河南省平顶山市郏县中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（3分）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图所示的正三棱柱，下列说法正确的是（ ）
A．该三棱柱的俯视图是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．该三棱柱的俯视图是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．该三棱柱的俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该三棱柱的俯视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“在足球赛中弱队战胜强队”是不可能事件
B．疫情期间，从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用抽样调查
C．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是0.5
D．数据201，202，198，199，200的方差是0.2
4．（3分）下列计算：①a2 a3＝a5；②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；③（﹣2a2bc）3＝﹣8a6b3c3；④3x2y4÷（﹣xy2）＝﹣3xy2，其中计算正确的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）机器人从点A0出发朝正东方向走了2m到达点A1，记为第1次行走；接着，在点A1处沿逆时针方向旋转60°后向前走2m到达A2，记为第2次行走；再在点A2处沿逆时针方向旋转60°后向前走2m到达点A3，记为第3次行走，…以此类推，该机器人第一次回到出发点A0时所走过的路程为（ ）
A．20m B．16m C．12m D．10m
6．（3分）已知关于x的不等式3x﹣2（m﹣1）＞2mx﹣1的解集是x＜﹣1，则m的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）对于函数y＝（x 1）n，规定（x 1）n＝nxn﹣1+（n﹣1）xn﹣2+（n﹣2）xn﹣3+…2x+1，例如，若y＝（x 1）6，则有（x 1）6＝6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1．已知函数y＝（x 1）3，那么方程（x 1）3＝6的解的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
8．（3分）如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B（x＜0）的图象上．若△ABC是等腰直角三角形，则下列k的值错误的是（ ）
A．﹣28 B．﹣21 C．﹣14 D．﹣
9．（3分）如图，已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图①，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，直线l：y＝x﹣5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示（ ）
A．6 B．9 C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若，则＝ ．
12．（3分）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
13．（3分）点（﹣a，y1）（a﹣1，y2）在反比例函数的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围 ．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），点F在射线AM上，且AF＝，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是 ．
15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，CD是△ABC的中线，将△AED沿ED折叠，点A落在点F处，若△CEG是直角三角形，则CE＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简：，然后再从﹣1≤x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值．
17．（9分）为了解某校七年级学生身高情况，随机抽取该校若干名学生测量他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
学生身高的频数分布表
组别 身高（单位：cm） 频数
A x＜155 15
B 155≤x＜160
C 160≤x＜165 35
D 165≤x＜170 15
E x≥170 5
请结合图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：样本容量为 ，a＝ ，样本中位数所在组别为 ．
（2）学生身高扇形统计图中，C组的扇形的圆心角度数为 ．
（3）已知该校七年级共有学生1500人，请估计身高不低于165cm的学生约有多少人？
18．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，使点E与点C重合，得△GFC．
（1）求证：BE＝DG；
（2）若∠B＝60°，当BC＝ AB时，四边形ABFG是菱形；
（3）若∠B＝60°，当BC＝ AB时，四边形AECG是正方形．
