数学试题参考答案
1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.BD 10.AC 11.BCD 12.ACD
13.23 14. (5, 4) 5 715.1 6 6 k 2或k 16.
4 2
1
k
1 l l l17.（ ）直线 l的斜率 2，因为 1 ，所以直线 1的斜率为 2 ...........................................2 分
所以直线 l1的方程是 y 1 2(x 2)，即 2x y 3 0；..............................................5 分
（2）设直线 l2 : x 2 y C 0，
C 3
则平行线 l2与 l之间的距离 d 5，得C 2或C 8，.............................8 分
12 22
所以直线 l 的方程是 x 2 y 2 0或 x 2 y 8 0 ........................................................10 分2
18.解：（1）C1 : ( 1,3), r1 3，C2 : (3,6), r2 45 m
因为两圆外切，所以 2 2 ，.....................................d C 3 分 1C2 ( 1 3) (3 6) r1 r2
即3 45 m 5，所以m 41；........................................................................................5 分
（2）当m 9时，C : x
2 2
1 y 2x 6y 1 0，C2 : x
2 y2 6x 12 y 9 0
两圆相减得：8x 6y 10 0，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为 4x 3y 5 0；.......................................................8 分
4 9 5
圆心C1 : ( 1,3)到直线 4x 3y 5 0的距离为 d 2 .............................10分
42 32
所以公共弦长为 L 2 r 2 d 2 2 9 4 2 5 ............................................................12 分1 1
19.解：（1）设圆C的标准方程为 (x a)2 (y b)2 r 2(r 0)
由条件可得：
{#{QQABZY4EogCgAAAAAAgCAwEgCkIQkBCAAAoGgBAAMAABgBFABAA=}#}
(1 a)2 (1 b)2 r2 a 5 a 1 2 2 2
(2 a) (0 b) r ，解得 b 4，或 b 0 .................................................................4 分
r | a |
r 5 r 1
又因为圆C与 y轴正半轴相切，所以 a 5,b 4,r 5满足题意
圆C的标准方程为 (x 5)2 (y 4)2 25 ................................................................................5 分
（2）存在这样的点 P，并且这样的点 P有 2 个．................................................................6 分
假设在圆C上存在点 P(x, y)使得 | PB |2 | PA |2 10
则 (x 2)2 y2 [(x 1)2 (y 1)2 ] 10
化简，得 x y 4 0 ..............................................................................................................9 分
说明点 P为直线 x y 4 0与圆C的公共点.......................................................................10分
又圆C | 5 4 4 | 5的圆心到直线的距离 d 2 5 r
2 2
即直线 x y 4 0与圆C相交
所以在圆C上存在点 P使得 | PB |2 | PA |2 10，并且这样的点 P有 2 个．......................12 分
p p
20.解（1）根据题意可得m 4，所以m 4 ........................................................2 分
2 2
2 p
又 4 2p(4 )，解得 p 4，
2
故所求抛物线 C方程 y2 8x ...................................................................................................4 分
（2）设点M x1, y1 ， N x2 , y2 ，抛物线 y2 8x的焦点坐标为 (2,0)．
当直线 l 的斜率等于 0 时，不存在两个交点，不符合题意；................................................5 分
当直线 l 的斜率不等于 0 时，不妨设过抛物线焦点的直线 l 的方程为： x ty 2；
y2 8x
联立抛物线方程可得 ，消去 x 得： y2 8ty 16 0，
x ty 2
由韦达定理得 y1 y2 8t, y1 y2 16，.............................................................................7 分
{#{QQABZY4EogCgAAAAAAgCAwEgCkIQkBCAAAoGgBAAMAABgBFABAA=}#}
易知 AM (x1 1, y1 3), AN (x2 1, y2 3)，
故 AM AN (x1 1)(x2 1) ( y1 3)( y2 3) (ty1 3)(ty2 3) ( y1 3)( y2 3)
(t2 1) y1y2 (3t 3)( y1 y2 ) 18 (t
2 1)( 16) (3t 3) 8t 18
............................................................10 分
8t2 24t 2 8(t 3 )2 16(t R)
2
3
所以当 t 时，AM AN取最小值 16，..........................................................................11 分
2
此时直线 l 的方程为 2x 3y 4 0 .....................................................................................12分
c
21 解：（1）不妨设双曲线的半焦距为 c，由条件， a 1， 2，所以 c 2
a
于是 b2 c2 a2 3
y2
所以，双曲线C的方程为 x2 1 ........................................................................3 分
3
（2 1 2）设 P( ,t)，则直线 A1P， A2 2
P的方程分别为 y t(x 1)， y 2t(x 1)
3
y
2
t(x 1)
3 4t2M ( 27 , 36t由 2 ，解得 2 2 ) ................................................................5 分
x2 y 1
27 4t 27 4t
3
y 2t(x 1) 2
4t 3 12t
由 y2 ，解得 N ( 2 , 2 ) ...................................................................7 分x2 1 4t 3 4t 3 3
当 3 时， 27 4t2 4t2 3 ，直线MN 垂直于 x轴，直线MN 经过双曲线的右焦点t 2
2 27 4t2 4t2 3
F (2,0) .................................................................................................................................9 分
下证当 t 3 时，直线MN 也经过点 F (2,0)
2
36t
0
k 27 4t
2 36t 36t 12t
MF 2 27 4t 27 4t2 54 8t2 12t2
2 27 4t
2 9
27 4t2
{#{QQABZY4EogCgAAAAAAgCAwEgCkIQkBCAAAoGgBAAMAABgBFABAA=}#}
12t
0
k 4t
2 3 12t 12t 12t
NF 2 2 4t 3 2 4t 3 8t
2 6 9 4t2 4t2 9
