2023-2024学年福建省福州重点中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.第届冬季奥林匹克运动会将于月日日，在北京和河北张家口举行．下列体育运动项目图标中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列调查中，适宜采用普查方式的是( )
A. 了解某校初三一班的体育学考成绩 B. 了解某种节能灯的使用寿命
C. 了解我国青年人喜欢的电视节目 D. 了解全国九年级学生身高的现状
3.点关于轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
4.不等式在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在 中，，，的平分线交于点，则的值是( )
A. B. C. D.
6.如图，，，平分外角，则与的关系是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，，，为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，那么超市( )
A. 距离小区较近
B. 距离小区较近
C. 距离小区较近
D. 与，，小区的距离相等
8.在中，已知，则是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
9.下列说法正确的是( )
等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有两个内角分别是和的三角形是等腰三角形．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.在平面直角坐标系中，点，点，点，且在的右侧，连接，，若在，，所围成区域内含边界，横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为，那么的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.若一等腰三角形的两边长分别为、，则该三角形的周长为______ ．
12.如图，中，，线段上的点在边的垂直平分线上已知则的度数为______ ．
13.如图，在的正方形网格中，则 ______ ．
14.如图是某班个学生在一次数学测试中成绩的频数分布直方图成绩为整数，图中从左到右的小长方形的高度比为：：：：，则该次数学测试成绩在到之间的学生有______人．
15.图是一个三角形，沿直线折叠后得到图，图中多边形直线右侧部分图形的面积是三角形面积的，已知图中阴影部分的面积和为，将三角形的面积记作，若，则四边形的面积是______ ．
16.如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点，，使的周长最小，则 ______
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：
；
18.本小题分
如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且求证：≌．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，
在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为______；
如果要使以、、为顶点的三角形与全等、不重合，写出所有符合条件的点坐标．
20.本小题分
为庆祝中国共产党建党周年，育才中学共名学生参加了学校举行的党史知识竞赛满分分从中抽取部分学生的成绩进行统计分析．
收集数据：
整理、分析数据：
分组 划记 频数
正一
正正正一
正正
合计
根据以上信息，解答下列问题：
求出表格中的______，______；并把频数分布直方图补充完整；
从直方图中你能得到什么信息写出两条即可？
如果成绩达到分含分以上者为优秀，可推荐参加进入决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．
21.本小题分
如图，电信部门要在区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．尺规作图
22.本小题分
某学校开展课本剧展示活动，计划购买、两种奖品，已知购买件奖品和件奖品，共需费用元；件奖品比件奖品的费用多元．
求奖品和奖品每件各需多少元；
若学校计划购买、两种奖品共件，且奖品的数量不少于奖品的一半，两种奖品购买总费用不超过元，该校怎校采购可使总费用最低？最低费用是多少元？
23.本小题分
在平面直角坐标系中，对于点、两点给出如下定义：若点到，轴的距离的较大值等于点到，轴的距离的较大值，则称、两点为“等距点”如点和点就是等距点．
下列各点中，是的等距点的有______ ；
已知点的坐标是，点的坐标是，若点与点是“等距点”，求点的坐标；
若点与点是“等距点”，直接写出的值．
24.本小题分
阅读理解：
如图，在中，若，，求边上的中线的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是______ ；则中线的取值范围是______ ；
问题解决：
如图，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．
问题拓展：
如图，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系，并说明理由．
25.本小题分
已知在方程组中，、均为正数．
求出、的值用含代数式表示；
求出的取值范围；
当为何正整数时，求：的最大值？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：、了解某校初三一班的体育学考成绩，适合普查，故A正确；
B、了解某种节能灯的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故B错误；
C、了解我国青年人喜欢的电视节目，调查范围广，适合抽样调查，故C错误；
D、了解全国九年级学生身高的现状，调查范围广，适合抽样调查，故D错误；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是：．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：不等式
在数轴上表示为
故选：．
根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．
不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
5.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
；
故选：．
由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，证出，由等腰三角形的判定得出，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、角平分线定义以及平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
平分外角，
，
，
故选：．
先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用等量代换即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，
超市与，，小区的距离相等，
故选：．
根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等判断即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设，
，
，
，
，
，
，
该三角形是等腰三角形．
故选：．
根据三角形内角和定理求出三个内角的度数即可判断．
