2023-2024学年安徽省六安市金安区重点中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列度数可能是边形内角和的是( )
A. B. C. D.
3.将方程配方后，原方程变形为( )
A. B. C. D.
4.若反比例函数的图象经过点，则的值是( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，随增大而增大的是( )
A. B. C. D.
6.如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，为上一点，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.义务教育课程标准年版首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
9.如图，已知正方形的边长为，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当：：时，则( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为( )
A.
B.
C. 或
D. 以上都不正确
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11.已知，，，是成比例线段，期中，，，则 ______ ．
12.如图，抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点为，抛物线和与轴的另一个交点为______ ．
13.如图，、是函数上两点，为一动点，作轴，轴，若，则______．
14.如图，点是菱形的边的中点，点是上的一点，点是上的一点，先以为对称轴将折叠，使点落在上的点处，再以为对称轴折叠，使得点的对应点与点重合，以为对称轴折叠，使得点的对应点落在上，则：
______ ；
若，则的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
已知线段、、，且．
求的值；
若线段、、满足，求、、的值．
17.本小题分
如图，，与交于点，且，，．
求的长．
求证：∽．
18.本小题分
已知抛物线．
求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点；
若此抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
求反比例函数的解析式；
直接写出不等式的解集；
点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标．
20.本小题分
如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点，点、分别在、上，，连接，且．
求证：四边形是菱形；
连接，若点是的中点，，，求四边形的面积．
21.本小题分
某校开展数学竞赛竞赛成绩为百分制，并随机抽取了名学生的竞赛成绩本次竞赛没有满分，经过整理数据得到以下信息：
信息一：名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组每组数据含前端点值，不含后端点值．
信息二：第三组的成绩单位：分为：，，，，，，，，，，，．
根据信息解答下列问题：
补全第二组频数分布直方图直接在图中补全；
第三组竞赛成绩的众数是______ 分，抽取的名学生竞赛成绩的中位数是______ 分；
若该校共有名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于分的人数．
22.本小题分
如图，在中，、为边上的两个动点，．
若即、重合，则 ______ 时，∽；
若，，则与相似吗？为什么？
当和满足怎样的数量关系时，∽？请说明理由．
23.本小题分
某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元件设第个生产周期设备的售价为万元件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数当时，；当时，．
求，的值；
设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且与满足关系式．
当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
解得：，
则不符合题意；
，
解得：，
则不符合题意；
，
解得：，
则符合题意；
，
解得：，
则不符合题意；
故选：．
结合各项中的度数，利用多边形的内角和公式列方程求得的值后判断是否为不小于的整数即可．
本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选A．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，得，
解得，．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值．
此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．
5.【答案】
【解析】解：由题意，对于，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，
不符合题意，符合题意．
选项A是反比例函数，取值范围分两个区间，故不符合题意；
对于选项，，当时，随增大而减小，
不符合题意．
故选：．
依据题意，分别根据一次函数与二次函数的图象与性质进行判断可以得解．
本题主要考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
6.【答案】
【解析】解：
添加选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；
添加选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；
选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似；
添加选项后，两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似．
故选：．
此题考查了相似三角形的判定：
如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
根据已知条件及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
7.【答案】
【解析】解：，
．
，
，
，
，
．
设，则．
如图，作于点，
，
，
．
，
，
解得，舍去．
故选：．
先证明，设，则作于点，根据列方程求解即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：这组数据，，，，，，中出现次，次数最多，
所以这组数据的众数为，
中位数为．
故选：．
根据中位数和众数的概念求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是正方形，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
：：，
：：，
，，
，
，，，
≌，
，
故选：．
先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证≌，可得．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点，
，
解得．
该抛物线的解析式为，
．
的周长，且是定值，所以只需最小．
如图，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点则．
设直线的解析式为：，则，
解得，
故该直线的解析式为．
当时，，即．
同理，如图，过点作关于轴对称的点，连接，则只需与轴的交点即为所求的点．
如果点在轴上，则三角形的周长；如果点在轴上，则三角形的周长；
所以点在时，三角形的周长最小．
综上所述，符合条件的点的坐标是．
