2023-2024学年黑龙江省大庆市龙凤区重点中学一部高一（上）段考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是( )
A. B. C. D.
2.已知全集，，则集合的真子集个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.设，二次函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数，若，则实数的值是( )
A. 或 B. 或 C. D. 或或
5.下列命题正确的是( )
A. “，”的否定为假命题
B. 若“，”为真命题，则
C. 若，则的最大值是，无最小值
D. 的必要不充分条件是
6.已知集合满足：，，，，必有，集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为( )
A. B. C. D.
7.设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若，，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. B.
C. 的最小值为 D. 的图象与轴有个交点
11.当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
12.已知的解集是，则下列说法正确的是( )
A. 不等式的解集是
B. 的最小值是
C. 若 有解，则的取值范围是
D. 当时，，的值域是，则的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知：，；：，则是的______ 条件在充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入
14.含有个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ______ ．
15.已知，则的最小值是______ ．
16.设集合，函数，若，且，则的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合或，集合．
若，求和；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为一位顾客到店里购买克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡．最后将两次称得的黄金交给顾客，
试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？
如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由．
19.本小题分
已知一元二次不等式的解集为，关于的不等式的解集为其中．
求集合；
在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求的取值范围：若不存在，说明理由问题：是否存在实数，使得_____？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20.本小题分
已知二次函数满足，且．
求的解析式；
设函数为实数，求函数在区间上的最小值．
21.本小题分
设函数．
当时，求函数的单调递减区间；
若函数在上单调递增，求的取值范围；
若对，不等式恒成立，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
若在区间上是单调减函数，求的取值范围；
设，若对任意的正实数，总存在使得，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，集合中至多有一个元素，
若集合为空集，即时，显然满足条件，故成立，
若集合非空集，即，此时，
若，则，若，则，
故的取值集合为．
故选：．
先化简集合，集合中至多有一个元素，分类对其求解即可，本题要分成两类，一类为无解，一类为有一解．
本题的考点是集合的包含关系判断及应用，本题考查利用集合的包含关系求参数，此类题一般要进行分类讨论求参数的值，求解本题时不要忘记集合为空集的情况，此为本题的易错点．
2.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
，
所以集合的真子集个数为，
故选：．
利用题中的条件解出集合，进而解出集合，即可解出．
本题考查了集合运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：中，，，对称轴，则，则与矛盾．
中．，，对称轴，则，则与矛盾．
C.，，对称轴，则，则与矛盾．
D.，，对称轴，则，则与一致，有可能．
故选：．
分别判断，，的符号，检验是否一致即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合二次函数开口方向，对称轴判断，，的符号是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：若，则，
舍去，
若，则，，
综上可得，或．
故选：．
根据函数解析式，分别讨论，两种情况，结合题中条件，即可求出结果．
本题主要考查了函数值的求法，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，“，”的否定为，，
，
故“，”的否定为真命题，故A错误；
对于，“，”为真命题，
当时，不恒成立，不符合题意，
当时，，解得，
综上所述，，故B错误；
对于，，
令，即，解得，
当时，，
当时，，
综上所述，函数的最大值为，无最小值，故C正确；
对于，当时，满足，但无意义，故D错误．
故选：．
对于，结合命题否定的定义，即可求解；
对于，结合二次函数的性质，即可求解；
对于，分类讨论函数的值域，即可求解；
对于，结合特例，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：对于条件，，，，必有，
若集合中所有的元素是由公差为的等差数列构成，例如，集合中有个元素，
又，，
则该集合满足条件，不符合条件，故符合条件的集合中元素个数最多不能超过个，
故若要集合满足：，，，，必有，集合中所有元素之和为，最多有个元素，
例如．
故选：．
根据集合满足的条件可知要使得集合中元素尽可能多，则相邻的两个自然数最少差为，故先考虑集合中元素是由公差为的等差数列构成，判断集合元素的个数的最多情况，再对部分元素进行调整即可得答案．
本题主要考查元素与集合的关系，集合中元素个数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为当时，；，
所以，即若在上的点的横坐标增加，则对应值变为原来的；若减少，则对应值变为原来的倍．
当时，，，
故当时，对任意，不成立，
当时，，
同理当时，，
以此类推，当时，必有．
函数和函数的图象如图所示：
因为当时，，
令，解得，舍去，
因为当时，成立，所以．
故选：．
由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出的取值范围．
本题考查函数的“类周期性”，根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用．
由已知得的周期为，则，由已知得，，即可求出函数的解析式，即可得解．
【解答】
解：因为为奇函数，
所以，
所以的图象关于中心对称，则，
因为为偶函数，
所以，
所以的图象关于直线轴对称．
由，得，
所以，
则，即的周期为，
所以，
又因为，，，
所以，则，
因为当时，，
即，解得，
所以，当时，，