19．（9分）2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级红星塑料有限公司经过市场研究购进一批A型可降解聚乳酸吸管和一批B型可降解纸吸管生产设备．已知购买5台A型设备和3台B型设备共需130万元
（1）求两种设备的价格．
（2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关系（如y1所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如y2所示）．
①y1的解析式为 ；y2的解析式为 ．
②当销售量（x）满足条件 时，该公司盈利（即收入大于成本）．
（3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中A型设备每天生产量为1.2吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息
20．（9分）天柱塔，又名天中塔，始建于2007年，位于驻马店市开源大道与乐山大道交汇处．天中塔是一个地方的文化象征．如图，某校兴趣小组想测量天中塔AB的高度，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：，用测角仪测得塔顶端A的仰角为42°，测角仪DE的高为1.5米（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，）
21．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标 ．
（2）点M（2m+1，yM），N（m﹣2，yN）在该二次函数图象上．
①当m＜﹣3时，请比较yM与yN的大小关系，并说明理由；
②若点M，N位于抛物线对称轴的两侧，且yM＜yN，请求出m的取值范围．
22．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3cm，圆弧过点A和AD延长线上的点E，上有一个动点P，PQ⊥ACPQcm以及RQ的长yRQcm之间的几组对应值如表所示．
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
yPQ 0 1 2 2.9 3.9 4.7 5.3 5.5 4.8
yRQ 4.3 4.4 4.3 4.1 3.5 2.7 1.7 1.2 2.6
（1）将线段AP的长度x作为自变量，在平面直角坐标系xOy中画出了函数yPQ的图象，如图2所示．请在同一坐标系中画出函数yRQ的图象．
（2）结合函数图象填空：（结果精确到0.1）
线段PQ的长度的最大值约为 ；
线段RQ的长度的最小值约为 ；
圆弧所在圆的半径约等于 ；
连接PC，△PAC面积的最大值约为 ；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当以点P、Q、R为顶点构成的三角形为等腰三角形时，线段AP的长度的近似值．（结果精确到0.1）
23．（11分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转，得到线段DE，连接BE
（1）如图1，当α＝60°时，的值是 ；∠DCE的度数为 °；
（2）如图2，当α＝90°时，请写出，并就图2的情形说明理由；
（3）如图3，当α＝120°时，若AB＝8，请直接写出点E到CD的距离．
2023年河南省平顶山市郏县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（3分）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据倒数定义可知，﹣的倒数是﹣．
【解答】解：﹣的倒数是﹣．
故选：B．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是
倒数的性质：负数的倒数是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分）如图所示的正三棱柱，下列说法正确的是（ ）
A．该三棱柱的俯视图是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．该三棱柱的俯视图是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．该三棱柱的俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该三棱柱的俯视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【分析】判断出这个组合体的俯视图，再根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【解答】解：该三棱柱的俯视图是等边三角形，等边三角形是是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法及形状是正确判断的前提，理解轴对称图形、中心对称图形的定义是正确解答的关键．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“在足球赛中弱队战胜强队”是不可能事件
B．疫情期间，从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用抽样调查
C．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是0.5
D．数据201，202，198，199，200的方差是0.2
【分析】根据方差公式、事件的确定性和不确定性，以及随机事件的含义和特征，逐项判断即可．
【解答】解：A、“在足球赛中弱队战胜强队”是随机事件，故本选项不合题意；
B、疫情期间，适宜采用普查；
