2023-2024学年大仪中学九年级第一次数学小练习
一.选择题（每小题3分，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．5x﹣2x2+7＝0
C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1
2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
（第3题） （第6题） （第7题）
A．15° B．28° C．29° D．34°
4．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．一个三角形只有一个外接圆
5．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A＝25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数（ ）A．25° B．30° C．40° D．50°
7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，下列说法正确的是（ ）
A．点P的位置始终随点C的运动而变化 B．点P的位置无法确定
C．PA＝OA D．OP⊥AB
8．如图，等边△ABC中，D在射线BA上，以CD为一边，向右上方作等边△EDC．若BC、CD的长为方程x2﹣15x+7m＝0的两根，当m取符合题意的最大整数时，则不同位置的D点共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第8题） （第13题） （第16题）
二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．在平面内，⊙O的直径为10cm，点P到圆心O的距离是6cm，则点P与⊙O的位置关系是 ．
10．如果方程kx2+3x+1＝0有两个不等实数根，则实数k的取值范围是 ．
11．设m，n分别为一元二次方程x2﹣2x﹣2015＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣n＝ ．
12．已知三角形的三边分别为3cm、4cm、5cm，则这个三角形内切圆的半径是 ．
13．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为 ．
14．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是 ．
15．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值为 ．
16．如图，AB与AD是⊙O的切线，切点分别是B、D，C是⊙O上一点，且∠C＝56°，则∠A的度数为 ．
17．一条弦把圆分成1：2两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 ．
18．如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分）．
19．（8分）解方程：（1）2x2﹣5x﹣1＝0； （2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．
20．（8分已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC＝8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．
21．（8分）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D点，则D点坐标为 ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为 ；（结果保留根号）
（3）∠ADC的度数为 °；
（4）若过点B作圆弧的切线，则切线经过点E（﹣2，5），F（﹣2，6），G（﹣3，4），H（﹣3，5）四点中的 点．（请选择你认为正确的答案写在横线上）
22．（8分）如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？
23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
24．（10分）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝5，CD＝3，求AB的长．
（10分）某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市时，有一外商按市场价格10元/千克收购了2000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有6千克的猴头菇损坏不能出售．
若外商要将这批猴头菇存放x天后一次性出售，
则x天后这批猴头菇的销售单价为 元，销售量是 千克（用含x的代数式表示）；
（2）如果这位外商想获得利润24000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）
26．（10分）我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．
认识新方程：
像＝x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2＝﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x＝3．
运用以上经验，解下列方程：
（1）＝x；
（2）x+2＝6．
27．（12分）对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，2），顶点C、D在x轴上，且OC＝OD．
（1）当⊙P的半径为4时，
①在P1（0，﹣3），P2（2，3），P3（﹣2，1）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是 ；
②如果点P在直线上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标；
（2）已知点P在y轴上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，如果⊙P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围．
28．（12分）阅读材料：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A，则PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．
证明：延长PO交⊙O于点B，显然PB＞PA．
如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连接PC，OC．
∵PO＜PC+OC，
且PO＝PA+OA，OA＝OC，
∴PA＜PC
∴PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．
由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．请用上述真命题解决下列问题．
（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是 ．
（2）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，①求线段A′M的长度； ②求线段A′C长的最小值．2023-2024学年大仪中学九年级第一次数学小练习
一.选择题（每小题3分，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．5x﹣2x2+7＝0
C．2y2﹣x﹣3＝0 D．mx2﹣2x＝x2+1
【解答】解：A、当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项错误；B、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；C、是二元二次方程，故本选项错误；D、当m＝1时，是一元一次方程，故本选项错误．故选：B．
2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6．故选：C．
