2.2平方根
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．是的平方根 B．是的平方根
C．的平方根是 D．的平方根是
【答案】B
【分析】利用平方根的定义求解即可．
【详解】、没有平方根，故此选项说法错误，不符合题意；
、，的平方根有两个为，故此选项说法正确，符合题意；
、，的平方根有两个为，故此选项说法不全，不符合题意；
、的平方根是，不是，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了平方根的定义，解题的关键是正确理解一个正数的平方根有两个，互为相反数，的平方根是，负数没有平方根．
2．已知和是某正数a的平方根，则a的值是（ ）
A．3 B．64 C．3或 D．64或
【答案】D
【分析】与相等或者互为相反数，分别求出的值，再求出的值，最后求出的值．
【详解】解：I．当和相等时， ，
解得：，
，
；
II．当和互为相反数时，，解得：，
，
；
综上所述：a的值是64或．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的定义，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解．
3．如图1，将两块边长均为2cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，则大正方形边长的值在两个相邻的整数（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【详解】解：所拼成的大正方形的面积为，其边长为，
，，而，
，
故选：A．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
4．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（ ）
A．25 B．49 C．64 D．81
【答案】B
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定义即可解答．
【详解】解：由正数的两个平方根互为相反数可得
（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，
解得x＝﹣2，
所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，
所以a＝72＝49．
故答案为B．
【点睛】本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关键．
5．一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平方根定义得原数为a2，故相邻的下一个自然数是a2+1，再求得平方根即可.
【详解】根据题意，平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D.
【点睛】此题考查平方根定义，这里准确确定被开方数是解题关键.
6．已知实数满足，那么的值是( )
A．1999 B．2000 C．2001 D．2002
【答案】C
【分析】根据绝对值性质与算术平方根的性质先化简，进而平方即可得到答案
【详解】解：，
，即，
∴，
即，
∴，即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及到绝对值性质与算术平方根的性质，根据条件逐步恒等变形到所求代数式是解决问题的关键．
7．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积=，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长=，重叠部分边长=，
∴空白部分的长=，
设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，
∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，
∴小正方形面积==10，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
二、填空题
8．若一个正数a的两个平方根分别是和，那么a等于 ．
【答案】
【分析】根据平方根的定义可求出x的值，再求a的值即可．
【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提．
9．已知，则的最小值 ．
【答案】13
【分析】，根据已知条件求出，则m可以看作是平面直角坐标系中，x轴上一点到点的距离之和，进而确定m的最小值即为点与点的距离，由此利用两点距离公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴m可以看作是平面直角坐标系中，x轴上一点到点的距离之和，
∴当m的值最小时，点和这点三点共线，即m的最小值即为点与点的距离，
∴，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平面直角坐标系中两点之间的距离，正确推出的最小值即为点与点的距离是解题的关键．
10．若，则 ．
【答案】4
【分析】根据已知条件和非负数的性质得到，，推出，，得到，，得到．
【详解】∵，且，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了非负数．解决问题的关键是熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数同为0．
11．如图，中，，，为三角形内一点，，若，则的长为 ．
【答案】4
【分析】在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、平方根的应用等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
12．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：
，则的值为 ．
【答案】0
【分析】利用二次根式被开方数非负性得到x、y、z大小关系，最后由符号之间的关系推导得到及y、z等量关系，最后直接计算整式的值即可．
【详解】及且x、y、z是两两不等的实数，
且，
，
，，
与、均同号，或，
又，，故、不同号，
，
，
，
故答案为0．
【点睛】本题考查二次根式的运算，由二次根式被开方数的非负性推导求值，通常这类由一个含有二次根式的式子进行求值的题，都能得到特殊大小或关系，从而求解目标式子，正确的利用二次根式被开方数的非负性推导字母符号和关系是解题的关键．
13．将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则：
①（6，6）表示的数是 ；
②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ．
【答案】
【分析】观察式子，得到如下规律，第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可．
【详解】解：观察式子可得，
第1排的个数为，前1排的总数为，
第2排的个数为，前2排的总数为，从右到左依次增大排列，
第3排的个数为，前3排的总数为，从左到右依次增大排列，
第4排的个数为，前4排的总数为，从右到左依次增大排列，
……
第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，
（6，6）表示第6排从左向右第6个数
前5排的总数为25，第6排的个数为11个，为偶数排，从右向左依次增大，
第6排中，从左向右第6个数，也就是从右向左第6个数，
所以（6，6）表示的数为；
因为，
所以是在第45排，即
第45排，为奇数排，从左向右依次增大，
因为，所以
将，代入得
故答案为：，
【点睛】此题考查了数字类规律的探索问题，涉及了有理数的乘方，算术平方根，解题的关键是理解题意，正确找出数字的规律．
14．如图，在四边形中，于，则的长为
【答案】
【分析】过点B作 交DC的延长线交于点F，证明≌ 推出，，可得，由此即可解决问题；
【详解】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，
∵，
，
∴≌
，
，
，
即，
，
故答案为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．若是一个完全平方数，则比大的最小完全平方数是 ．
【答案】
【分析】由于是一个完全平方数，则．可知比大的最小完全平方数是．
【详解】是一个完全平方数，
的算术平方根是，
∴比的算术平方根大1的数是，
∴这个完全平方数为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方数．解此题的关键是能找出与之差最小且比大的一个完全平方数是紧挨着自然数后面的自然数：．