C、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，正确；
D、平均数是：，
则方差为×[（201﹣200）2+（202﹣200）4+（198﹣200）2+（199﹣200）2+（200﹣200）6]＝2，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了事件的确定性和不确定性，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．
4．（3分）下列计算：①a2 a3＝a5；②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；③（﹣2a2bc）3＝﹣8a6b3c3；④3x2y4÷（﹣xy2）＝﹣3xy2，其中计算正确的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据整式的加减运算法则、乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：①原式＝a5，故①符合题意．
②原式＝a2﹣6ab+b2，故②符合题意．
③原式＝﹣8a6b3c3，故③符合题意．
④原式＝﹣7xy2，故④符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查整式混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．
5．（3分）机器人从点A0出发朝正东方向走了2m到达点A1，记为第1次行走；接着，在点A1处沿逆时针方向旋转60°后向前走2m到达A2，记为第2次行走；再在点A2处沿逆时针方向旋转60°后向前走2m到达点A3，记为第3次行走，…以此类推，该机器人第一次回到出发点A0时所走过的路程为（ ）
A．20m B．16m C．12m D．10m
【分析】由题意可知机器人从点A0出发第一次回到A0时所围成的图形是一个正多边形，结合其外角和为360°求得边数后再乘以2即可求得答案．
【解答】解：由题意可知机器人从点A0出发第一次回到A0时所围成的图形是一个正多边形，
则其边数为：360°÷60°＝2（条），
那么6×2＝12（m），
即该机器人第一次回到出发点A7时所走过的路程为12m，
故选：C．
【点评】本题考查多边形的外角和，由题意得出机器人从点A0出发第一次回到A0时所围成的图形是一个正多边形是解题的关键．
6．（3分）已知关于x的不等式3x﹣2（m﹣1）＞2mx﹣1的解集是x＜﹣1，则m的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据已知不等式的解集确定出m的范围即可．
【解答】解：不等式不等式3x﹣2（m﹣6）＞2mx﹣1变形为：
（5﹣2m）x＞﹣（3﹣8m），
∵关于x的不等式3x﹣2（m﹣4）＞2mx﹣1的解集是x＜﹣8，
∴3﹣2m＜7，
解得：m＞，
在数轴上表示：
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的方法，以及在数轴上表示不等式的解集的方法是解本题的关键．
7．（3分）对于函数y＝（x 1）n，规定（x 1）n＝nxn﹣1+（n﹣1）xn﹣2+（n﹣2）xn﹣3+…2x+1，例如，若y＝（x 1）6，则有（x 1）6＝6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1．已知函数y＝（x 1）3，那么方程（x 1）3＝6的解的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【分析】先根据新定义得到3x2+2x+1＝6，再把方程整理得3x2+2x﹣5＝0，然后计算判别式的值，再利用根的判别式的意义进行判断．
【解答】解：∵（x 1）3＝8x2+2x+2，
∴3x2+2x+1＝6，
整理得5x2+2x﹣3＝0，
∵Δ＝24﹣4×3×（﹣2）＝64＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（3分）如图，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B（x＜0）的图象上．若△ABC是等腰直角三角形，则下列k的值错误的是（ ）
A．﹣28 B．﹣21 C．﹣14 D．﹣
【分析】过点C1作C1D⊥x轴于D，证明△AOB≌△C1DA（AAS），可得点C1坐标，同理求得C2的坐标，进而由A、C2的坐标，求得C3，代入解析式求解即可．
【解答】解：在y＝x+2中，y＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4；
当y＝0时，6＝，
∴x＝﹣5，
∴A（﹣3，0），
∴OA＝4；
①当∠CAB＝90°时，
过点C1作C1D⊥x轴于D，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC3，
∴∠C1AD+∠BAO＝90°，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠C1AD＝∠ABO．
在△AOB和△C8DA中，
，
∴△AOB≌△C1DA（AAS），
∴C1D＝AO＝3，AD＝OB＝4，
∴OD＝3+4＝7，
∴C1点坐标为（﹣5，3），
∵点C1在反比例函数y＝（x＜5）的图象上．
∴k＝﹣7×3＝﹣21．
当∠ABC＝90°时，同理得到C8（﹣4，7），
∵点C2在反比例函数y＝（x＜0）的图象上．
∴k＝﹣4×3＝﹣28，
当∠ACB＝90°时，C3的坐标是A、C2的中点，
∴C5（﹣，），
∴k＝﹣×＝﹣，
综上，k的值为﹣21或﹣28或﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