3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A．15° B．28° C．29°D．34°
【解答】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
根据量角器的读数方法可得：（86°﹣30°）÷2＝28°．故选：B．
4．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离
C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．一个三角形只有一个外接圆
【解答】解：A、当三点在同一条直线上时，三点就不能确定一个圆，
应为：不在同一条直线上的三点确定一个圆，本选项错误；
B、由三角形的内心即为三角形三内角平分线的交点，得到三角形的内心到三角形三边的距离相等，而三角形的外心即为三边垂直平分线的交点，故三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，本选项错误；
C、和半径垂直的直线不一定为圆的切线，应为和半径垂直且过半径外端点的直线为圆的切线，本选项错误；
D、一个三角形只有一个外接圆，本选项正确．故选：D．
5．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【解答】解：设参加酒会的人数为x人，根据题意得：x（x﹣1）＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：参加酒会的人数为11人．故选：C．
6．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A＝25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD＝90°，∵∠A＝25°，
∴∠COD＝2∠A＝50°，∴∠D＝90°﹣50°＝40°．故选：C．
7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，下列说法正确的是（ ）
A．点P的位置始终随点C的运动而变化 B．点P的位置无法确定
C．PA＝OA D．OP⊥AB
【解答】解：连接OP，∵OC＝OP，∴∠OCP＝∠P，∵∠OCD的平分线交⊙O于P，
∴∠DCP＝∠OCP，∴∠DCP＝∠P，∴CD∥OP，∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB．故D正确，A与B错误．∴PA＞OA，故C错误．故选：D．
8．如图，等边△ABC中，D在射线BA上，以CD为一边，向右上方作等边△EDC．若BC、CD的长为方程x2﹣15x+7m＝0的两根，当m取符合题意的最大整数时，则不同位置的D点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：由题意，得225﹣28m≥0，解得：m≤．∵m为符合题意的最大整数，
∴m＝8．∴x2﹣15x+56＝0，∴x1＝7，x2＝8．
当BC＝7时，CD＝8，∴点D在BA的延长线上，如图1．
当BC＝8时，CD＝7，∴点D在线段BA上，有两种情况，如图2，在D和D′的位置．
∴综上所述，不同D点的位置有3个．故选：C．
二.填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．在平面内，⊙O的直径为10cm，点P到圆心O的距离是6cm，则点P与⊙O的位置关系是 点P在圆外 ．
10．如果方程kx2+3x+1＝0有两个不等实数根，则实数k的取值范围是 k＜且k≠0 ．
11．设m，n分别为一元二次方程x2﹣2x﹣2015＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣n＝ 2013 ．
12．已知三角形的三边分别为3cm、4cm、5cm，则这个三角形内切圆的半径是 1 ．
13．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为 130° ．
14．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是 6.5cm或2.5cm ．
15．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值为 ﹣1 ．
16．如图，AB与AD是⊙O的切线，切点分别是B、D，C是⊙O上一点，且∠C＝56°，则∠A的度数为 68° ．
17．一条弦把圆分成1：2两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 60°或120° ．
18．（3分）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 2﹣1 ．
【解答】解：∵A（4，0），B（0，4），∴OA＝OB＝4，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，取OD＝OA＝4，连接CD，
∵M为线段AC的中点，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，当C在线段DB上时，OM最小∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，∴BD＝OB＝4，∴CD＝4﹣2，∴OM＝CD＝2﹣1，即OM的最小值为2﹣1，故答案为：2﹣1．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步）．
19．（8分）解方程：（1）2x2﹣5x﹣1＝0；（2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．
【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1，∴△＝25﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，
则x＝；
（2）∵（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，即（x﹣3）（5x﹣3）＝0，∴x﹣3＝0或5x﹣3＝0，
解得：x＝3或x＝．
20．（8分已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC＝8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．
【解答】解：（1）∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）＝1＞0，
∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）由于无论m为何值，方程恒有两个不等实根，故若要△ABC为等腰三角形，那么必有一个解为8；设AB＝x1＝8，则有：
82﹣8（2m+1）+m（m+1）＝0，即：m2﹣15m+56＝0，解得：m1＝7，m2＝8．
则当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8．
21．（8分）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D点，则D点坐标为 （﹣2，0） ；
（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为 2 ；（结果保留根号）
（3）∠ADC的度数为 90 °；
（4）若过点B作圆弧的切线，则切线经过点E（﹣2，5），F（﹣2，6），G（﹣3，4），H（﹣3，5）四点中的 E 点．（请选择你认为正确的答案写在横线上）
【解答】解：（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心，由图形可知，点D的坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）；
（2）圆D的半径长＝＝2；故答案为：2；
（3）∵AC＝＝2，AD2+CD2＝20+20＝40，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，
故答案为：90；
（4）点E符合题意，理由如下：如图，连接BD．
∵B（﹣4，4），D（﹣2，0），E（﹣2，5），
∴BD2＝（﹣4+2）2+42＝20，DE2＝（5﹣0）2＝25，BE2＝（﹣4+2）2+（5﹣4）2＝5．
