1.2一定是直角三角形吗
一、单选题
1．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）
A． B．
C． D．
2．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是2.4m，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为1m时，这段葛藤的长为（ ）
A．1.4m B． C．2.6m D．3.4m
4．如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是（ ）
A． B． C． D．
5．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（ ）
A． B． C． D．
6．意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图点为数轴的原点，点和点分别对应的实数是和1．过点B作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
9．平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
10．如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
11．如图，根据作图的痕迹可知，点C表示的实数为 ．
12．将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，观察下图，你能写出的等式是 ．
13．如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小王从A角走到C角，至少走 米．
14．有一个书生拿一根竹竿要通过一个长方形的门，若把竹竿竖着放比门高出1尺，斜着放恰好等于门的对角线长，已知门宽为4尺，则竹竿高 ．
15．已知，在中，，高，则边长为 ．
16．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为 寸．
17．如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME 7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，则的值为 ．
18．如图，矩形的边在数轴上，其中点A，B分别表示数，2，，以点B为圆心，长为半径作弧交数轴于点P，则点P表示的数为 ．
19．如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ．
20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则 ．
三、解答题
21．（1）如图的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件：
①所作的正方形的顶点，必须在方格上；
②所作正方形的面积为8个平方单位
（2）在数轴上表示实数（保留作图痕迹）
22．数学兴趣小组的同学用火柴盒研究证明勾股定理的新方法．如图，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连接，此时，，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)请利用直角梯形的面积证明勾股定理：．
23．“儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页1.2一定是直角三角形吗
一、单选题
1．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【详解】解：：把斜边定为c，
A、，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解题关键．
2．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是2.4m，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为1m时，这段葛藤的长为（ ）
A．1.4m B． C．2.6m D．3.4m
【答案】C
【分析】圆柱体侧面展开为长方形，化曲为直，运用勾股定理处理；
【详解】解：如图，圆柱侧面展开，
中，
故选：C
【点睛】本题考查勾股定理，圆柱体的侧面展开图；化曲为直的思想是解题的关键．
3．边长为1的正方形在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由于正方形的边长为1，可知为等腰直角三角形，可利用勾股定理求出的长，即可得到B点表示的数．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴在等腰直角中，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据四边形为正方形判断出为直角三角形是解题的关键．
4．如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的面积为，再利用图中面积的关系解答即可．
【详解】解：设面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的边长为，面积为的正方形的面积为，
∴，，
由图可知：，
∴，
∴图中字母所代表的正方形面积为，
故选．
【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
5．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点B作，观察图形可得，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点B作，如图，
观察图形可知：，，
在中，，
∴门口A到藏宝点B的直线距离是，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度．
6．意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意和图形可知，，然后即可判断哪个选项符合题意；
【详解】由图可得：，
故选：C
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．如图点为数轴的原点，点和点分别对应的实数是和1．过点B作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出，进而得到的长，根据实数与数轴的对应关系解答即可．
【详解】解：由题意得，，
在中，，
∴，
∴点E对应的实数是，
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
8．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
【答案】A
【分析】作，根据勾股定理求得的长，即可解答；
【详解】作
根据题意得，
由勾股定理可得
∴此时木马上升的高度为 1 米
故选：A
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
9．平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】D
【分析】连接，根据勾股定理可得的长，在分两种情况讨论即可；
【详解】连接，则．
如图1，当点在线段上时，；
如图2，当点在的延长线上时，，
∴的取值范围为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、三角形的三边关系，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求出．
10．如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积可得出①②⑤正确．
【详解】解：，，
，
．
在和中，
，
，
，．
，
．
，
，
故①②正确；
，，
四边形的面积是；
故③错误；
梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积，
，
，，
故④错误，故⑤正确
故①②⑤共3个正确，③④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
二、填空题