9．（3分）如图，已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COD＝60°，根据弧长公式求得半径，利用勾股定理求出OE、DE，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OD，
∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，
∴∠COD＝60°，
∵的长为，
∴＝，
∴R＝2，
∴OD＝7，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AD，
∴OE＝OD＝4OD＝，
∴S阴影＝S扇形COD﹣S△ODE＝﹣＝π﹣，
故选：D．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，弧长的计算，掌握勾股定理、扇形面积公式是解题的关键．
10．（3分）如图①，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，直线l：y＝x﹣5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示（ ）
A．6 B．9 C． D．
【分析】由直线求出与y轴交点，再由移动路程求出正方向边长，判断b为直线l被正方形ABCD的边所截得的线段长的最大值，利用勾股定理求出BD即可．
【解答】解：∵直线l：y＝x﹣5，
∴直线交于y轴（0，﹣3），
∵当直线l经过A时，经过路程为t，
由图②得，t＝3，
∴OA＝2，
∴AB＝8，
∵b为直线l被正方形ABCD的边所截得的线段长的最大值，
∴此时直线l经过B、D点，
∵AB＝AD＝4，
∴BD＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数性质及正方向性质是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若，则＝ 5 ．
【分析】根据比例的性质解答：设＝t，则x、y、z分别用t表示，然后将其代入所求的代数式，消去t，从而解得代数式的值．
【解答】解：设＝t，则
x＝3t，y＝5t．
∴＝＝2；
故答案为：5．
【点评】本题考查了比例的基本性质：两个内项之积等于两个外项之积．解答此题时，采用了代入法．
12．（3分）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 m＞﹣1且m≠1 ．
【分析】先解关于x的分式方程，它的解x用含有m的代数式表示，然后再依据“原方程有解”和“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【解答】解：原方程整理得：m﹣1＝2x﹣8，
解得：x＝，
∵原方程有解，
∴x﹣2≠0，
即，
解得m≠1，
∵方程的解是正数，
∴＞0，
解得m＞﹣4，
∴m＞﹣1且m≠1，
故应填：m＞﹣3且m≠1．
【点评】本题主要考查分式程的解，根据“原方程有解”和“解是正数”这两点建立不等式求m的取值范围．
13．（3分）点（﹣a，y1）（a﹣1，y2）在反比例函数的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围 ＜a＜1或a＞1 ．
【分析】根据反比例函数y＝m/x（m＜0）的图象分两种情况进行讨论：
（1）当点（﹣a，y1），（a﹣1，y2）在（m＜0）图象的同一个分支上时，又分两种情况，①当两点都在第二象限时，根据y1＜y2列出不等式组，解此不等式组可得a的取值范围；②当两点都在第四象限时，根据y1＜y2列出不等式组，此不等式组的解集为空集；
（2）当点（﹣a，y1），（a﹣1，y2）在y＝m/x（m＜0）图象的两个一个分支上时，根据y1＜y2得点（﹣a，y1）在第四象限，点（a﹣1，y2）第二象限，据此可列出不等式组，解此不等式组可得a的取值范围．
【解答】解：∵m＜0，
∴反比例函数（m＜0）的图象的两个分支在第二，且y随x的增大而增大，
又∵点（﹣a，y8），（a﹣1，y2）在反比例函数（m＜8）的图象上，
∴有以下两种情况，
（1）当点（﹣a，y1），（a﹣1，y4）在（m＜0）图象的同一个分支上时，
①当点（﹣a，y1），（a﹣4，y2）都在第二象限时，
∵y1＜y5，
∴，解得：，
②当点（﹣a，y1），（a﹣1，y3）都在第四象限时，
∵y1＜y2，
∴﹣，
此不等式组的解集为空集；
（2）当点（﹣a，y1），（a﹣1，y7）在（m＜0）图象的两个一个分支上时，
∵y1＜y7，
∴点（﹣a，y1）在第四象限，点（a﹣1，y8）第二象限，
∴，
解得：a＞1．
综上所述：a的取值范围是：＜a＜1或a＞1．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象及性质，解答此题的关键是理解对于反比例函数（k≠0），当k＞0时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且y随x的增大而减小；当k＜0时，图象的两个分支在第二、四象限内变化，且y随x的增大而增大，难点是分类讨论思想在解题中的应用．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），点F在射线AM上，且AF＝，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是 ①④⑤ ．
【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS）即可解决问题．
②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．
④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
⑤正确．当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，利用勾股定理构建方程可得x＝0.5a即可解决问题．
