平邑县2023-2024学年高二上学期10月月考
数学
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2．请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，且，则
A． B．1 C． D．2
2．如图，在梯形中，，且，点为空间内任意一点，设，，则向量
A． B． C． D．
3．在三棱柱中，，分别为，的中点，若，则，，
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．已知空间四点，1，，，3，，，7，，，，共面，则
A．4 B．1 C．10 D．11
5．已知向量在基底下的坐标为，2，，则在基底下的坐标为
A．，1， B．，2， C．，3， D．，2，
6．如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则选项中与向量相等的是
A． B． C． D．
7．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马” 中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
8．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体．若面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知，，是直线的一个方向向量，，2，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是
A．，，
B．
C．
D．直线，夹角的余弦值为
10．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中不能确定点，，，共面的是
A． B．
C． D．
11．如图所示的空间直角坐标系中，，，是上的一个靠近的三等分点，则下列结论正确的是
A．
B．存在实数，，使得
C．点到的距离为
D．
12．如图，在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是
A．
B．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积为
C．当二面角的余弦值为时，
D．若二面角的大小为，且时，直线与所成角的余弦值最大为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知点是点，，在坐标平面内的射影，则的值是 ．
14．如图，两个正方形，的边长都是6，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段 ．
15．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ．
16．如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的（锐二面角为，则当最小时 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，已知正方体，，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中，的值：
（1）；
（2）；
（3）．
18．已知向量，，．
（1）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（2）当时，求证：向量与向量，共面．
19．如图所示，在平行六面体中，为的中点．设．
（1）用表示；
（2）设是棱上的点，且，用，，表示．
20．如图，在长方体中，，，是的中点，是的中点．求证：平面平面．
21．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．在等腰梯形中，，，是的中点，将沿着翻折成△，使平面平面，为线段的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
数学试题参考答案
考试分值：150分； 考试时间：120分钟；
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，且，则
A． B．1 C． D．2
【答案】
【解答】解：因为且，
所以，解得．
故选：．
2．如图，在梯形中，，且，点为空间内任意一点，设，，则向量
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：因为，且，
所以，
所以．
故选：．
3．在三棱柱中，，分别为，的中点，若，则，，
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】
【解答】解：由题意可得
，
所以，，，
所以，，，，．
故选：．
4．已知空间四点，1，，，3，，，7，，，，共面，则
A．4 B．1 C．10 D．11
【答案】
【解答】解：，2，，，6，，，，，
四点，，，共面，
存在实数，使得，
，，，2，，6，，
，解得．
故选：．
5．已知向量在基底下的坐标为，2，，则在基底下的坐标为
A．，1， B．，2， C．，3， D．，2，
【答案】
【解答】解：因为向量在基底下的坐标为，2，，
所以，
所以在基底下的坐标为，2，．
故选：．
6．如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则选项中与向量相等的是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：平行六面体中，与的交点为，设，，，
利用向量的线性运算，所以，
则，
所以．
故选：．
7．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马” 中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：因为平面，，面，底面为矩形，所以，，两两垂直，
设，，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，
则，0，，，2，，，2，，，0，，
所以，
设平面的法向量为，
所以，解得：，令，则，，所以取，
设直线与面所成角为，
所以，
所以直线与面所成角的正弦值为．
故选：．
8．古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势．如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体．若面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：因为平面，平面，则，
由题意可以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，4，，，3，，，1，，，0，，
，4，，，3，，，1，，
又因为为的中点，则，2，，
则，，，，，
设平面的法向量，，，则，
令，则，，则，
设直线与平面所成角为，
则．
故选：．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知，，是直线的一个方向向量，，2，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是
