2023学年第一学期九年级期中质量检测（数学试卷）
2023．10
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，不选、多选、错选均不给分）
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．一个布袋里装有6个球，分别是1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．摸出的是红球 B．摸出的是白球 C．摸出的是黑球 D．摸出的是绿球
3．若将抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．实验小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次实验后获得如下数据：
重复实验次数 100 500 1000 5000 …
钉尖朝上次数 50 150 380 2000 …
(
（第
5
题）
)由此可以估计任意抛掷一次图钉钉尖朝上的概率约为（ ）
A．0.50 B． 0.40 C．0.38 D．0.37
5．剪纸是我国民间艺术，入选“人类非物质文化遗产”，如图剪纸图案是一个中心对称图形，将其绕中心旋转一定角度后，依然与原图形重合，这个角度不可以是（ ）
A．60° B．90° C．120° D． 180°
6．二次函数 图象上部分点的坐标满足下表：
… 0 …
… m …
则该函数图象的与y轴的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
(
(
第
8
题
)
)7．若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图二次函数 (a<0)图象与x轴交于A，B两点（点A在x 轴的负半轴），与y轴交于一点C，过C作CD⊥y轴交图象于点D，连结AC，OD，若AC//DO，则点B的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，直角坐标系中A (0，4），B（4，4），C（6，2），经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段DM=4，则点D与⊙M的位置关系为（ ）
A．点D在⊙M上 B．点D在⊙M外
(
（第
9
题）
)C．点D在⊙M内 D．无法确定
10．已知二次函数，当自变量x满足时，，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1或3
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．抛物线的顶点坐标为 ．
(
（第
12
题）
)12．小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 ．
13．若抛物线经过原点，则b=．
14．如图，以矩形ABCD的边AB为直径作⊙O交另一边CD于点F，E，已知AB＝10，EF＝6，那么AD＝ ．
(
（第
14
题）
)15．某超市购进一批单价为7元的生活用品，如果按每件10元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
16．图1是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为；（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH=．
(
（第
16
题）
) (
图
1
)
(
图
3
)
(
图
2
)
三、解答题（本题有7小题， 共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（本题8分）已知二次函数经过点A(3，0)与B(0，3)，
（1）求b，c的值．
（2）求该二次函数图象的顶点坐标．
18．（本题8分）已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球．
（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
（3）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出1个球，颜色是白色的概率为，求m的值．
19．（本题8分）如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，△ABC是格点三角形(顶点在方格顶点上的三角形叫做格点三角形)．
（1）在图1中画出将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°得到的图形．
(
第
19
题图
1
第
19
题图
2
)（2）在图2中画出△DEF，使△DEF与△ABC全等，且顶点A，B，C，D，E，F在同一个圆上．
20．（本题8分）已知二次函数y=－x2+6x－5．
（1）当x取何值时，y=0．
（2）当y ≥0时，请直接在横线上写出x的取值范围为．
（3）当1≤x≤4时，求函数的最大值和最小值．
21．（本题10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，连结AC，AD．
(
（第
21
题）
)（1）求证:∠C=∠D．
（2）若弦CD=6，AC=5，求⊙O的半径．
22．（本题12分）根据素材回答问题：
素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4 米，AB//OQ，AD//OP，且AB与OQ的距离为10 米，AD与OP的距离为8 米． (
（图
1
）
)
素材2 现利用两条小路，再购置30 米长的栅栏(图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1 任务2
小明同学按如图2的设计，若EF=16米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）． (
（图
2
）
E
F
G
) 若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．
项目反 思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．
23．（本题12分）已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C两点，且点A在点C的左侧，与y轴交于点B，连结AB．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移2m个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值；
（3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB ，过P作PQ//AB，与抛物线另一个交点为Q，M，N为AB上两点，且PM//y轴，QN//y轴，
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
(
图
1
) (
图
3
) (
图
2
)②是否存在点P使得PB 与 QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存在，说明理由．
(
（第
23
题）
) (
A
C
P
) (
A
C
P
)2023学年第一学期九年级期中质量检测（数学试卷）
参考答案
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B B A C C C B
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（1，2） 12． 13．1
14．415．1116．6 (2分），（2分）
三、填空题（本题有7个小题，共66分）
17．（本题8分）
解：（1）b=2, c=3 ······4分
（2） 顶点为 (1,4)······4分
18.（本题8分）
（1）P=······2分
（2）P=······3分
白 红 红 红
白 √ √ √
红 √
红 √
红 √
得m=3 ······3分
19.每小题4分，图（2）其他正确画法均给分。
20．（本题8分）
（1）由得：x=1 或 x=5······2分
1≤x≤5······2 分
(3)由y=－x2+6x－5得：······2分
当x=3时，y最大值=4，······1分
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0.······1分
（其他方法理由合理均可）
21．(本题10分)
（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD,
∴CE=DE
∴AC=AD（中垂线的性质）
∴∠C＝∠D·····4分
（2）解：∵AB⊥DC
∵CD=6，∴CE=3·····1分
在Rt△ACE中，由勾股定理可以求得AE=4 ·····2分
连结OC，设半径为r，
在Rt△OCE中，由勾股定理可以求得·····3分
22．（本题12分）
解：任务1：如图2，由题意知：EF=16,FG=14,矩形OEFG面积为224，
(
（图
2
）
E
F
G
)224-16=208，
答：花圃的面积为208······2分
任务2：由图3，设EF=x,花圃面积为y，
由题意得： y=10x+8(12-x)+40+80+32=2x+248
当x=12时，y有最大值为272······3分
由图4，设EF=x,花圃面积为y，则FG=22-x,
由题意得：y=x(22-x)+40+80+32
得：, 当x=11时，y有最大值为273
所以：图4方案的最大面积更大，为273······3分
项目反思：由图5，设GF=2x,花圃面积为y，则FE=22-2x,
由题意得： y=x(22-2x)++40+80+32
······3分
所以：图5方案最大面积更大.······1分
23．（本题12分）
（1）解：A（5，0）,B（0，-5)······2分
（2）由题意抛物线对称轴为x=2,∴AH=3, ∴2m=3, m=;····2分
∴的横坐标为，把x= 代入，得y=
∴n=·····1分
(3)①由题意可设直线AB的解析式：
由当x=0时，y=-5 ;当x=5时，y=0 ;
得：y关于x的函数表达式为y=x-5
设点P的横坐标为t,则M(t,t-5), P(t,)
∴PM=
当∠BPM=90°时，则BP=MP，
∴t=, ∴t=4, P(4,)·····2分
当∠MBP=90°时，2t=MP，
∴2t=, ∴t=3, P(3,)·····2分
(3)②∵PB 与 QN相互平分，则BN=PQ，
∵AB//PQ,MP//NQ，
∴四边形PQNM是平行四边形，
∴PQ=MN，∴BN=MN
∴N是BM的中点，
设点M的横坐标为t,
∴点N,Q的横坐标均为t,
∴P(t,), Q( t ,),
∵AB与x轴夹角为45°，∴PQ与x轴夹角为45°
∴- t=
得t=·····3分