本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的判定定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，
不正确；
一个外角为，
该等腰三角形有一个内角为，
该等腰三角形为等边三角形，
正确；
三个角都相等的三角形是等边三角形，
正确；
在一个三角形中，两个角为、，则可求得第三个角为，
该三角形为等腰三角形，
正确；
所以正确的有共三个，
故选：．
由三线合一的条件可知不正确，由等边三角形的判定可知正确，由等腰三角形的判定可知正确，可得出答案．
本题主要考查等腰三角形判定和性质及等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：当，，所围成区域内含边界，横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为个时，
点和点一定在围成的区域内，
点，点在区域内部或在边界上，
当点、在边界上时，，，，
当点、在区域内部时，，，，
的取值范围为．
故选：．
连接，，根据已知点的坐标和在，，所围成区域内含边界，横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为个时，点和的位置，在哪两个点之间，从而确定的取值范围．
本题主要考查坐标与图形性质，点的坐标以及一元一次不等式，深入理解题意是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：当是腰时，，不符合三角形三边关系，故舍去；
当是腰时，周长．
故它的周长为．
故答案为：．
题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
点在边的垂直平分线上，
，
，
，
故答案为：．
根据直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
在和中，
≌，
，
，
，
故答案为：．
由题意得，，，用可证明≌，根据全等三角形的性质和角之间的关系即可得．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
14.【答案】
【解析】【分析】
根据小长方形的高度比为：：：：，可以求出该次数学测试成绩在到之间的学生人数所占的比，从而求出结果．
【解答】
解：人，
故答案为：．
【点睛】
本题考查频数分布直方图，求出该次数学测试成绩在到之间的学生人数所占的比是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：设原三角形的面积为，
图的面积为，
图中多边形直线右侧部分图形的面积是三角形面积的，
：，
解得，
故三角形为
，
四边形的面积，
故答案为：．
设原三角形的面积为，根据题意列方程得到三角形为根据已知条件得到于是得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．
，
，
，，且，，
，
故答案为：．
要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先根据有理数的乘方以及算术平方根和立方根的意义化简，再算乘法，最后计算加减即可；
先去括号和去绝对值，再计算加减即可．
本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌．
【解析】结合平行线的性质，由“”可证≌．
本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．
19.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；的坐标为；
故答案为：；
所有符合条件的点坐标为：或或．
根据轴对称的性质即可作出关于轴对称的，进而可以得的坐标；
根据网格利用全等三角形的判定即可写出所有符合条件的点坐标．
本题考查了作图轴对称变换，勾股定理，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
20.【答案】
【解析】解：分别统计各组频数可得，在组的频数为，即；在组的频数为，即，
故答案为：，，补全频数分布直方图如下：
样本中，在的人数最多，达到人；
成绩比较集中在范围内，约占调查人数的；
人，
答：该校进入决赛的学生大约有人．
根据频数统计的方法，分组统计各组频数即可得出、的值；
由频数分布直方图得出相应的结论即可；
求出样本中“分”以上的人数所占整体的百分比，即可估计总体中“分”以上的人数．
本题考查频数分布表，频率分布直方图，掌握统计的方法是得出正确答案的前提．
21.【答案】解：作的角平分线，作的垂直平分线，得
，
的角平分线与的垂直平分线的交点即为所求得点．
【解析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得答案．
本题考查了作图，画出角平分线与线段的垂直平分线是解题关键．
22.【答案】解：设奖品每件元，奖品每件元，
由题意得：，
解得：，
奖品每件元，奖品每件元；
设购买奖品件，则购买奖品件，
奖品的数量不少于奖品的一半，两种奖品购买总费用不超过元，
，
解得：，
设购买的总费用为，
则，
，
随的增大而增大，
，
当时，取得最小值，最小值为，
该校购买奖品件，奖品件总费用最低，最低费用为元．
【解析】设奖品每件元，奖品每件元，根据“购买件奖品和件奖品，共需费用元；件奖品比件奖品的费用多元”可得关于，二元一次方程组，求解即可；
设购买奖品件，则购买奖品件，根据“奖品的数量不少于奖品的一半，两种奖品购买总费用不超过元”可得关于的一元一次不等式组，解得，设购买的总费用为，则，再根据一次函数的性质即可求解．
本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质，理清题意，根据题中所蕴含的等量关系或不等关系列出方程组和不等式组是解题关键．
23.【答案】
【解析】解：到，轴的距离的较大值为：，到，轴的距离的较大值为：，
到，轴的距离的较大值为：，到，轴的距离的较大值为：，
是的等距点；
故答案为：；
由题意，可分两种情况：，解得或不合题意，舍去；
，解得不合题意，舍去或，
综上所述，点的坐标为或；
由题意，可分两种情况：当时，，
或，
解得或不合题意，舍去；
当时，，
或，
解得或不合题意，舍去；
综上所述，或．
根据等距点定义即可求解；
根据“等距点”的定义解答即可；
根据“等距点”的定义分情况讨论即可．
本题主要考查了点的坐标，掌握“等距点”的定义是解答本题的关键．
24.【答案】 ，见解析；见解析
【解析】解：延长到点使，再连接，
，，，
≌，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：，；
延长至，使，连接，
，，，
≌，
，
连接，
，，
是等腰三角形，
，
在中，，即；
延长至使，连接，
，，
，
，，
≌，
，，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
．
延长到点使，再连接，证明≌，可得，再由三角形三角关系可得，；
延长至，使，连接，证明≌，可得，连接，可知是等腰三角形，则在中，，即；
延长至使，连接，证明≌，可推导出，再证明≌，则，能推导出．
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角形三边关系是解题的关键．
25.【答案】解：，
得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：；
、均为正数．
，，
，
解得：，
的取值范围为：；
，，
，
，为正整数，
当时，有最大值，且，
当时，的最大值为．
【解析】利用加减消元法进行计算，即可解答；
根据已知可得，，从而可得，然后进行计算即可解答；
把，代入中进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，列代数式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
第1页，共1页
