2023-2024学年辽宁省阜新市九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2.用配方法解方程时，配方后正确的是( )
A. B. C. D.
3.近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，点为边的中点，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
6.如图，四边形的对角线、相交于，下列判断正确的是( )
A. 若，则四边形是菱形
B. 若，则四边形是矩形
C. 若，，则四边形是正方形
D. 若，，则四边形是平行四边形
7.某小区原有一块长为米，宽为米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周场内筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为平方米，设这条步道的宽度为米，可以列出方程是( )
A. B.
C. D.
8.在元旦晚会上有一个闯关活动：将张分别画有正方形、圆、平行四边形、菱形的卡片任意摆放卡片大小、质地、颜色完全相同，将有图形的一面朝下，从中任意翻开张，如果翻开的张都是既是中心对称图形又是轴对称图形，就可以过关那么一次过关的概率是( )
A. B. C. D.
9.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，点、分别在正方形的边、上，，已知正方形的四条边都相等，四个内角都是直角，，则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．
12.不透明的袋子中装了个红球，个黑球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出个球，放回并摇匀，再随机摸出一个球，则摸出个红球的概率为______ ．
13.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了次手，求这次会议到会的人数，若设这次会议到会人数为，则根据题意可列方程_________．
14.如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是______ 第一个圆三等份，第二个圆二等份，红色和蓝色配成紫色
15.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为______ ．
16.如图，菱形的对角线、相交于点，且，，分别过点、作与的平行线相交于点点在直线上运动，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
解下列方程：
；
．
18.本小题分
在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；精确到
假如你摸一次，你摸到白球的概率白球______；
试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
19.本小题分
已知：如图，是的角平分线，过点分别作和的平行线交于点，交于点．
求证：四边形是菱形；
若，，则四边形的面积为______．
20.本小题分
为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类分别用，，依次表示这三类比赛内容现将正面写有，，的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．
21.本小题分
阅读材料：
材料：关于的一元二次方程的两个实数根和系数，，，有如下关系：，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ______ ， ______ ．
类比：已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值；
提升：已知实数，满足，且，求的值．
22.本小题分
如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动、同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
的面积能否等于？请说明理由．
几秒后，四边形的面积等于？请写出过程．
23.本小题分
年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件元的价格出售经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
求该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率；
从月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价元，月销售量就会增加件当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达元？
24.本小题分
在综合与实践活动课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，如图，现有矩形纸片，，．
动手操作
将图中的矩形纸片折叠，使点落在边上的点处，然后展平，得到折痕，连结，，如图．
解决问题
请根据图完成下列问题：
线段的长为______线段的长为______．
试判断四边形的形状，并给予证明．
拓展探究
将图中的矩形纸片再次折叠，使点落在上的点处，然后展平，得到折痕，连结，如图，则线段的长为______．
25.本小题分
如图，正方形中，点是对角线的中点，点是线段上不与，重合的一个动点，过点作且交边于点．
求证：；
如图，若正方形的边长为，过作于点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；
如图，直接写出线段，，之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由原方程得到：，则该方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，．
故选：．
首先将原方程化为一般式，然后由一般式即可求得一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先把移到方程的右边，然后方程两边都加，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3.【答案】
【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
据此可以估计黑色部分的面积为．
故选：．
用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
4.【答案】
【解析】解：，点是斜边的中点，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，求出，再根据勾股定理求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5.【答案】
【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据一元二次方程根的判别式解答即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、若，则四边形不一定是菱形，故选项A不符合题意；
B、若，则四边形不一定是矩形，故选项B不符合题意；
C、若，，则四边形不一定是正方形，故选项C不符合题意；
D、，，
四边形是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：．
根据矩形，菱形，正方形，平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设健走步道的宽度为米，
根据题意得：，
故选：．
设出健走步道的宽度，然后根据面积间的关系列出方程求解即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系并列出方程．
8.【答案】
【解析】解：将正方形、圆、平行四边形、菱形分别记为，，，，
则既是中心对称图形又是轴对称图形的为，，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中翻开的张都是既是中心对称图形又是轴对称图形的结果有：，，，，，，共种，
一次过关的概率是．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及翻开的张都是既是中心对称图形又是轴对称图形的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、轴对称图形、中心对称图形，熟练掌握列表法与树状图法、轴对称图形、中心对称图形是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：作于点，连接，
