2023－2024学年度第一学期阶段性测试卷（1/4）
九年级数学（HS）
注意事项：
1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟。
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上。
3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．要使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则等于（ ）
A．2a B．4a C．8a D．16a
8．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．估算的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．8和10之间 D．10和11之间
10．对于实数a，b，先定义一种新运算“*”如下：．若，则实数等于（ ）
A．8.5 B．4 C．4或－4.5 D．4或－4.5或8.5
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若关于的方程的一个解为，则的值为______．
12．若与二次根式的积是有理数，则的值可以是______．（写一个即可）
13．已知是方程的一个根，则代数式的值是______．
14．把中根号外面的因式移到根号内的结果是______．
15．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：．若，则______．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（12分）计算题：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
17．（12分））用适当的方法解方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
18．（8分）三角形的周长为，面积为，已知两边的长分别为和，求：（1）第三边的长；
（2）第三边上的高．
19．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根是负数，求的取值范围．
20．（8分）阅读与思考：阅读下面内容并完成任务．
小明同学在解一元二次方程时，两边同时除以，得到，于是得到原方程根为；小华同学的解法是：将移到等号左边，得到，提公因式，得即或，进而得到原方程的两个根，．
任务一：请对小明、小华同学的解法是否正确作出判断；
任务二：若有不正确，请说明其理由；
任务三：直接写出方程的根．
21．（8分）某绘画艺人第一天的收入为875元，第三天的收入为1260元（每天收入的增长率相同）．
（1）求绘画艺人每天平均收入的增长率是多少？
（2）绘画艺人想制作一幅长30分米，宽20分米的一幅画，其中有一横一竖宽度相同的彩条（彩条无费用），其余空白处进行作画，如图所示，作画区域的费用为每平方分米3元，经预算作画区域的总费用恰好是第四天的收入，求彩条的宽度是多少分米．
22．（9分）像，……，这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，
如：，
再如：．
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若，且a、m、n为正整数，求的值．
23．（10分）如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，直接写出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
2023－2024学年度第一学期阶段性测试卷（1/4）参考答案
九年级数学（HS）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．B 8．A 9．C 10．B
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．－1 12．2 13．2028 14． 15．－3或4
三、解答题（共8题，共75分）
16．解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
17．解：（1）∵，∴，∴，；
（2）∵，∴，
则，即，
∴，∴，；
（3）∵，∴，
∴或，解得，；
（4）∵，∴，
则或，解得，．
18．解：（1）∵三角形周长为，两边长分别为和，
∴第三边的长是：；
（2）∵面积为，
∴第三边上的高为．
19．（1）证明：∵关于的一元二次方程，
∴，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：由求根公式可求得x=3或x=m－2，
若方程有一个根为负数，则m－2<0，解得m<2．
综上可知，若方程有一个根是负数，m的取值范围为m<2．
20．解：任务一：小明同学的解法错误；小华同学的解法正确；
任务二：当x－3=0时，方程的两边不能同时除以x－3．
任务三：（x－5）3－4（x－5）2=0，
（x－5）2（x－5－4）=0，
x－5=0或x－9=0．
解得：x1=x2=5，x3=9．
21．解：（1）设绘画艺人每天平均收入的增长率是x．
875（1+x）2=1260，
x1=0.2，或x2=－2.2（不符合题意，舍去），
答：绘画艺人每天平均收入的增长率是20%；
（2）第四天的收入是1260×（1+20%）=1512（元）
作画区域的面积是1512÷3=504（平方分米），
设彩条的宽度是y分米．
（30－y）（20－y）=504．
y1=2，y2=48（不符合题意，舍去）．
答：彩条的宽度是2分米．
22．解：（1）
；
（2）
；
（3）∵，
∴，
即或，
∴，，，或，，，
答：的值为14或46．
23．解：（1）∵，则，
∴，．则，；
（2）由题意得，，
∴，（舍去），
则时，；
（3）为10秒或9.5秒或秒时，是等腰三角形．
【提示】存在点，使是等腰三角形，
①当时，（秒）；
②当（即为对角线AC中点）时，AB=3，BC=4．
∴，，
∴（秒）；
③当时，作于，
，，
∴，∴（秒），
可知当为10秒或9.5秒或秒时，是等腰三角形．
