2023-2024学年浙江省杭州市余杭区八年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.某三角形的三边长分别为，，，则可能是( )
A. B. C. D.
3.如图，在四边形中，，添加一个条件后不能保证≌的是( )
A. B. C. D.
4.对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.如图是一个平分角的仪器，其中，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为．( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，，，边的垂直平分线交于，交于点，若，则的周长为( )
A. B. C. D.
8.如图，方格纸中的和的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，已知，，，则( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下列结论：；；；正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.在中，，，则的度数是______ 度
12.如图，，请你添加一个条件：______，使≌．
13.将一副三角板如图所示摆放其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上，那么图中______度．
14.如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线交于点若，则的大小为______
15.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为，则这个等腰三角形顶角的度数为______．
16.设、分别是等腰三角形的两条边的长，是这个三角形的周长，当、、满足方程组时，的值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，已知，根据要求作图：
作边上的高线．
用直尺和圆规作过点将的面积平分的线段．
18.本小题分
如图，已知、交于点，，，求证：点是线段的中点．
19.本小题分
如图，点、、、在同一直线上，点、在的异侧，，，．
求证：≌；
若，，求的度数．
20.本小题分
等腰三角形的周长为．
若已知腰长是底边长的倍，求各边长；
若已知一边长为，求其他两边长．
21.本小题分
两个村庄，与两条公路，的位置如图所示，现打算在处建一个垃圾回收站，要求回收站到两个村庄，的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图中找出点．
22.本小题分
如图，在中，是边上的高线，平分，若：：：：，求的度数．
23.本小题分
如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等？请说明理由．
当点的运动速度为多少时，能够使与全等．
24.本小题分
如图，的和的平分线，相交于点，，
求的度数．
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确；
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出的取值范围，再根据取值范围选择．
本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．由于，加上公共边，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】
解：，，
当添加时，，则可根据“”判断≌；
B.当添加时，则可根据“”判断≌；
C.当添加时，已知两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，不能判断≌；
D.当添加时，则可根据“”判断≌；
故选：．
4.【答案】
【解析】解：当，时，有，但”，
所以，可作为说明原命题是假命题的反例．
根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：、、、、．
根据题目所给条件可利用定理判定≌，进而得到．
【解答】
解：在和中，
，
≌，
，
就是的平分线．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，为的中点，
，
为的中点，
，
为的中点，
，
故选：．
根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积．
本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：垂直平分线段，
，
，，
的周长为：，
故选：．
利用线段垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式计算可求解．
本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：如图所示：
由题意可知：，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
故选：．
先观察图形可知：，，，利用全等三角形的判定定理证明≌，从而证明，再根据，，进行代换即可求出答案．
本题主要考查了角的大小比较，解题关键熟练掌握全等三角形的性质和判定．
9.【答案】
【解析】解：如图，
，，，是的外角，
，
，
是的外角，
．
故选：．
利用三角形的内角和定理及三角形的外角性质进行分析即可．
本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的内角和定理及外角性质，并灵活运用．
10.【答案】
【解析】解：是中线，
，
，
故正确；
是角平分线，
，
是高，
，
，
，，
，
，，
，
故正确；
根据已知条件不能提出，
故错误；
是高，
，
，
，，
，
是角平分线，
，
，
即，
故正确，
故选：．
根据等底等高的两个三角形面积相等即可判断；
根据三角形内角和定理求出，再由三角形外角性质即可判断；
根据等腰三角形的判定即可判断；
根据三角形内角和定理求出，再根据三角形角平分线定义即可判断．
本题考查了三角形的角平分线，中线和高的定义，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线，中线，高的定义是解题的关键，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，，
，
故答案为：．
根据已知条件和三角形的内角和定理，求出答案即可．
本题主要考查了三角形的内角和定理，解题关键是熟练掌握三角形的内角和是．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：添加．
在与中，
，
≌；
添加．
在与中，
，
≌．
故答案为：答案不唯一．
要使≌，且已知，图中可以看出有一个共同的角，则可以用、来判定．
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、适合于两直角三角形添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案为．
根据三角形的内角和为，即可得出的度数．
本题主要考查了三角形的内角和为，熟练掌握三角形的内角和性质是解题的关键，难度适中．
14.【答案】
【解析】解：由作法得平分，
，
，
，
，
．
故答案为．
利用基本作图得到，再利用平行线的性质得，所以，然后根据三角形内角和计算的度数．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
15.【答案】，，
【解析】解：如图，
一腰上的高与底边的夹角为，
底角，
顶角．
故答案为：如图，等腰三角形为锐角三角形，
，，
，
即顶角的度数为．
如图，等腰三角形为钝角三角形，
，，
，
．
故答案为：，，．
等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为，根据直角三角形两锐角互余求出底角的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，需要注意等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为中等腰三角形是钝角三角形时不成立．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
16.【答案】或
【解析】解：若是腰长，是底边，则，
、、满足方程组，
把代入
解得：，，，
，不符合三角形任意两边之和大于第三边，
舍去；
若是腰长，是底边，则，
、、满足，
把代入
解得：，．
若，则、是腰，则，解得，，，符合三角形的三边关系．
故答案为：或．
分类讨论若是腰长，是底边，则，若是腰长，是底边，则，若，则、是腰．再根据已知条件解方程组即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度不大，关键是要掌握分类讨论的思想．
17.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
【解析】根据三角形的高的定义，过点作的垂线即可；
作的垂直平分线得到的中点，则平分的面积．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18.【答案】证明：，
，．
在和中
，
≌，
，
点是线段的中点．
【解析】由就可以得出，，根据由就可以得出≌而得出结论．
本题考查了平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时由平行线的性质寻找三角形全等的条件是关键．
19.【答案】证明：，
，
在与中，
≌，
解：由知，≌，
，，
，
，
，
又，
，
．
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的根据．
由，得，再利用证明≌；
由中全等的性质可得，，，可知，再利用三角形外角的性质，从而得出答案．
20.【答案】解：如图，设底边，则，
等腰三角形的周长是，
，
，
，
等腰三角形的三边长是，，；
当等腰三角形的底边长为时，腰长；
则等腰三角形的三边长为、、，能构成三角形；
当等腰三角形的腰长为时，底边长；
则等腰三角形的三边长为，、，能构成三角形．
故等腰三角形其他两边的长为，或、．
【解析】设底边，则，代入求出即可；
分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
21.【答案】解：如图，点即为所求．
【解析】依据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，即可得到点的位置．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
22.【答案】解：在中，
：：：：，
，，
是边上的高线，
，
，
平分，
，
．
【解析】先根据各角的比求出，，的度数，再利用求出的度数，利用平分求出的度数，利用解答即可．
本题考查了三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理，角平分线的定义是解题的关键．
23.【答案】解：
全等，理由如下：
当运动秒后，则，
，
为中点，且
，
，
在和中
≌；
与全等，
有≌或≌，
当≌时，
则，，
设点运动的时间为秒，
则，解得秒，
点的速度，
当≌时，
由可知秒，
，
点的速度，
即当点每秒运动或时≌．
【解析】经过秒后，可得，则，可证明≌；
由与全等可知有≌或≌，全等可得或，或可求得的长，可求得点运动的时间，由或可求得点运动的路程，可求得其速度．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，即、、、和
24.【答案】解：在中，，
，的平分线，相交于点，
，，
，
在中，．
证明：在上取一点，使得，
，、是的角平分线，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】根据三角形的内角和等于列式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和等于列式计算即可得解．
在上取一点使得，易证，即可证明≌，可得，即可证明≌，可得，根据即可证明．
本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
第1页，共1页
