鲁教五四新版八年级上学期《第2章 分式与分式方程》
一．选择题（共10小题）
1．在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（ ）
①x2﹣x+4；②＝4；③＝4；④＝1；⑤；⑥+＝2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列代数式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．一项工作，甲单独做需a小时完成，若与乙合作需10小时完成，则乙单独完成需要（ ）小时．
A．10﹣a B．﹣ C． D．
4．若a为正整数，则化简的结果可以是（ ）
A．0 B． C． D．2
5．下列选项中，能使分式值为0的x的值是（ ）
A．1 B．0 C．1或﹣1 D．﹣1
6．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
8．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12 B．14 C． D．9
10．解分式方程＝4时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+2＝4 B．x﹣2＝4
C．x﹣2＝4（2x﹣1） D．x+2＝4（2x﹣1）
二．填空题（共10小题）
11．计算：÷＝ ．
12．观察以下等式：
（﹣1）×＝（﹣1）+，
（﹣2）×＝（﹣2）+，
（﹣3）×＝（﹣3）+，
（﹣4）×＝（﹣4）+，
（1）依此规律进行下去，第5个等式为 ，猜想第n个等式为 （n为正整数）；
（2）请利用分式的运算证明你的猜想．
13．若分式的值为4，则把x，y的值均扩大为原来的2倍后，这个分式的值为 ．
14．甲、乙两船从相距300千米的A、B两地同时出发，相向而行，甲船从A地顺流航行180千米时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6千米/时．若设甲、乙两船在静水中的速度均为x千米/时，求两船在静水中的速度，可列方程为 ．
15．要使分式有意义，则x的取值范围是 ．
16．将分式和进行通分时，分母a2﹣9可因式分解为 ，分母9﹣3a可因式分解为 ，因此最简公分母是 ．
17．与的最简公分母是 ．
18．若关于x的分式方程＝2a有增根，则a的值为 ．
19．若方程＝的解不大于13，则k的取值范围是 ．
20．已知关于x的方程+＝5，如果设＝y，那么原方程化为关于y的整式方程是 ．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求值：÷（﹣2x），其中x＝+1．
22．计算题：
（1）|﹣2|﹣（π﹣3）0+（﹣）﹣2+（﹣22）；
（2）（﹣3x2y﹣3） （2x﹣1y2）3÷（﹣）﹣2．
23．某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
24．（1）计算：；
（2）化简：．
25．当x取何值时，下列分式的值为零？
（1）
（2）．
26．林林家与学校的距离为a千米，林林骑自行车从家到学校需要b分钟，某天，林林从家骑自行车出发c分钟后，爸爸才从家骑自行车出发，结果爸爸与林林同时到达学校，爸爸每分钟比林林多骑多少千米？
27．阅读理解，并根据所得规律答题．
解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设，，原方程组转化为，解得，∴，，由倒数定义得，原方程组的解为．
（1）直接写出满足方程的一个解 ；
（2）解方程组．
鲁教五四新版八年级上学期《第2章 分式与分式方程》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（ ）
①x2﹣x+4；②＝4；③＝4；④＝1；⑤；⑥+＝2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】分式方程的定义．
【答案】A
【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
【解答】解：①x2﹣x+4、⑤不是等式，故不符合题意；
②＝4，⑥+＝2，π是数字不是未知数，是一元一次方程，故不符合题意；
③＝4，④＝1是分式方程，故符合题意；
故选：A．
2．下列代数式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的定义．
【答案】C
【分析】根据分式的定义，形如 ，B中含有字母且B≠0，判断即可．
【解答】解：上列代数式中，属于分式的是：（x≠﹣3），
故选：C．
3．一项工作，甲单独做需a小时完成，若与乙合作需10小时完成，则乙单独完成需要（ ）小时．
A．10﹣a B．﹣ C． D．
【考点】列代数式（分式）．
【答案】C
【分析】设工作总量为1，甲乙合作10小时可以完成，那么甲乙合作的工效是，甲单独做需a小时完成，甲的工效为，则乙的工效为：（﹣），由时间＝工作量÷工效列式．
【解答】解：设工作总量为1，那么甲乙合作的工效是，甲单独做需a小时完成，甲的工效为，
乙单独完成需要的时间是1÷（﹣）＝1÷＝（小时），
故选：C．
4．若a为正整数，则化简的结果可以是（ ）
A．0 B． C． D．2
【考点】分式的化简求值．
【答案】B
【分析】将原式中分母进行因式分解，然后把除法转化为乘法进行计算，最后根据a为正整数进行判断．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
∵a≠0，a+1≠0，a﹣1≠0，
∴a≠0且a≠﹣1且a≠1，
又∵a为正整数，
∴a﹣1＜a，
即且，
∴选项A、C、D均不符合题意，
当a＝2时，
原式＝，故选项B符合题意，
故选：B．
5．下列选项中，能使分式值为0的x的值是（ ）
A．1 B．0 C．1或﹣1 D．﹣1
【考点】分式的值为零的条件．
【答案】D
【分析】根据分式的值为零的条件列出算式，计算即可．