4t2
3
所以 kMF kNF ，即直线MN 也经过点 F (2,0) ...............................................................11 分
综上，若直线 A1M 与直线 A2N
1
的交点始终在直线 l : x 上，则直线MN 恒经过双曲线的右
2
焦点 F (2,0) .............................................................................................................................12 分
c 3
22.（1）设椭圆的半焦距为 c，则由 ， a 3c
a 3
短轴的一个端点与两焦点构成的三角形周长为 2a 2c 2( 3 1)c
所以 2( 3 1)c 2( 3 1)，解得 c 1，从而 a 3 b2 a2 c2 2
x2 y2
所以椭圆的方程为 =1 . .............................................................................................2 分
3 2
（2）当直线 AB的斜率存在时，设其方程为 y kx m，由题意知m 0．
x2 y2
将 y kx m代入方程 1中，整理得 (2 3k 2)x2 6km 3(m2 2) 0
3 2
36k 2 2此时必须有 m 12(2 3k 2)(m2 2) 0 ，即3k 2 2 m2 （*）
2
设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，则有 x1 x
6km ,x x 3(m 2)2 1 2 .......................................4 分2 3k 2 2 3k 2
2 2
AB 1 k 2 | x x | (1 k 2所以 1 2 )[(x1 x
2
2) 4x1x2] 1 k
2 2 6 3k 2 m
2 3k 2
....................................................................................................................................................5分
又 A,C 关于原点的对称，则C( x , y ) ，所以点C到直线 AB的距离1 1
h | k( x1) y1 m | | k( x1) (kx1 m) m | 2 |m | .....................................................6 分
1 k 2 1 k 2 1 k 2
2
ABC S 1 1 k 2 2 6 3k 2 m
2 | 2m |
所以三角形 的面积
2 2 3k 2
6
1 k 2
{#{QQABZY4EogCgAAAAAAgCAwEgCkIQkBCAAAoGgBAAMAABgBFABAA=}#}
整理得3k 2 2 2m2，符合（*）式
x1 x又 2 3km 3km 3k ，
2 2 3k 2 2m2 2m
y1 y2 k x1 x
2 2
2 m k ( 3k ) m 2m 3k 1
2 2 2m 2m m
所以弦 AB的中点为
M ( 3k , 1 ) ..........................................................................................7 分
2m m
2 2
从而 BC 2OM 2 9k 1 3(2m 2) 12 2 2 2(3
1
)
4m m 4m2 m2 m2
2
AB 1 k 2 | x x | 1 k 2 2 6 3k 2 m
2 2(m2 1) m2 2m2 1
1 2 2 2 6 1 62 3k 3 2m2 3m2
所以 2
AB BC 6 2m 1 2(3 1 ) 2 (2 1 )(3 1 2 2 2 2 ) ......................................9分3m m m m
因为3k 2 2 2m2，所以m2 1 1 1 ，所以 6 (2 2 )(3 2 )
25
，所以 2 6 AB BC 5
m m 4
.....................................................................................................................................................11 分
当直线 AB的斜率不存在时，三角形 ABC为直角三角形， AB CD 2S 2 6
综上，AB BC的取值范围为 [2 6,5]．...............................................................................12 分
{#{QQABZY4EogCgAAAAAAgCAwEgCkIQkBCAAAoGgBAAMAABgBFABAA=}#}高邮市2023-2024学年高二上学期10月月考
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B. C． D．
2．直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
3．若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何 ”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱 ”则第1人比第3人多得钱数为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
5．在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若且，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
7．已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左右顶点分别为，垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．关于直线：，下列说法正确的有（ ）
A．直线的斜率为 B．经过点
C．在轴上的截距为 D．直线经过第二、三、四象限
10．下列说法正确的有（ ）
A．数列1，2，3和3，2，1是两个不同的数列；
B．数列的最大项为；
C．数列是递减数列；
D．数列的通项公式，若数列为递增数列，则．
11．在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线上一点，则（ ）
A. 曲线关于轴对称；
B. 曲线关于原点对称；
C. 点的横坐标的取值范围为；
D.直线与曲线有且仅有两个公共点．
12．过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，点A，B在C的准线l上的射影分别为，，O为坐标原点，则（ ）
A．以为直径的圆与准线相切
B．可能为正三角形
C．
D．记的面积分别为，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡中的横线上.）
13．在数列中，，则 .
14．点关于直线对称的点的坐标为 ．
15．已知直线与曲线有一个公共点，则实数的取值范围为 .
16．已知直线与圆交于两点，点满足，若的中点为，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(本题满分10分）
已知直线
(1)若直线过点，且，求直线的方程；
(2)若直线，且直线与直线之间的距离为，求直线的方程.
18．(本题满分12分）
已知两圆和，求：
(1)当取何值时两圆外切？
(2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
(本题满分12分）
已知圆经过两点，且与轴的正半轴相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由.
(本题满分12分）
已知为坐标原点，位于抛物线上，且到抛物线的准线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的最小值以及此时直线的方程．
(本题满分12分）
已知双曲线的方程为，离心率为2，左、右顶点分别为，.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知点是直线上任意一点，若直线分别与双曲线交于点，求证：直线
恒过定点．
22．(本题满分12分）
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，其短轴的一个端点与两焦点
构成的三角形周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆上的相异三点，并且关于原点对称，若的面积为，求的取值范围．
