直线上，对液滴进行受力分析，其受力情况如图所示，则电场力方向一定水平向右，与电场强度方向相反，所以该液滴带负电，A错误；物体所受合力F＝mg，故物体的加速度a＝＝g，B正确；由于液滴从静止开始做加速运动，故合力的方向与运动的方向相同，故合外力对物体做正功，C错误；由于电场力所做的功W＝Eqxbdcos 45°>0，故电场力对液滴做正功，液滴的电势能减少，D正确。
5.匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示。当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带正电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法正确的是( )
A．2 s末带电粒子的速度为零
B．3 s末带电粒子回到原出发点
C．带电粒子将始终向同一个方向运动
D．0～3 s内，电场力始终做正功
解析：选B 0～1 s内，粒子做加速运动，1～2 s内电场强度反向，且大小是0～1 s内电场强度的2倍，故粒子在1～2 s内的加速度大小是0～1 s内的加速度大小的2倍，故粒子在1.5 s末速度减小为零，所以2 s末粒子反向运动，速度不为零，根据对称性可知粒子在3 s末速度为零，回到出发点，A、C错误，B正确；0～1 s内电场力做正功，1～1.5 s内电场力做负功，1.5～2 s内电场力做正功，2～3 s内电场力做负功，D错误。
6．(多选)如图所示，倾角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平地面上，一绝缘轻弹簧的下端固定在斜面底端，弹簧的上端连接一带正电的滑块P，滑块所处空间存在着沿斜面向上的匀强电场。开始时弹簧处于原长状态，滑块恰好处于平衡状态，现给滑块一沿斜面向下的初速度v，滑块滑到最低点时，弹簧的压缩量为x，弹簧始终处于弹性限度内，在滑块下滑至最低点的过程中，以下说法正确的是( )
A．滑块电势能的增加量等于滑块重力势能的减少量
B．滑块克服弹簧弹力做的功为mv2
C．滑块动能的变化量等于电场力和重力做功的代数和
D．当滑块的加速度最大时，滑块与弹簧组成的系统机械能最大
解析：选AB 因为开始时滑块受重力、电场力和支持力处于平衡状态，则有qE＝mgsin θ，在运动到最低点过程中，电场力做功与重力做功相等，则滑块电势能增加量等于重力势能的减小量，故A正确；根据能量守恒定律得滑块动能减小，重力势能减小，电势能增加，弹簧弹性势能增加，因为电势能增量等于重力势能减小量，所以弹性势能增加量等于滑块动能减小量，可知滑块克服弹簧弹力做功mv2，故B正确；根据动能定理知，电场力、重力、弹簧弹力做功的代数和等于滑块动能的变化量，故C错误；由于qE＝mgsin θ，可知当滑块的加速度最大时，弹簧弹力最大，当滑块到最低点时，弹簧最短，滑块受到的弹簧弹力最大，加速度最大，此时滑块的电势能最大，滑块和弹簧组成的系统机械能最小，故D错误。
7.用长为1.4 m的轻质柔软绝缘细线，拴一质量为1.0×10－2 kg、电荷量为2.0×10－8 C的小球，细线的上端固定于O点。现加一水平向右的匀强电场，平衡时细线与铅垂线成37°，如图所示。现向左拉小球使细线水平且拉直，静止释放，则(sin 37°＝0.6，g取10 m/s2)( )
A．该匀强电场的场强为3.75×107 N/C
B．平衡时细线的拉力为0.17 N
C．经过0.5 s，小球的速度大小为6.25 m/s
D．小球第一次通过O点正下方时，速度大小为7 m/s
解析：选C 小球处于平衡状态时，对小球进行受力分析，如图甲所示，tan 37°＝＝，解得电场强度E＝3.75×106 N/C，A错误；平衡时拉力T＝mg＝0.125 N，B错误；小球由静止释放后沿与竖直方向成37°
角方向匀加速直线运动，如图乙所示，到达B点后绳子被拉直，加速度a＝g＝12.5 m/s2，在三角形OAB中利用正弦定理：＝，求得xAB＝1.68 m，经过t＝0.5 s，x＝at2＝1.562 5 m
(1)电场强度的大小；
(2)B运动到P点时的动能。
解析：(1)设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a。根据牛顿定律、运动学公式和题给条件，有
mg＋qE＝ma①
a2＝gt2②
解得E＝。③
(2)设B从O点发射时的速度为v1，到达P点时的动能为Ek，O、P两点的高度差为h，根据动能定理有
Ek－mv12＝mgh＋qEh④
且有v1＝v0t⑤
h＝gt2⑥
联立③④⑤⑥式得Ek＝2m(v02＋g2t2)。⑦
答案：(1) (2)2m(v02＋g2t2)
B级——重点选做
9．(多选)如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，其中有一个半径为R＝2 m的竖直光滑圆环，环内有两根光滑的弦轨道AB和AC，A点所在的半径与竖直直径BC成37°角。质量为m＝0.08 kg、电荷量为q＝6×10－5 C的带电小球(可视为质点)从A点静止释放，分别沿弦轨道AB和AC到达圆周的运动时间相同。现去掉弦轨道AB和AC，如图乙所示，给小球一个初速度，让小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电荷量的变化。下列说法正确的是(cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)( )