【解答】解：使分式值为0，
则x2﹣1＝0，x﹣1≠0，
解得，x＝﹣1，
故选：D．
6．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点】约分．
【答案】B
【分析】分子分母同时约掉公因式5mx即可．
【解答】解：原式＝＝，
故选：B．
7．下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简分式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可．
【解答】解：A．的分子、分母中不含有除1之外的公因式，是最简分式，符合题意；
B． 的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，不符合题意；
C．的分子、分母中含有公因式（3+y），不是最简分式，不符合题意；
D．的分子、分母中含有公因式（x+y），不是最简分式，不符合题意．
故选：A．
8．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点】分式的乘除法．
【答案】B
【分析】直接将分时的分子与分母分解因式，进而利用分式的乘法运算法则化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝．
故选：B．
9．已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12 B．14 C． D．9
【考点】分式的加减法．
【答案】A
【分析】把＝11两边加上3，通分得到++＝14，两边除以（x+y+z）得到++＝，则＝，从而得到x+y+z的值．
【解答】解：∵＝11，
∴1++1++1+＝14，
即++＝14，
∴++＝，
而++＝，
∴＝，
∴x+y+z＝12．
故选：A．
10．解分式方程＝4时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+2＝4 B．x﹣2＝4
C．x﹣2＝4（2x﹣1） D．x+2＝4（2x﹣1）
【考点】解分式方程．
【答案】C
【分析】分式方程左右两边同时乘以（2x﹣1）去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程整理得：﹣＝4，
去分母得：x﹣2＝4（2x﹣1）．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
11．计算：÷＝ ．
【考点】分式的乘除法．
【答案】．
【分析】根据分式的除法法则进行计算即可．
【解答】解：÷
＝
＝，
故答案为：．
12．观察以下等式：
（﹣1）×＝（﹣1）+，
（﹣2）×＝（﹣2）+，
（﹣3）×＝（﹣3）+，
（﹣4）×＝（﹣4）+，
（1）依此规律进行下去，第5个等式为 （﹣5）×＝（﹣5）+ ，猜想第n个等式为 （﹣n） ＝（﹣n）+ （n为正整数）；
（2）请利用分式的运算证明你的猜想．
【考点】分式的混合运算；有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）仿照阅读材料中的等式得到第5个等式，进而确定出第n个等式即可；
（2）验证所得的等式即可．
【解答】解：（1）根据题意得：第5个等式为（﹣5）×＝（﹣5）+，第n个等式为（﹣n） ＝（﹣n）+；
故答案为：（﹣5）×＝（﹣5）+；（﹣n） ＝（﹣n）+；
（2）左边＝﹣，右边＝＝＝﹣，
则左边＝右边，即（﹣n） ＝（﹣n）+．
13．若分式的值为4，则把x，y的值均扩大为原来的2倍后，这个分式的值为 8 ．
【考点】分式的基本性质．
【答案】8．
【分析】利用分式的基本性质进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
＝4，
∴＝＝＝8，
∴若分式的值为4，则把x，y的值均扩大为原来的2倍后，这个分式的值为8，
故答案为：8．
14．甲、乙两船从相距300千米的A、B两地同时出发，相向而行，甲船从A地顺流航行180千米时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6千米/时．若设甲、乙两船在静水中的速度均为x千米/时，求两船在静水中的速度，可列方程为 ＝ ．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】设甲、乙两船在静水中的速度均为x千米/时，则顺流速度为（x+6）千米/时，逆流速度为（x﹣6）千米/时，根据题意可得顺流行驶180千米所用时间＝逆流120千米所用时间，根据时间关系可得方程．
【解答】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为x千米/时，由题意得：
＝，
故答案为：＝．
15．要使分式有意义，则x的取值范围是 x≠﹣1且x≠3 ．
【考点】分式有意义的条件．
【答案】x≠﹣1且x≠3．
【分析】根据分式有意义的条件，即分式的分母不为零即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴（x+1）（x﹣3）≠0，
∴x+1≠0，x﹣3≠0，
∴x≠﹣1且x≠3，
故答案为：x≠﹣1且x≠3．
16．将分式和进行通分时，分母a2﹣9可因式分解为 （a+3）（a﹣3） ，分母9﹣3a可因式分解为 ﹣3（a﹣3） ，因此最简公分母是 ﹣3（a+3）（a﹣3） ．
【考点】通分．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方差公式即可分解a2﹣9，再提取公因式可分解9﹣3a，找系数的最小公倍数，字母的最高次幂，即可得出最简公分母．
【解答】解：∵a2﹣9＝（a+3）（a﹣3），9﹣3a＝﹣3（a﹣3），
∴分式和的最简公分母为﹣3（a+3）（a﹣3）．
故答案为（a+3）（a﹣3），﹣3（a﹣3），﹣3（a+3）（a﹣3）．