所以．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：，，A正确；
，，B错误；
，，，，，，C正确；
时，，D错误．
故选：．
根据判断的正误；根据条件作差可判断的正误；时可判断的正误．
本题考查了不等式的性质，作差比较法的运用，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：令，得，则，
得，
故，，，A正确，B错误．
，所以在上单调递增，
，的图象与轴只有个交点，C正确，D错误．
故选：．
利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可．
此题考查函数解析的求法，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：集合，，
若与构成“全食”或“偏食”，则．
当时，，；
当时，，，
若，则，不满足；
若，则，满足；
若，则，满足．
结合选项可知，实数的取值可以是，，．
故选：．
由题意可得，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查子集与真子集，考查集合间关系的应用，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：的解集是，
则且，为的根，
所以，解得，，
不等式可化为，即，
故，故不等式的解集是，故选项A正确；
，，
则，当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为，故选项B正确；
因为，当时，有解，而，故选项C错误；
当时，，，，，
故，，
在的值域是，
，即的取值范围是，故选项D正确．
故选：．
结合二次不等式与二次方程的转化关系可得，，的关系及正负，解不等式检验选项A；结合基本不等式检验选项B；结合对勾函数单调性，举出反例检验选项C；结合二次函数的性质检验选项D．
本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，还考查了基本不等式求解最值，函数单调性的性质，属于中档题．
13.【答案】必要不充分
【解析】解：因为：，为真命题等价于不等式在上恒成立，
当时，显然不成立；
当时，，解得，
综上，实数的取值范围为，
所以：，
又因为：，
所以是的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
将全称命题为真命题转化为不等式恒成立，利用充分必要条件判断即可求解．
本题考查充分必要条件，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
显然，，
，
此时，
，且，
，
．
故答案为：．
根据集合相等的定义求解．
本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，，，
，
当且仅当，即取等号，
则的最小值是．
故答案为：．
先将分离常数，再利用“”的代换的方法求最值．
本题考查基本不等式，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，，
当，即时，，
又，所以，解得，此时无解；
当，即时，，
又，所以，解得，
又，，
故，
故答案为：．
先求出，然后按，两种情况进行讨论求出，再根据可得的范围，进而求得的取值范围．
本题考查分段函数的求值，考查分类讨论思想，考查学生的运算能力，属中档题．
17.【答案】解：，．
，或；
由，得，
若，即，，满足；
当，即时，要使，
则或，解得．
使的的取值范围是或．
【解析】本题考查了交集及其运算，考查了分类讨论的解题思想方法，是基础题．
，，即可求和；
由，得，然后分为和不为讨论，当不是时，由两集合端点值间的关系列不等式组求得的取值范围．
18.【答案】解：由于天平两臂不等长，设天平左臂长为，右臂长为，且，
先称得黄金为，后称得黄金为，则
，，则，，所以，
当且仅当，即时取等号，
由，所以，
顾客购得的黄金是大于；
由再一次将的砝码放在天平左盘，再取黄金放在右盘使之平衡，
则此时有，此时有，
所以三次黄金质量总和为：
，
当且仅当，即时取等号，
，
所以三次黄金质量总和要最小，则左臂长和右臂长之比．
【解析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡，然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论；
再一次将的砝码放在天平左盘，再取黄金放在右盘使之平衡，加上前两次利用基本不等式进行分析即可．
本题考查基本均值不等式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：不等式可化为，
当时，解不等式得，；
当时，，解不等式得，或；
当时，，解不等式得，；
当时，，不等式无解；
当时，，解不等式得，．
综上，时，；时，或；
时，；时，；时，；
解不等式，得或，所以或，
若选择，则，
由知，当时，，令，解得；
当时，也成立，
所以选择，实数的取值范围是；
若选择，，
由知，当，，时，都能符合条件；
当时，，令，解得，
所以选择，实数的取值范围是或；
所以选择，的取值范围是或；
若选择，，则，
由知，当时，成立；
当时，也成立，
所以选择，实数的取值范围是．
【解析】解关于的不等式，根据的范围，分类讨论，解不等式即可；
解不等式得或，分别选择，由题意列式求得的取值范围；
选择，，根据的范围，分类讨论，利用交集运算得结论；
选择，，得，由此可求出的取值范围．
本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论思想，是中档题．
20.【答案】解：设，
因为，所以，，
即，得，所以；
由题意知，对称轴为，
当，即时，在上单调递增，；
当，即时，；
当，即时，在上单调递减，．
【解析】设出二次函数的解析式，利用已知条件列出方程组求解即可．
求出函数的解析式，求出函数的对称轴，利用对称轴与求解的关系，求解函数的最值即可．
本题考查二次函数的简单性质以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：时，，
当时，，对称轴方程为，
所以在在上为减函数，在为增函数；
当时，，此时在上为增函数，
故函数的单调递减区间为．
，
因为函数在上单调递增，故，
解得，
所以的取值范围是；
恒成立等价于且恒成立，
若恒成立，则，即，故；
若恒成立，
又，故，
所以，即，所以，
综上，的取值范围为．
【解析】去掉绝对值符号可得，根据一次函数和二次函数的单调性可得函数的单调递减区间；
去掉绝对值符号可得，根据函数在上单调递增可得关于的不等式组，从而可得其取值范围．
恒成立等价于且恒成立，前者可分类讨论，后者可结合一次函数的图象和性质，两者结合可得的取值范围．
本题考查了分段函数的单调性以及函数恒成立问题，属于中档题．
22.【答案】解：若在区间上是单调减函数，
当时，单调递减，符合题意；
当时，函数图象对称轴，即；
当时，恒成立．
综上，的取值范围是；
由，
令，恒成立，
在上单调递增函数，
由，，则，
因为总存在，使得，
所以，而，
若，，即时，
所以，所以；
若，，即时，，
所以，所以．
综上，实数的范围为．
【解析】根据函数最高次项的系数，分类讨论与的关系，并比较区间端点与对称轴的大小，进而求解；
由，令，求导判断单调性，求出的值域，分类讨论找到的最大值，解不等式，求出的取值范围．
本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
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