A．，，
B．
C．
D．直线，夹角的余弦值为
【答案】
【解答】解：，，，，，2，，，错误，
，，，是直线的一个方向向量，，2，是直线的一个方向向量，，直线与直线不平行，错误，
，，，是直线的一个方向向量，，2，是直线的一个方向向量，，直线与直线不垂直，错误，
，，，，，2，，，，，
，，直线与直线夹角的余弦值为，正确，
故选：．
10．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中不能确定点，，，共面的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：设，
若点与点，，共面，则，
逐一检验各选项，可知只有选项确定点，，，共面．
故选：．
11．如图所示的空间直角坐标系中，，，是上的一个靠近的三等分点，则下列结论正确的是
A．
B．存在实数，，使得
C．点到的距离为
D．
【答案】
【解答】解：由题可得：，0，，，3，，，0，，，2，，
对于，，故正确；
对于，因为表示平面内的向量，平面，且不与平面平行，故错误；
对于，，0，，，2，，所以，故错误；
对于，，点到的距离为，故正确．
故选：．
12．如图，在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，则下列说法正确的是
A．
B．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积为
C．当二面角的余弦值为时，
D．若二面角的大小为，且时，直线与所成角的余弦值最大为
【答案】
【解答】解：在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，
取的中点，连接，，如图，
则，，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，正确；
对于：由上可知，
又平面，
所以平面平面，又平面平面，
于是点在平面上的射影在直线上，
所以点到平面的距离，当且仅当时取等号，
因为面积为定值，
所以最大时三棱锥的体积最大，
此时平面平面，且平面，平面，
令，的中心分别为，，
三棱锥外接球球心为，则平面，平面，
所以，，
四边形是矩形，，，
因此三棱锥的外接球半径，
所以三棱锥的外接球的体积，错误；
对于：由选项知，为二面角的平面角，即，
因为，，
所以，
所以，正确；
对于：二面角的大小为，即，
所以，
记直线与所成角的大小为，
则，，
当时，，，
所以，则，
所以的最大值为，正确．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知点是点，，在坐标平面内的射影，则的值是 ．
【答案】．
【解答】解：因为点，，在坐标平面内的射影是，，，
所以．
故答案为：．
14．如图，两个正方形，的边长都是6，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段 ．
【答案】．
【解答】解：因为四边形和四边形都是正方形，所以，，
所以即为二面角的平面角，即．
因为是对角线的中点，所以，
又因为是对角线靠近点的三等分点，
所以．
所以，
所以，
所以
．
所以，即线段．
故答案为：．
15．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ．
【答案】．
【解答】解：法一：由题意，，，
因为，，共面，
所以存在实数唯一实数对，使得，
即，
所以，解得．
法二：由，，共面得，，，四点共面，
则根据四点共面的充要条件可得，，即．
故答案为：．
16．如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的（锐二面角为，则当最小时 ．
【答案】．
【解答】：建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，则，0，，，0，，，0，，，0，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
又平面的一个法向量为，
所以，即，
当最小时，，，
所以，所以，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，已知正方体，，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中，的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：如图所示，
（1）正方体中，，
所以；
（2），
所以，；
（3），
所以，．
18．已知向量，，．
（1）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（2）当时，求证：向量与向量，共面．
【解答】解：（1）因为，
若，
则，
解得，故，2，，
又，向量与垂直，
所以，
所以，
解得；
（2）证明：当时，，
设，
则，
，解得，
即，
所以向量与向量共面．
19．如图所示，在平行六面体中，为的中点．设．
（1）用表示；
（2）设是棱上的点，且，用，，表示．
【解答】解：（1），，
．
（2）．
20．如图，在长方体中，，，是的中点，是的中点．求证：平面平面．
【解答】证明：如图建立空间直角坐标系，
则，1，，，0，，，0，，，，，，设面的法向量为，
则，即，
令，则，所以；
设面的法向量为，
则，即，
令，则，所以；
因为，所以，
所以平面平面．
21．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：如图，连接交于点，连接，
，分别为，的中点，
，
又在平面内，不在平面内，
平面；
（2）平面，
，
又四边形为正方形，
，
平面，
以点为坐标原点，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
各点坐标如下，，0，，，0，，，2，，
，2，，，0，，，1，，，
设平面的法向量为，则，令，则，
平面，，
平面的一个法向量为，
，
又二面角为锐角，故二面角的余弦值为．
22．在等腰梯形中，，，是的中点，将沿着翻折成△，使平面平面，为线段的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知四边形是平行四边形，所以，故．
又因为，为的中点，所以，
即．又因为，．
所以四边形是平行四边形．
所以．
故．
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面．．
因为平面，所以．
因为，、平面，
所以平面．（5分）
（Ⅱ）解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，0，，，0，，，，．
平面的法向量为，，．
设平面的法向量为，，，
因为，0，，，，，
所以，
令得，，1，．
所以，，因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．（10分）
（Ⅲ）解：存在点，使得平面．（11分）
设在线段上存在点，使得平面，
设，，，，，
因为．
所以，，，
因为平面，所以，
所以，解得，
又因为平面，
所以在线段上存在点，使得平面，．（14分）