17．与的最简公分母是 （2a+3）（2a﹣3） ．
【考点】最简公分母．
【答案】（2a+3）（2a﹣3）．
【分析】根据最简公分母的概念进行解答．
【解答】解：与的最简公分母为（2a+3）（2a﹣3），
故答案为：（2a+3）（2a﹣3）．
18．若关于x的分式方程＝2a有增根，则a的值为 3 ．
【考点】分式方程的增根．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出a的值即可．
【解答】解：＝2a，
去分母得：﹣a+x＝2a（x﹣3），
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
代入整式方程得：﹣a+3＝0，
解得：a＝3．
故答案为：3．
19．若方程＝的解不大于13，则k的取值范围是 k≤15且k≠﹣1，k≠1 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】解出分式方程的解为x＝，由已知条件得到≤13，≠5，≠6即可求解．
【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣5）（x﹣6），得
（x﹣5）2﹣（x﹣6）2＝k，
化简，得
2x＝k+11，
解得x＝，
∵方程的解不大于13，
∴≤13，
∴k≤15，
∵x≠5，x≠6，
∴≠5，≠6，
∴k≠﹣1，k≠1，
∴k≤15且k≠﹣1，k≠1，
故答案为k≤15且k≠﹣1，k≠1．
20．已知关于x的方程+＝5，如果设＝y，那么原方程化为关于y的整式方程是 3y2﹣5y+1＝0 ．
【考点】换元法解分式方程．
【答案】3y2﹣5y+1＝0．
【分析】设＝y，则＝，代入原方程，去分母即可得到．
【解答】解：设＝y，则＝，
则原方程可化为，
3y+＝5，
去分母，整理得，
3y2﹣5y+1＝0，
故答案为：3y2﹣5y+1＝0．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求值：÷（﹣2x），其中x＝+1．
【考点】分式的化简求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣2x）
＝
＝
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝．
22．计算题：
（1）|﹣2|﹣（π﹣3）0+（﹣）﹣2+（﹣22）；
（2）（﹣3x2y﹣3） （2x﹣1y2）3÷（﹣）﹣2．
【考点】分式的乘除法；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
【答案】（1）6．
（2）．
【分析】（1）根据绝对值的性质、负整数指数幂的意义以及乘方运算即可求出答案．
（2）根据整式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+9﹣4
＝1+9﹣4
＝10﹣4
＝6．
（2）原式＝（﹣3x2y﹣3） （8x﹣3y6）÷（﹣）2
＝（﹣24x﹣1y3）÷
＝（﹣24x﹣1y3）
＝．
23．某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
【考点】分式方程的应用．
【答案】甲种玩具的进货单价6元，乙种玩具的进货单价为5元．
【分析】设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进货单价为（x﹣1）元，根据数量＝总价÷单价结合用1200元购进甲种玩具的数量是用800元购进乙种玩具的数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进货单价为（x﹣1）元，
依题意得：＝×，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣1＝5．
答：甲种玩具的进货单价6元，乙种玩具的进货单价为5元．
24．（1）计算：；
（2）化简：．
【考点】分式的混合运算；负整数指数幂；实数的运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案；
（2）直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3+2﹣3
＝2；
（2）原式＝
＝
＝．
25．当x取何值时，下列分式的值为零？
（1）
（2）．
【考点】分式的值为零的条件．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：（1）根据题意得
解得：x＝﹣2
故当x＝﹣2时，原分式值为0．
（2）根据题意得
解得：x＝3
故当x＝3时，原分式值为0．
26．林林家与学校的距离为a千米，林林骑自行车从家到学校需要b分钟，某天，林林从家骑自行车出发c分钟后，爸爸才从家骑自行车出发，结果爸爸与林林同时到达学校，爸爸每分钟比林林多骑多少千米？
【考点】列代数式（分式）．
【答案】见试题解答内容
【分析】由速度＝总路程÷时间即可列式．
【解答】解：爸爸所用时间为：b﹣c．则爸爸的骑车速度为．
故﹣＝．
答：爸爸每分钟比林林多骑千米．
27．阅读理解，并根据所得规律答题．
解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设，，原方程组转化为，解得，∴，，由倒数定义得，原方程组的解为．
（1）直接写出满足方程的一个解 （不唯一） ；
（2）解方程组．
【考点】换元法解分式方程；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；分式方程的解．
【答案】（1）（不唯一）；（2）．
【分析】（1）写出方程的一个解即可；
（2）利用换元法先把分式方程组转化为一元一次方程组，再求解．
【解答】解：（1）当x＝1，y＝2时，
+＝+＝4．
∴是方程+＝4的一个解．
故答案为：（不唯一）．
（2）设，，
原方程组转化为，
解得，
∴，，
∴．
∴原方程组的解为．
