九年级数学试卷2023.10
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．方程的解为（）
A． B．
C．， D．，
2．在比例尺为1：1000000的交通地图上，宝应到扬州的长度约为11.7cm，则它的实际长度约为（）
A．1.17km B．11.7km C．117km D．1170km
3．的半径为5cm，点A到圆心O的距离，则点A与的位置关系为（）
A．点A在上 B．点A在内 C．点A在外 D．无法确定
4．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）
A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm
5．一元二次方程的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数
C．没有实数根 D．不能确定
6．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）
第6题图
A．15° B．28° C．29° D．34°
7．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（）
第7题图
A．5 B． C． D．6
8．如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）
第8题图
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．若，则________．
10．已知方程的一个根是1，则m的值是________．
11．若直角三角形的两直角边长为3、4，则该直角三角形的外接圆半径为________．
12．某药品经两次降价，从每盒90元下调至72.9元，则平均每次降价的百分率是________．
13．如图，已知：，，，，则________．
第13题图
14．如图，的弦AB、半径OC延长交于点D，．若，则∠D的度数是________°．
第14题图
15．如图，已知，，将△OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到，则顶点B的对应点的坐标为________．
第15题图
16．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为________cm．
第16题图
17．如图，在△ABC中，，，，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为________．
第17题图
18．如图，在四边形ABCD中，，，，，，则BD的长为________．
第18题图
三、解答题（本大题共有10小题，共96分）
19．（8分）解方程：（1）；
（2）．
20．（8分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是________．
（2）以点B为位似中心，在网格内画出，使与△ABC位似，且位似比为2：1，点的坐标是________．
21．（8分）如图Rt△ABC中，，，E是AC上一点，，于D．
（1）求证：；
（2）求AD的长度．
22．（8分）如图，AB是圆O的直径，弦于点E，G是圆O上任意一点，连结AD，AG，GD．
（1）求证：；
（2）若，，求圆O的半径．
23．（10分）已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．
24．（10分）在△ABC中，以AC为直径的交AB于点D，边BC与相切于点C，点E是边BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE是的切线；
（2）若，，求的半径．
25．（10分）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加________件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能赢利1200元；
26．（10分）一天晚上，小明利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当小明走到点A处时，测得小明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着小明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，小明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得．已知小明直立时的身高为1.5m，求路灯的高CD的长．
27．（12分）如图，两个全等的等边三角形如图放置，边长为8，AC与DE交于点G，点D是AB的中点，BC与DF相交于点K，连接GK．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求△DKG的面积．
28．（12分）【问题提出】小明在学习了“圆心角”和“圆周角”的知识后，发现了顶点在圆内（顶点不在圆心）的角，命名为圆内角，比如图1中，∠APC、∠BPD是圆内角，所对的弧分别是、，圆内角的大小与所对弧的度数之间有什么关系呢？
图1 图2
图3图4
【问题解决】小明想到了将∠APC转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角．
解：连接BC，OA，OC，OB，OD． 如图2，在△PBC中， ∵， ∴ 即：∠APC的度数（的度数的度数）
（1）如图1，在中，弦AB、CD相交于点P，若的度数是60°，的度数是80°，则∠APD的度数是________．
【问题探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角，圆外角的大小呢？
（2）如图3，点P是外一点，点A、点C在圆上，连接PA、PC，分别与相交于点B、点D，试探索∠APC的度数与、度数之间的关系，并说明理由．
【解释应用】直接利用前面发现的结论，解决问题。
（3）如图4，平面直角坐标系内，点在上，点B、点C是线段OM上的两个动点，且，延长AB、AC分别与相交于点D、E，延长DE交y轴于点F，试探究∠F的度数是否变化，如果不变，请求出它的度数．
参考答案
一、1-8DCBAABBD
二、9、10、．11、2.512、10%13、1514、20
15、或16、717、4或18、．
三、19、（1），（4分）
（2），（4分）
20、（1）点坐标为，图略；（4分）
（2）点的坐标为，图略（4分）
21、（1）证明略（4分）（2）（4分）
22、（1）证明略（4分）（2）（4分）
23．（1）略（5分）；（2）（5分）
24、（1）证明：略（5分）（2）（5分）
25、（1），（4分）（2）20元（写10元或20元也可以）（6分）
26．4.5m（10分）
27、（1）证明：略（4分）；
（2）证明：略（4分）；
（3）△DKG的面积（4分）
28、（1）110°（3分）
（2）∠APC的度数（的度数的度数）证明：略（5分）
（3）30°（4分）