A．小球做圆周运动经过C点时动能最大
B．匀强电场的电场强度大小为E＝1×104 V/m
C．小球做圆周运动过程中动能最小值是0.5 J
D．小球做圆周运动过程中对环的压力最大值是6 N
解析：选BD 将电场力和重力的合力等效为一个力，由题图甲可知重力与电场力的合力必须指向AO，根据力的合成与分解得Eq＝mgtan 37°，可得匀强电场的电场强度大小为E＝1×104 V/m，故B正确；圆环的等效最低点在AO延长线与圆轨道的交点，物块在等效最低点速度最大，动能最大，故A错误；因为重力与电场力均为恒力，二者的合力大小为F＝＝mg，小球做圆周运动，则在其等效最高点，有F＝m，此时小球速度最小，动能最小，最小动能为Ek＝mv2＝1 J，故C错误；小球从等效最高点运动至等效最低点过程中，由动能定理得F·2R＝mvm2－mv2，在等效最低点小球对圆环压力最大，速度最大，动能最大，由牛顿第二定律得FN－F＝m，解得FN＝6 N，由牛顿第三定律可知小球做圆周运动的过程中对环的最大压力是6 N，故D正确。
10.(多选)如图所示，带电荷量为6Q(Q>0)的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为－Q的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。g为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是( )
A．带负电
B．运动至a点的速度大小为
C．运动至a点的加速度大小为2g
D．运动至ab中点时对斜面的压力大小为mg
解析：选BCD 根据题意，球1和球3之间为斥力，故球3带正电，A错误；由几何关系，球3运动至a点时，除重力做功外其他力做功为0，根据动能定理可知mgLsin 30°＝mv2，解得v＝，B正确；由库仑定律可知，在b点时球3受球2的引力，受球1的斥力3mg，受力分析如图甲所示，沿斜面方向有F弹＋mgsin 30°＋mgcos 60°＝3mg；球3运动至a点时受力分析如图乙所示，沿斜面方向F弹－mgsin 30°＋mgcos 60°＝ma，联立解得a＝2g，C正确；球3运动至ab中点时，由库仑定律可知球3受球2的引力mg，受力分析如图丙所示，垂直斜面方向FN＝mgcos 30°－mg，解得FN＝mg，FN′＝FN，D正确。
11．如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接。在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场。现有一质量为m，电荷量为＋q的小球从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开圆轨道后，经界面MN上的P点进入电场(P点恰好在A点的正上方，如图所示。小球可视为质点，小球运动到C点之前电荷量保持不变，经过C点后电荷量立即变为零)。已知A、B间距离为2R，重力加速度为g。在上述运动过程中，求：
(1)小球在电场中受到的电场力大小；
(2)小球过B点时受圆轨道的支持力大小；
(3)小球在圆轨道上运动时的最大速率。
解析：(1)设小球在C点速度的大小为vC，从C到P用时间为t，则从C到P水平方向有2R＝vCt
竖直方向有R＝gt2
从A到C由动能定理得
qE×3R－mg×2R＝mvC2
解得F电＝qE＝mg。
(2)从A到B由动能定理得qE×2R＝mvB2，在B点有FN－mg＝m
解得FN＝5mg。
(3)设等效竖直方向与竖直方向的夹角为θ，过O点的等效竖直线与BN轨道交于F点，tan θ＝＝1，则θ＝45°
从A到F，由动能定理得qE(2R＋Rsin θ)－mgR·(1－cos θ)＝mvF2
解得vmax＝vF＝。
答案：(1)mg (2)5mg (3)2024届高三一轮复习小练(三十)
带电粒子(体)在电场中运动的综合问题
A级——全员必做
1．如图甲为一对长度为L的平行金属板，在两板之间加上图乙所示的电压。现沿两板的中轴线从左端向右端连续不断射入初速度为v0的相同带电粒子(重力不计)，且所有粒子均能从平行金属板的右端飞出，若粒子在两板之间的运动时间均为T，则粒子最大偏转位移与最小偏转位移的大小之比是 ( )
A．1∶1 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1
2.如图所示为空间某一电场的电场线，a、b两点为其中一条竖直方向的电场线上的两点，两点的高度差为h，一个质量为m、带电荷量为＋q的小球从a点由静止释放后沿电场线运动到b点时，速度大小为2，则下列说法中正确的是( )
A．该过程中，小球动能增加量等于电势能减少量
B．a、b两点的电势差U＝
C．小球若质量不变，电荷量变为＋2q，小球沿电场线运动到b点时，速度大小为
D．小球若质量不变，电荷量变为－q，小球沿电场线运动到b点时，速度大小为
