当涂县2023-2024学年高二上学期10月月考
数学试题
（满分150分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试卷上作答无效．
3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若平面的法向量分别为，则（ ）
A． B．与相交但不垂直
C． D．或与重合
3．从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一名男同学与都是男同学 B．至少有一名男同学与都是女同学
C．恰有一名男同学与恰有两名男同学 D．至少有一名男同学与至少有一名女同学
4．若向量在空间的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，若直线与直线所成角为，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知集合与，现分别从集合中各任取一数，则为整数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0
B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大
10．已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．向量与向量共线
C．向量关于轴对称的向量为 D．向量关于平面对称的向量为
11．下列说法正确的是（ ）
A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.625
B．若是互斥事件，则
C．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则初级教师应抽取15人
D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
12．如图，在四棱雉中，底面是正方形，平面分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值
第Ⅱ卷（主观题/非选题共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分）
13．过点且与直线平行的直线方程是______________．
14．过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线的一般方程是______________．
15．第十九届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．为了让更多的同学了解亚运会，学校团委举行了“迎亚运，猜谜语”活动．甲、乙两位同学组队代表班级参加此次迷语竞猜活动．比赛共两轮，每人每轮各猜一个谜语．已知甲每轮猜对谜语的概率为，乙每轮猜对谜语的概率为，若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响，前后两轮猜对谜语结果也互不影响，则甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为______________．
16．在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，则点与平面的位置关系是；当最小且最小时，______________．
四．解答题（共6小题，17题10分，18~22题每题12题，共70分，每题要写出必要的证明，演算过程，推论或步骤）
17．已知直线，直线．
（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．
18．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设．
（1）试用向量表示向量；
（2）若，求的值．
19．已知直线经过点．
（1）若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程；
（2）设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程．
20．某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站．由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）估计在这40名读书者中年龄分布在区间上的人数；
（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）从年龄在区间上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间上的人数恰为1的概率．
21．如图，在三棱柱中，平面为线段上一点．
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离．
22．在四棱雉中，底面是矩形，平面平面是的中点．．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得面面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
当涂县2023-2024学年高二上学期10月月考
数学试题参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C
4．【答案】C
【详解】因为在基底下的坐标是，所以，
设在基底下的坐标为，则，
因此，所以，即，
即向量在基底下的坐标为．故选：C．
5．【答案】B
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则设，则，
，解得，故．故选：B．
6．【答案】C
【详解】从分别从集合中各任取一数，
则的所有可能取值有：，，共9个基本事件；使为整数的基本事件有：，共3个，因此，所求概率为．故选：C．
7．【答案】D
【详解】直线的方程可化为，由，可得，所以，直线过定点，设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，即，因为，所以或，
故直线的倾斜角的取值范围是．故选：D．
8．【答案】C
【详解】如图所示，分别取的中点，连接，因为为所在棱的中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面；因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面；又因为，且平面平面，所以平面平面，因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上，在直角三角形中，，在直角三角形中，
，当在中点时，时，最短，
在时，最长，，
所以线段长度的取值范围是故选：C．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．【答案】AB
【详解】当时，其斜率，所以A正确；
根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以B正确；
若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，且．故C不正确；直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为针角时斜率小于0，故D不正确；故选：AB．
10．【答案】ABC
【详解】A：因为，所以本选项说法正确；
B：因为，所以向量与向量共线，因此本选项说法正确；
C：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，因为点关于轴对称的点的坐标为，所以向量关于轴对称的向量为，因此本选项说法正确；
D：设的起点为坐标原点，所以该向量的终点为，因为点关于平面对称点的坐标为，所以向量关于平面对称的向量为，
11．【答案】AC
【详解】对于A，∵他们各自解出的概率分别是，则此题不能解出的概率为，则此题能解出的概率为，故A对；
对于B，若是互斥事件，则，故B错；对于C，初级教师应抽取人，故C正确；
对于D，由列举法可知，用1、2表示两名女生，表示男生，则样本空间两位女生相邻的概率是，故D错．
12．【答案】ABD
【详解】依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，，设，，所以，所以，A选项正确．点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确．，设平面的法向量为，则，故可设，要使平面平面，则，解得，所以存在点，使平面选项正确．若直线与直线所成角为，
则，
，无解，所以C选项错误．故选：ABD
第Ⅱ卷（主观题/非选题共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分）
13．【答案】
14．【答案】或
15．【答案】
【详解】甲乙共猜对3个谜语有如下两种情况：
甲猜对一个，乙猜对两个，其概率为：；
或甲猜对两个，乙猜对一个，其概率为：，
故甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为．
16．【答案】①平面 ②
【详解】解：由四点共面定理及三点共线定理可知：平面，
直线，当最小且最小时，则是等边的中心，是边中点．
所以，
又因为是边中点，所以
故．
故答案为：平面
四．解答题（共6小题，17题10分，18-22题每题12题，共70分，每题要写出必要的证明，演算过程，推论或步骤）
17．【小问1详解】
解：，整理得，解得或，
当时，与重合，舍去，故．
【小问2详解】
解：或．
18．【小问1详解】
因为，所以，所以
，
因为点为的中点，所以
．
【小问2详解】
因为，所以
．
19．【小问1详解】
由题意知，的斜率存在且不为0，设斜率为，则的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和，所以，解得或，所以的点斜式方程为或．
【小问2详解】
由（1）知，，所以的面积，
当且仅当时，等号成立，所以的斜截式方程为．
20．【详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为．
所以40名读书者中年龄分布在区间上的人数为．
（2）40名读书者年龄的平均数为．
设40名读书者年龄的中位数为，则，解得：，
即40名读书者年龄的中位数为55岁．
（3）由频率分布直方图知：年龄在区间上的读书者有2人，分别记为，
年龄在区间上的读书者有4人，分别记为．从上述6人中选出2人，则有，共15种情况；其中恰有1人在的情况有，共8种情况；所以恰有1人在的概率．
21．【小问1详解】
因为平面平面，所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：，，因为，所以，即，
【小问2详解】
设平面的法向量为，
所以有，因为直线与平面所成角为，所以
，
解得，即，因为，所以点到平面的距离为：
．
22．【小问1详解】
由于是的中点，所以，
由于平面平面且交线为，所以平面．以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，
，所以．
【小问2详解】
，
设平面的法向量为，则，故可设．
设直线与平面所成角为，则．
【小问3详解】
设
，
设平面的法向量为，则，
故可设，若面面，则．
所以存在点使面面，此时．