【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝BE，
∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣xx，
∴S△AEF＝ （a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣2+a4，
∵﹣＜5，
∴x＝a时a2．故④正确，
当BE＝a时，则EG＝x+a，
在Rt△AEG中，则有（x+8＝（a﹣x）2+（a）2，
解得x＝，
∴AG＝GD，故⑤正确，
故答案为：①④⑤．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，CD是△ABC的中线，将△AED沿ED折叠，点A落在点F处，若△CEG是直角三角形，则CE＝ ﹣1 或 ．
【分析】分两种情形：如图1中，当∠CEG＝90°时．如图2中，当∠EGC＝90°时，分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当∠CEG＝90°时．
易知∠AED＝∠DEF＝45°，作DH⊥AC于H，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝3，AC＝AB cos30°＝2，
∵AD＝DB，
∴AD＝6，
在Rt△ADH中，DH＝AD sin30°＝2×，AH＝AD cos30°＝，
∴EC＝AC﹣AH﹣DH＝2﹣﹣1＝．
如图2中，当∠EGC＝90°时，此时ED⊥AB，EC＝6﹣＝，
综上所述，EC的长为．
故答案为：﹣7 或．
【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简：，然后再从﹣1≤x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值．
【分析】首先计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再确定x的值代入即可．
【解答】解：
＝÷[﹣]
＝÷
＝
＝，
∵x＝±6，0时，﹣1≤x≤2，
∴x可以取整数2，
当x＝2时，原式＝．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
17．（9分）为了解某校七年级学生身高情况，随机抽取该校若干名学生测量他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
学生身高的频数分布表
组别 身高（单位：cm） 频数
A x＜155 15
B 155≤x＜160
C 160≤x＜165 35
D 165≤x＜170 15
E x≥170 5
请结合图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：样本容量为 100 ，a＝ 30 ，样本中位数所在组别为 C ．
（2）学生身高扇形统计图中，C组的扇形的圆心角度数为 126° ．
（3）已知该校七年级共有学生1500人，请估计身高不低于165cm的学生约有多少人？
【分析】（1）根据A组所对应的圆心角的度数和频数，可以计算出抽取的样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；
（2）根据（1）中的结果和C组的人数，可以计算出C所在扇形的圆心角度数；
（3）根据频数分布直方图中的数据，可以计算出该校七年级学生身高不低于165cm的学生有多少人．
【解答】解：（1）抽取的样本容量是15÷＝100，
B组的人数为100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30，
所以a%＝×100%＝30%；
样本中位数所在组别为C．
故答案为：100，30，C；
（2）C所在扇形的圆心角度数是：360°×＝126°，
故答案为：126°；
（3）1500×＝300（人），
答：估计身高不低于165cm的学生约有300人．
【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是求出样本容量，利用数形结合的思想解答．
18．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，使点E与点C重合，得△GFC．
（1）求证：BE＝DG；
（2）若∠B＝60°，当BC＝ AB时，四边形ABFG是菱形；
（3）若∠B＝60°，当BC＝ AB时，四边形AECG是正方形．
【分析】（1）根据平移的性质，可得：BE＝FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG＝FC；即可得到BE＝DG；
（2）要使四边形ABFG是菱形，须使AB＝BF；根据条件找到满足AB＝BF时，BC与AB的数量关系即可；
（3）当四边形AECG是正方形时，AE＝EC，由AE＝AB，可得EC＝AB，再有BE＝AB可得BC＝AB．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，
∴CG⊥AD．AE＝CG
∴∠AEB＝∠CGD＝90°．
∵在Rt△ABE与Rt△CDG中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL），
∴BE＝DG．
（2）解：当BC＝AB时．
证明：∵AB∥GF，AG∥BF，
∴四边形ABFG是平行四边形．
∵Rt△ABE中，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半），
∵BE＝CF，BC＝，
∴EF＝AB．
∴AB＝BF．
∴四边形ABFG是菱形．
故答案为：；
（3）解：BC＝AB时．
∵AE⊥BC，GC⊥CB，
∴AE∥GC，∠AEC＝90°，