∴BD2+BE2＝DE2．∴△BED是直角三角形，且∠EBD＝90°，即BE⊥BD．
∵BD是半径，∴BE是圆D的切线．故答案为：E．
22．（8分）如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？
【解答】解：设宽为x m，则长为（20﹣2x）m．由题意，得 x （20﹣2x）＝48，
解得 x1＝4，x2＝6．当x＝4时，20﹣2×4＝12＞9（舍去），
当x＝6时，20﹣2×6＝8．答：围成矩形的长为8m、宽为6m．
23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OA，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA，∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA，∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形，∴OF＝AE＝4cm，又∵OF⊥CD，∴DF＝CD＝3cm，
在Rt△ODF中，OD＝＝5cm，即⊙O的半径为5cm．
24．（10分）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若BC＝5，CD＝3，求AB的长．
【解答】（1）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，
∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；
（2）解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，
设AB＝a，由（1）知AC＝AB＝a，则AD＝a﹣3，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2＝CB2﹣CD2＝52﹣32＝42＝16，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AB2＝BD2+AD2，
∴a2＝42+（a﹣3）2，整理得：a＝，即：AB＝．
25．（10分）某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市时，有一外商按市场价格10元/千克收购了2000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有6千克的猴头菇损坏不能出售．
（1）若外商要将这批猴头菇存放x天后一次性出售，则x天后这批猴头菇的销售单价为 10+0.5x 元，销售量是 2000﹣6x 千克（用含x的代数式表示）；
（2）如果这位外商想获得利润24000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）
【解答】解：（1）10+0.5x，2000﹣6x；
（2）由题意得：（10+0.5x）（2000﹣6x）﹣10×2000﹣220x＝24000，
解得x1＝40，x2＝200（不合题意，舍去）
答：这位外商想获得利润24000元需将这批猴头菇存放40天后出售．
26．（10分）我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．
认识新方程：
像＝x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2＝﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x＝3．
运用以上经验，解下列方程：
（1）＝x；（2）x+2＝6．
【解答】解：（1）两边平方，得16﹣6x＝x2，整理得：x2+6x﹣16＝0，
解得x1＝﹣8，x2＝2；经检验x＝﹣8是增根，所以原方程的根为x＝2；
（2）移项得：2＝6﹣x两边平方，得4x﹣12＝x2﹣12x+36，
解得x1＝4，x2＝12，经检验，x＝12是方程的增根，x＝4是方程的解．
27．（12分）对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，2），顶点C、D在x轴上，且OC＝OD．
（1）当⊙P的半径为4时，
①在P1（0，﹣3），P2（2，3），P3（﹣2，1）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是 P1（0，﹣3），P2（2，3） ；
②如果点P在直线上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标；
（2）已知点P在y轴上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，如果⊙P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（，2），顶点C、D在x轴上，且OC＝OD，
∴点B的坐标为（﹣，2），点C的坐标为（﹣，0），点D的坐标为（，0），∴矩形ABCD的中心E的坐标为（0，1），
当⊙P的半径为4时，
①若P1（0，﹣3），则PE＝1+3＝4，若P2（2，3），则PE＝＝4，
若P3（﹣2，1）则PE＝＝2，
∴可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是：P1（0，﹣3），P2（2，3）；
故答案为：P1（0，﹣3），P2（2，3）．
②∵设P的坐标为（x，﹣x+1），∵E为（0，1），∴x2+（﹣x+1﹣1）2＝42，
解得：x＝±2，当x＝2时，y＝﹣×2+1＝﹣1；
当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）+1＝3；
∴点P的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，3）；
（2）∵点P在y上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，且⊙P与直线AD没有公共点，
∴|m﹣1|＜，且|m﹣1|≠0，解得：1﹣＜m＜1+且m≠1．
∴点P的纵坐标m的取值范围为：1﹣＜m＜1+且m≠1．
28．（12分）阅读材料：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A，则PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．
证明：延长PO交⊙O于点B，显然PB＞PA．
如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连接PC，OC．
∵PO＜PC+OC，
且PO＝PA+OA，OA＝OC，
∴PA＜PC
∴PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．
由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．请用上述真命题解决下列问题．
（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是 ﹣1 ．
（2）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，①求线段A′M的长度； ②求线段A′C长的最小值．
【解答】解：（1）连接AO与⊙O相交于点P，如图①，由已知定理可知，
此时AP最短，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BC为直径，∴PO＝CO＝1，
∴AO＝＝＝，∴AP＝﹣1，故答案为：﹣1；
（2）①∵将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，由翻折的性质可得：
A′M＝AM，∵M是AD边的中点，四边形ABCD为菱形，边长为2，
∴AM＝1，∴A′M＝1；
②由①知，点A′在以点M为圆心，1为半径的圆上，
连接CM交圆M于点A′，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H，如图②，
∵∠A＝60°，四边形ABCD为菱形，∴∠HDM＝60°，
在Rt△MHD中，DH＝DM cos∠HDM＝，MH＝DM sin∠HDM＝，
∴CH＝CD+DH＝2+＝，
在Rt△CHM中，CM＝＝＝，∴A′C＝﹣1．