11．如图，根据作图的痕迹可知，点C表示的实数为 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出，然后根据数轴特点得出答案．
【详解】解：如图，由题意可得：，
∴点C表示的实数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，观察下图，你能写出的等式是 ．
【答案】
【分析】用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案．
【详解】解：大正方形的边长为，因此面积可以表示为，
大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为，
因此，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．
13．如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小王从A角走到C角，至少走 米．
【答案】50
【分析】连接，利用勾股定理求出的长即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是长方形，
∴，
在中，
∵，，，
∴．
根据两点之间线段最短可知，小王从A角走到C角至少要走50米，
故答案为50．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握把四边形问题转化为三角形问题解决，属于基础题，中考常考题型．
14．有一个书生拿一根竹竿要通过一个长方形的门，若把竹竿竖着放比门高出1尺，斜着放恰好等于门的对角线长，已知门宽为4尺，则竹竿高 ．
【答案】尺
【分析】根据题意，构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
由题意可知，设竹竿高尺，则，
在中，，则由勾股定理得，解得，
故答案为：尺．
【点睛】本题考查勾股定理解决实际应用题，根据题意构造直角三角形运用勾股列方程求解是解决问题的关键．
15．已知，在中，，高，则边长为 ．
【答案】7或5
【分析】根据题意画出符合条件的图形，分别考虑当高AD在内部和外部的情况，再用勾股定理求解．
【详解】
如图：当AD在△ABC内部时，
∵，，
∴，，
∴BC=6+1=7；
如图：当AD在△ABC外部时，
∵，，
∴，，
∴BC=6-1=5；
故答案为：7或5
【点睛】本题主要考查了用勾股定理求三角形的边，熟练地掌握勾股定理的内容，根据题意进行分类讨论是解题的关键．
16．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为 寸．
【答案】101
【分析】过作于，构建直角三角形，根据勾股定理计算求解即可．
【详解】解：过作于，
设，
则，，，
在中，可有，即，
解得，
所以门的宽度的和为101寸．
故答案为：101．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用问题，构建直角三角形是解答此题的关键．
17．如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME 7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理依次计算出，，，.. ，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得即可．
【详解】由题意得：，
，
,
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
18．如图，矩形的边在数轴上，其中点A，B分别表示数，2，，以点B为圆心，长为半径作弧交数轴于点P，则点P表示的数为 ．
【答案】/
【分析】根据勾股定理求出，，再利用数轴上两点间距离即可求出点P．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点P表示的数为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，在数轴上表示无理数，其中利用距离求点是解题的关键．
19．如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ．
【答案】
【分析】过点作构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到关于正方形面积的方程，然后解方程求解即可．
【详解】解：过点作交于点，交于点，
在正方形中，
又
∵正方形的面积为25，
或（舍去）
故答案为：
【点睛】本题主要考查全等三角形及勾股定理和正方形面积的关系，通过辅助线构造全等三角形并利用勾股定理列方程是解决本题的关键．
20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则 ．
【答案】45°/45度
【分析】取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，证明∠AQB=90°，由勾股定理计算PQ=QB，进而得到△QPB为等腰直角三角形，∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°即可求解．
【详解】解：取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，如下图所示：
∴AE=PF，PE=QF，∠AEP=∠PFQ=90°，
∴△APE≌△PQF(SAS),
∴∠PAB=∠QPF，
∵PF∥BE，
∴∠PBA=∠BPF，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，
又QA =2 +4 =20，QB =2 +1 =5，AB =5 =25，
∴QA +QB =20+5=25=AB ，
∴△QAB为直角三角形，∠AQB=90°，
∵PQ =2 +1 =5=QB ，
∴△PQB为等腰直角三角形，
∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键．
三、解答题
21．（1）如图的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件：
①所作的正方形的顶点，必须在方格上；
②所作正方形的面积为8个平方单位
（2）在数轴上表示实数（保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据正方形面积得出正方形周长，再根据勾股定理和网格，构造出边长即可；
（2）以A为圆心、为半径做弧交数轴于点E，点E即为所求．
【详解】解：（1）∵正方形面积为8个平方单位，
∴正方形边长为个平方单位，
∵，
∴如图，四边形即为所求的正方形；
（2）以A为圆心、为半径做弧交数轴于点E，点E即为所求．
【点睛】本题主要考查了根据勾股定理和网格构造无理数，解题的关键是掌握用勾股定理和网格构造无理数的方法和步骤．
22．数学兴趣小组的同学用火柴盒研究证明勾股定理的新方法．如图，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连接，此时，，，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)请利用直角梯形的面积证明勾股定理：．
【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意判断，再由全等三角形的性质得到，即可判断的形状；
（2）利用直角梯形的面积的两种表示，列式化简即可得证．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，
理由如下：
由图可知，，
，，
在长方形中，，
，
是等腰直角三角形；
（2）证明：如图所示：
，，，
；
，
，即，
．
【点睛】本题考查直角三角形相关性质，涉及全等的性质、直角三角形的判定、勾股定理的证明等，数形结合是解决问题的关键．
23．“儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)米
(2)他应该往回收线8米
【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据，即可求解；
（2）正确画出图形，米，则（米），根据勾股定理可得：米，即可求解．
【详解】（1）解：∵米，米
∴根据勾股定理可得（米），
∵米，
∴米；
（2）解：如图：米，
∴（米），
根据勾股定理可得：（米），
∴（米），
即他应该往回收线8米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