∵AG∥CE，
∴四边形AECG是矩形，
当AE＝EC时，矩形AECG是正方形，
∵∠B＝60°，
∴EC＝AE＝AB sin60°＝ABAB，
∴BC＝AB．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定，菱形的判定，以及直角三角形的性质．关键是熟练掌握菱形的判定定理，以及平行四边形的性质．
19．（9分）2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级红星塑料有限公司经过市场研究购进一批A型可降解聚乳酸吸管和一批B型可降解纸吸管生产设备．已知购买5台A型设备和3台B型设备共需130万元
（1）求两种设备的价格．
（2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关系（如y1所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如y2所示）．
①y1的解析式为 y1＝2x ；y2的解析式为 y2＝x+10 ．
②当销售量（x）满足条件 x＞10 时，该公司盈利（即收入大于成本）．
（3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中A型设备每天生产量为1.2吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息
【分析】（1）根据购买5台A型设备和3台B型设备共需130万元，购买1台A型设备的费用恰好可购买2台B型设备，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）①根据函数图象中的数据，可以分别求得y1的解析式和y2的解析式；
②根据函数图象中的数据，可以直接写出当销售量（x）满足什么条件时，该公司盈利；
（3）根据题意和图象中的数据，可以列出相应的不等式，然后再根据台数为正整数，从而可以得到A型设备至少需要购进多少台．
【解答】解：（1）设A型设备每台的价格a万元，B型设备每台b万元，
，解得，
答：A型设备每台的价格20万元，B型设备每台10万元；
（2）①设y1与x的函数关系式为y1＝kx，
∵点（10，20）在该函数图象上，
∴10k＝20，得k＝7，
即y1与x的函数关系式为y1＝2x；
设y2与x的函数关系式为y2＝cx+d，
，
解得，
即y2与x的函数关系式为y2＝x+10；
故答案为：y5＝2x，y2＝x+10；
②由图象可得，
当x＞10时，该公司盈利，
故答案为：x＞10；
（3）设购进A型设备m台，则购进B型设备（10﹣m）台，
由题意可得，3.2m+0.6（10﹣m）＞10，
解得m＞7.5，
∵m为正整数，
∴m至少是8，
答：A型设备至少需要购进8台．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式．
20．（9分）天柱塔，又名天中塔，始建于2007年，位于驻马店市开源大道与乐山大道交汇处．天中塔是一个地方的文化象征．如图，某校兴趣小组想测量天中塔AB的高度，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：，用测角仪测得塔顶端A的仰角为42°，测角仪DE的高为1.5米（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，）
【分析】延长AB交DC于点F，过点E作EG⊥AF，垂足为G，根据题意可得：AF⊥DC，ED＝FG＝1.5米，EG＝DF，再根据已知可得在Rt△BCF中，tan∠BCF＝，从而可得∠BCF＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得BF＝6米，CF＝6米，从而可得EG＝DF＝（60+6）米，最后在Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：延长AB交DC于点F，过点E作EG⊥AF，
由题意得：AF⊥DC，ED＝FG＝1.5米，
∵斜坡BC的坡度i＝5：，
∴＝＝，
在Rt△BCF中，tan∠BCF＝＝，
∴∠BCF＝30°，
∵BC＝12米，
∴BF＝BC＝6（米）BF＝2，
∵CD＝60米，
∴EG＝DF＝DC+CF＝（60+6）米，
在Rt△AEG中，∠AEG＝42°，
∴AG＝EG tan42°≈（60+6）×5.9＝（54+5.8，
∴AB＝AG+FG﹣BF＝54+5.7+1.5﹣6≈58.8（米），
∴塔AB的高度约为58.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标 ．
（2）点M（2m+1，yM），N（m﹣2，yN）在该二次函数图象上．
①当m＜﹣3时，请比较yM与yN的大小关系，并说明理由；
②若点M，N位于抛物线对称轴的两侧，且yM＜yN，请求出m的取值范围．
【分析】（1）将P的坐标代入可求出a，即可确定二次函数的解析式，进而配方成顶点式，即可求出顶点坐标．
（2）①由已知m的范围确定2m+1与m﹣2的范围和大小关系，从而确定M，N两点间的位置关系及两点和对称轴的位置关系，即可判断两点纵坐标的大小关系．
②当M在对称轴左侧时，无解；当M在对称轴右侧时，可得﹣1＜m＜1，结合yM＜yN，即可知2m+1﹣（﹣1）＞﹣1﹣（m﹣2），从而可确定m的取值范围．
【解答】解：（1）将P的坐标代入得，3＝（﹣2）4﹣2a+3，
解得，a＝22+2x+8＝（x+1）2+5，
∴顶点坐标为（﹣1，2）．
（2）①yM＞yN，理由如下，
∵m＜﹣8，
∴2m+1＜﹣5＜﹣1，m﹣2＜﹣6＜﹣1
∴M，N两点在对称轴的左侧，
∴yM＞yN．
②当M点在对称轴x＝﹣1的左侧时，N在对称轴的右侧，
6m+1＜﹣1且m﹣7＞﹣1，无解；
当M点在对称轴x＝﹣1的右侧时，N在对称轴的左侧，
此时2m+1＞﹣1且m﹣6＜﹣1，即﹣1＜m＜2，
∵yM＜yN，