故选：．
首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．
然后，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点如图；过点作关于轴对称的点，连接，则只需与轴的交点即为所求的点如图．
本题考查了二次函数的综合题．在求点的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点”，所以应该找轴和轴上符合条件的点，不要漏解，这是同学们容易忽略的地方．
11.【答案】
【解析】解：已知，，，是成比例线段，
根据比例线段的定义得：，
代入，，，
，
解得：，
故答案为：．
由、、、四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义解答．
此题考查了比例线段以及比例的性质．注意根据题意构造方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点为，
抛物线和与轴的另一个交点为，
故答案为：．
根据抛物线的对称性即可得出结论．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的对称性，关键是对函数性质的应用．
13.【答案】
【解析】解：如图，延长交轴于，延长交轴于，
轴，轴，又，
四边形是矩形，
点，在双曲线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
求出矩形，进而得出，根据三角形的面积公式计算，即可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式、掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确作出辅助线是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解由折叠可知：，，
，
，
；
如图，过点作延长线于点，
四边形是菱形，
，
，
设菱形的边长为，
，
，
设，
则，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得，
，，
∽，
．
故答案为：．
根据菱形性质和折叠性质证明即可；
过点作延长线于点，设菱形的边长为，设，根据勾股定理可得，然后根据∽，进而可以解决问题．
本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：原式
．
【解析】先利用二次根式的性质、绝对值的意义和零指数幂的意义计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和零指数幂是解决问题的关键．
16.【答案】解：设，则，，，
；
，
，
，
，，．
【解析】设，，．
代入计算即可；
构建方程求出即可．
此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出的值是解题关键．
17.【答案】解：，
；
，
∽；
，
；
证明：，，
，
，
∽．
【解析】根据相似三角形的判定和性质解答即可；
利用相似三角形的判定解答即可．
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明∽．
18.【答案】证明：令得：，
，
方程有两个不等的实数根，
原抛物线与轴有两个不同的交点；
解：令，根据题意有：，
解得或．
【解析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数和一元二次方程的关系，二次函数的图象与解析式的关系，抛物线与轴的交点等．
根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即即可；
根据题意，令，整理方程可得关于的方程，解可得的值．
19.【答案】解：把点代入直线得：
，
解得：，
点的坐标为：，
反比例函数的图象过点，
，
即反比例函数的解析式为，
把点代入直线得，，
解得，
，
观察函数图象，发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
不等式的解集为或；
把代入得：，
解得：，
即点的坐标为：，
，
，
，即，
，
当点的纵坐标为时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或．
【解析】把点代入直线得到关于的一元一次方程，解之，得到点的坐标，把点的坐标代入反比例函数，即可求得的值，即可得到答案，
把点代入直线得到关于的一元一次方程，解之，得到点的坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象的上方的的取值范围，即可得到答案；
把代入一次函数解析式，解之得到点的坐标，求出的面积，进一步求得的面积，根据三角形面积公式即可求得的纵坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．
20.【答案】证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
为等腰三角形，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，，，
，
为的中点，
，
，，
，，
，
，
负值已经舍去，
，，
四边形的面积．
【解析】由平行四边形的性质得，再证，得为等腰三角形即可得出结论；
由菱形的性质得，，，由直角三角形斜边上的中线性质得，然后根据勾股定理和菱形面积公式即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，等腰三角形的性质、菱形的面积、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：第组组的人数为：人，
补全频数分布直方图如图所示：
将第三组的成绩单位：分从小到大排列为为：，，，，，，，，，，，．
第组数据出现次数最多的是，共出现次，因此众数是分，
抽取的人的成绩从小到大排列处在第、位的两个数的平均数为分，因此中位数是分，
故答案为：，；
人，
答：估计该校参赛学生成绩不低于分的人数有人．
计算出第组组的人数，即可补全频数分布直方图；
根据中位数、众数的意义，分别求出第组的众数，样本中位数；
样本估计总体，样本中分以上的占，因此估计总体人的是分以上的人数．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键．
22.【答案】
【解析】解：当时，∽．
理由：如图，
，
，
，，
，
∽．
故答案为：；
结论：∽．
理由：，
，
，
，，
，
∽；
结论：．
理由：，
，
，
当时，则有∽，
，
，
，
在中，，
，
即．
根据垂直的定义和相似三角形的判定定理即可得到结论；
根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论；
根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
23.【答案】解：把时，；时，代入得：
，
解得，；
设第个生产周期创造的利润为万元，
由知，当时，，
，
，，
当时，取得最大值，最大值为，
工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；
当时，，
，
则与的函数图象如图所示：
由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，
则只能为，，，
当，时，
的取值范围．
【解析】用待定系数法求出，的值即可；
当时，根据利润售价成本设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值；
求出时关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论．
本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
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