四边形是矩形，
，，，
，
，，，
，
，
，
，
解得，
，，垂足分别为点，，，
，
，
，
故选：．
作于点，连接，先由矩形的性质证明，再由，，，根据勾股定理求得，则，由，求得，由，得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
故选：．
过点作，交的延长线于点，由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，利用勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：设方程的另一个根是，
依题意得：，
解得：．
故答案为：．
设方程的另一个根是，根据两根之和等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出，此题得解．
本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之和等于是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中摸出个红球的结果有种，
摸出个红球的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及摸出个红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设这次会议到会人数为，根据每两个参加会议的人都相互握了一次手且整场会议一共握了次手，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设这次会议到会人数为，
依题意，得：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由树状图可知，共有种可能，配得紫色的有种，所以概率是．
先用画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】
【解析】解：四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
故答案为：．
根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌可得答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，证明≌是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图所示：
四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，，
作点关于的对称点，即点，连接，交于点，连接，
，
，
两点之间线段最短，
此时有最小值，即线段，
在中，，
的最小值为．
作点关于的对称点，即点，连接，交于点，连接，根据两点之间线段最短，此时有最小值，即线段再根据勾股定理求出的长即可．
本题主要考查了轴对称最短问题，菱形的性质，解题的关键熟练掌握勾股定理．
17.【答案】解：，
，
，
或，
解得：，；
，
，，，
，
，．
【解析】移项后，利用因式分解法求解即可；
直接利用公式法求解即可．
本题考查了因式分解法和求根公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及求根公式是解题的关键．
18.【答案】；
；
盒子里黑、白两种颜色的球各有，．
【解析】解：摸到白球的频率为，
当很大时，摸到白球的频率将会接近．
故答案为：．
摸到白球的频率为，
假如你摸一次，你摸到白球的概率白球．
故答案为：．
见答案．
【分析】
计算出其平均值即可；
概率接近于得到的频率；
白球个数球的总数得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数．
本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率．
19.【答案】解：证明：是的角平分线，
，
，，
四边形是平行四边形，，
，
，
平行四边形是菱形；
【解析】见答案；
解：连接，与交于点，
四边形是菱形，
、互相垂直且平分，
，
，
根据勾股定理，，
，
四边形的面积．
故答案为：．
由已知易得四边形是平行四边形，由角平分线的定义和平行线的性质可得，证出，则可得出四边形是菱形；
因为菱形的对角线互相垂直平分，可得，根据勾股定理，求出，可求出答案．
此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到同一类比赛内容的有种，
所以小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为．
【解析】用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
21.【答案】
【解析】解：一元二次方程的两个根为，，
，；
故答案为：，；
一元二次方程的两根分别为，，
，，
；
实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
．
利用根与系数的关系，即可得出及的值；
利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论；
由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，结合，可求出的值，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
22.【答案】解：的面积不能等于，
理由如下：
，，
运动时间的取值范围为：，
根据题意可得：，，，
假设的面积等于，
则，
整理得：，
，
所列方程没有实数根，
的面积不能等于；
由得：，，，运动时间的取值范围为：，
四边形的面积等于，
，
整理得：，
解得，，
运动后点与点重合，不存在四边形，
，四边形的面积等于．
答：，四边形的面积等于．
【解析】根据的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得所列方程没有实数根，进而得出的面积不等等于；
根据四边形的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记当时，方程无实数根．
23.【答案】解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为；
设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该款吉祥物售价为元时，月销售利润达元．
【解析】设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，利用月份的销售量月份的销售量该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】解：；；
四边形是正方形，
证明：由折叠可知≌，
，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
．
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正方形的判定和性质．
由折叠可知≌，可得，，则，根据矩形的性质得到，，可得到四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得的长；
由折叠可知≌，可得，，根据矩形的性质得到，可得到四边形是矩形，由于，于是得到四边形是正方形；
设，则，由折叠可知≌，可得，，，则，在中，根据勾股定理可得的值，即可求解．
【解答】
解：由折叠可知≌，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
四边形是矩形，
，
；
见答案；
设，则，
由折叠可知≌，
，，
，
，
在中，，
，
解得：，
即．
25.【答案】证明：如图，过作，交于，交于，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
中，，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
≌，
；
在点运动的过程中，的长度不发生变化，理由是：
如图，连接，
点是正方形对角线的中点，
，
，
，
，
，
，
，
由得：，
≌，
，
，是等腰直角三角形，
为定值是；
如图，，理由是：
，
是等腰直角三角形，
，
由知：，
，
是等腰直角三角形，
．
【解析】作辅助线，构建全等三角形，根据证明≌可得结论；
如图，连接，通过证明≌，得，则为定值是；
根据和是等腰直角三角形，得，，整理可得结论．
本题考查用正方形性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件和性质进行有条理的思考和表达能力．利用条件构造三角形全等是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性很强，难度适中．
第1页，共1页