∴2m+1﹣（﹣7）＞﹣1﹣（m﹣2），
解得m＞﹣，
综上所述，当﹣，点M，且yM＜yN．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质．本题的解题关键是确定两点和对称轴的位置关系．在二次函数图象中，若两点在抛物线上，则两点纵坐标的大小常结合两点与对称轴的位置关系以及两点到对称轴距离的大小来确定．
22．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3cm，圆弧过点A和AD延长线上的点E，上有一个动点P，PQ⊥ACPQcm以及RQ的长yRQcm之间的几组对应值如表所示．
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
yPQ 0 1 2 2.9 3.9 4.7 5.3 5.5 4.8
yRQ 4.3 4.4 4.3 4.1 3.5 2.7 1.7 1.2 2.6
（1）将线段AP的长度x作为自变量，在平面直角坐标系xOy中画出了函数yPQ的图象，如图2所示．请在同一坐标系中画出函数yRQ的图象．
（2）结合函数图象填空：（结果精确到0.1）
线段PQ的长度的最大值约为 5.5cm ；
线段RQ的长度的最小值约为 1.2cm ；
圆弧所在圆的半径约等于 4.3cm ；
连接PC，△PAC面积的最大值约为 13.8cm2 ；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当以点P、Q、R为顶点构成的三角形为等腰三角形时，线段AP的长度的近似值．（结果精确到0.1）
【分析】（1）根据表格描点连线即可；
（2）根据表中信息及函数图象估算最值即可；
（3）分情况讨论：当PQ＝RQ时，求得AP的长；当PQ＝PR时，求得AP的长，当PR＝RQ时，求得AP的长．
【解答】解：（1）如图所示即为所求图形，
（2）当x＝7时，PQ有最大值为5.5cm；
当x＝7时，RQ长度最小值为1.7cm；
当P移动到A处时，此时PA＝0，QP也为0，
则QR为所在圆半径，
∴QR＝6.3cm；
连接PC，
∵S△PAC＝，AB＝3cm，
∴AC＝＝5cm，
则当PQ值最大时，S△PAC有最大值，
从表中可知：当x＝7时，PQ由最大值为4.5cm，
此时S△PAC有最大值：S△PAC＝＝13.75≈13.8（cm2），
故答案为：4.5cm，1.4cm，13.8cm2；
（3）画函数yPR＝4.3的图象，结合函数图象可得：
当PQ＝RQ时，函数yPQ与函数yRQ的图象相交，交点对应x的值3.3就是AP的长度；
当PQ＝PR时，函数yPQ与函数yPR的图象相交，交点对应x的值4.4就是AP的长度；
当PR＝RQ时，由表格可知AP＝4.0cm，
∴当△PQR为等腰三角形时，线段AP的长度约为2cm或3.7cm或4.2cm．
【点评】本题考查了函数图象几何类问题，矩形的性质，勾股定理，圆的综合题，以及分情况讨论等腰三角形腰的情况，正确理解函数图象中的点代表的含义，正确运用表中数据是解题的关键．
23．（11分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转，得到线段DE，连接BE
（1）如图1，当α＝60°时，的值是 1 ；∠DCE的度数为 60 °；
（2）如图2，当α＝90°时，请写出，并就图2的情形说明理由；
（3）如图3，当α＝120°时，若AB＝8，请直接写出点E到CD的距离．
【分析】（1）可证得△ABD≌△CBE，进一步得出结果；
（2）可证得△ABD∽△CBE，从而，∠BCE＝90°，进而得出结果；
（3）分为两种情形，结合图形：作BF⊥CD于F，作EG⊥CD于G，作DH⊥CE，交CE的延长线于H，解Rt△AEF得出AF＝8 cos60°＝4，BF＝8sin60°＝4，解Rt△BDF得出DF＝，从而求得AD＝AF﹣DF＝3，CD＝AD+AC＝11，同理（2）可得：，∠BCE＝∠BAD＝60°，
∴CE＝AD＝3，∠DCE＝∠BCE﹣∠ACB＝30°，解Rt△CDH求得DH＝，由S△DCE＝CD EG＝CE DH得出结果，另一种情形同样得出．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝BC，
同理可得：△BDE是等边三角形，
∴∠BDE＝60°，BD＝BE，
∴∠BDE＝∠ABC，
∴∠BDA＝∠EBC，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，∠BCE＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝120°，
∴，∠DCE＝∠BCE﹣∠ACB＝60°，
故答案为：1，60；
（2））∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，，
同理可得：∠BDE＝40°，，
∴∠BDE＝∠ABC，，
∴∠BDA＝∠EBC，
∴△ABD∽△CBE，
∴，∠BCE＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠ACB＝45°；
（3）如图2，
作BF⊥CD于F，作EG⊥CD于G，交CE的延长线于H，
在Rt△AEF中，AB＝8，
∴AF＝8 cos60°＝5，BF＝8sin60°＝4，
在Rt△BDF中，BD＝7，
∴DF＝，
∴AD＝AF﹣DF＝8，
∴CD＝AD+AC＝11，
同理（2）可得：，∠BCE＝∠BAD＝60°，
∴CE＝AD＝3，
在Rt△CDH中，CD＝11，
∴DH＝，
由S△DCE＝CD EG＝，
11EG＝3，
∴EG＝；
如图2，
由上知：DF＝8，AF＝4，
∴CD＝13，AD＝5AD＝5，
∴13EG＝5×，
∴EG＝，
综上所述：点E到CD的距离为：或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练“手拉手“等模型．