16．若，其中a，b均为整数，则 ．
【答案】0，2，4
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵，其中a，b均为整数，
又∵，
①当，时，
∴，
∴
②当，时，
∴或，
∴或
③当，时，
∴或，
∴或
故答案为：4或2或0
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．
17．我们经过探索知道，，，，若已知，则 （用含的代数式表示，其中为正整数）．
【答案】
【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解．
【详解】解：∵，
，
，
，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，用裂项法将分数进行化简与计算是解题关键．
三、解答题
18．已知：实数、满足关系式，求：的值．
【答案】2020
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】∵，，，
且，
∴，，，
∴，，，
∴．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解答本题的关键．
19．已知，．
(1)当时，求和的值
(2)当，求的值．
【答案】(1)的值为1或，的值为
(2)或
【分析】（1）先由已知可得出，，因为，所以、同号，所以可得出、的值即可得出答案；
（2）根据绝对值化简可知，，即可确定、的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∵，．
，
，，或，，
，或，
，或
当时，的值为1或，的值为．
（2）解：，
，
又∵，
，，
当，时，，
当，时， ，
当时，的值为或．
【点睛】本题主要考查了代数式求值及绝对值的化简，求平方根，熟练掌握相关知识进行求解是解决本题的关键．
20．已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分．
(1)求，，的值．
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出的值，把的值代入或，得到的一个平方根，可求出的值；由即，得到，求出的值；
（2）将（1）中的值代入，求其平方根即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，
，
；
，即
的整数部分是3，
，
解得
故答案为：，，
（2）把代入，
3的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根的概念和平方根的性质，解题关键是一个正数的两个不同的平方根的和为0；一个数算术平方根的整数部分的确定方法：找到与被开方数最接近的两个平方数，较小的这个平方数的算术平方根即是它的整数部分；易错点是一个正数的算术平方根只有一个，它的平方根有两个，且一正一负．
21．解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分．
（1）求，的值；
（2）求的平方根，提示：．
【答案】（1），；（2）±4
【分析】(1)先确定在哪两个整数之间，再确定，的值即可；
(2)把，的值代入求出式子的值，再求平方根即可．
【详解】解:(1)∵，
∴，
∴，
∴，；
(2)，
∴的平方根是：．
【点睛】本题考查了算术平方根的估算和求平方根，解题关键是准确的确定一个数的算术平方根的整数部分和小数部分，注意：一个正数的平方根有两个．
22．细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
；
；
；
（1）请用含（为正整数）的等式表示上述交化规律：______；
（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；
（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于的长度；
（4）若表示三角形面积，，，，计算出的值．
【答案】（1）；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见解析；（4）．
【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得；
（2）根据等式和图形即可得；
（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，可得，同理可作出点，连接即为所求；
（4）先分别求出的值，再归纳总结出一般规律得出的值，从而可得的值，然后代入求和即可．
【详解】（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为
故答案为：；
（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方
故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；
（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，即可得，同理可作点，连接，则即为所求，如图所示：
（4）
归纳类推得：
当时，
则
．
【点睛】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
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试卷第1页，共3页2.2平方根
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．是的平方根 B．是的平方根
C．的平方根是 D．的平方根是
2．已知和是某正数a的平方根，则a的值是（ ）
A．3 B．64 C．3或 D．64或
3．如图1，将两块边长均为2cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，则大正方形边长的值在两个相邻的整数（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
4．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（ ）
A．25 B．49 C．64 D．81
5．一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知实数满足，那么的值是( )
A．1999 B．2000 C．2001 D．2002
7．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
二、填空题
8．若一个正数a的两个平方根分别是和，那么a等于 ．
9．已知，则的最小值 ．
10．若，则 ．
11．如图，中，，，为三角形内一点，，若，则的长为 ．
12．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：
，则的值为 ．
13．将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则：
①（6，6）表示的数是 ；
②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ．
14．如图，在四边形中，于，则的长为
15．若是一个完全平方数，则比大的最小完全平方数是 ．
16．若，其中a，b均为整数，则 ．
17．我们经过探索知道，，，，若已知，则 （用含的代数式表示，其中为正整数）．
三、解答题
18．已知：实数、满足关系式，求：的值．
19．已知，．
(1)当时，求和的值
(2)当，求的值．
20．已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分．
(1)求，，的值．
(2)求的平方根．
21．解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分．
（1）求，的值；
（2）求的平方根，提示：．
22．细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
；
；
；
（1）请用含（为正整数）的等式表示上述交化规律：______；
（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；
（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于的长度；
（4）若表示三角形面积，，，，计算出的值．
试卷第1页，共3页
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