3．如图所示竖直平面内，真空中的匀强电场与水平方向成15°角斜向下，现有一质量为m、电荷量为＋q的小球在A点以初速度v0水平向右抛出，经时间t小球下落到C点(图中未画出)时速度大小仍为v0，则小球由A到C的过程中( )
A．重力做功mg2t2
B．小球做匀变速曲线运动
C．C点电势可能低于A点
D．A、C连线一定与电场线垂直
4.(多选)如图，一带电液滴在重力和匀强电场对它的作用力作用下，从静止开始由b沿直线运动到d，且bd与竖直方向所夹的锐角为45°，则下列结论正确的是 ( )
A．此液滴带正电
B．液滴的加速度等于g
C．合外力对液滴做的总功等于零
D．液滴的电势能减少
5.匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示。当t＝0时，在此匀强电场中由静止释放一个带正电粒子，设带电粒子只受电场力的作用，则下列说法正确的是( )
A．2 s末带电粒子的速度为零
B．3 s末带电粒子回到原出发点
C．带电粒子将始终向同一个方向运动
D．0～3 s内，电场力始终做正功
6．(多选)如图所示，倾角为θ的光滑绝缘斜面固定在水平地面上，一绝缘轻弹簧的下端固定在斜面底端，弹簧的上端连接一带正电的滑块P，滑块所处空间存在着沿斜面向上的匀强电场。开始时弹簧处于原长状态，滑块恰好处于平衡状态，现给滑块一沿斜面向下的初速度v，滑块滑到最低点时，弹簧的压缩量为x，弹簧始终处于弹性限度内，在滑块下滑至最低点的过程中，以下说法正确的是( )
A．滑块电势能的增加量等于滑块重力势能的减少量
B．滑块克服弹簧弹力做的功为mv2
C．滑块动能的变化量等于电场力和重力做功的代数和
D．当滑块的加速度最大时，滑块与弹簧组成的系统机械能最大
7.用长为1.4 m的轻质柔软绝缘细线，拴一质量为1.0×10－2 kg、电荷量为2.0×10－8 C的小球，细线的上端固定于O点。现加一水平向右的匀强电场，平衡时细线与铅垂线成37°，如图所示。现向左拉小球使细线水平且拉直，静止释放，则(sin 37°＝0.6，g取10 m/s2)( )
A．该匀强电场的场强为3.75×107 N/C
B．平衡时细线的拉力为0.17 N
C．经过0.5 s，小球的速度大小为6.25 m/s
D．小球第一次通过O点正下方时，速度大小为7 m/s
8．空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为 m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q(q>0)。A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t; B从O点到达P点所用时间为。重力加速度为g，求：
(1)电场强度的大小；
(2)B运动到P点时的动能。
B级——重点选做
9．(多选)如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，其中有一个半径为R＝2 m的竖直光滑圆环，环内有两根光滑的弦轨道AB和AC，A点所在的半径与竖直直径BC成37°角。质量为m＝0.08 kg、电荷量为q＝6×10－5 C的带电小球(可视为质点)从A点静止释放，分别沿弦轨道AB和AC到达圆周的运动时间相同。现去掉弦轨道AB和AC，如图乙所示，给小球一个初速度，让小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电荷量的变化。下列说法正确的是(cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)( )
A．小球做圆周运动经过C点时动能最大
B．匀强电场的电场强度大小为E＝1×104 V/m
C．小球做圆周运动过程中动能最小值是0.5 J
D．小球做圆周运动过程中对环的压力最大值是6 N
10.(多选)如图所示，带电荷量为6Q(Q>0)的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为－Q的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。g为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是( )
A．带负电
B．运动至a点的速度大小为
C．运动至a点的加速度大小为2g
D．运动至ab中点时对斜面的压力大小为mg
11．如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接。在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场。现有一质量为m，电荷量为＋q的小球从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开圆轨道后，经界面MN上的P点进入电场(P点恰好在A点的正上方，如图所示。小球可视为质点，小球运动到C点之前电荷量保持不变，经过C点后电荷量立即变为零)。已知A、B间距离为2R，重力加速度为g。在上述运动过程中，求：
(1)小球在电场中受到的电场力大小；
(2)小球过B点时受圆轨道的支持力大小；
(3)小球在圆轨道上运动时的最大速率。
