13.3等腰三角形同步练习2023-2024学年人教版数学八年级上册
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，BD＝AB，CD＝AD，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．46°
2．等边三角形的边长为2，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．在上一次《数学知识PK赛》上，由于天逸同学的题目太简单，导致小组败北，所以这次换成了他的搭档辰熙同学出题，让我们一起来看看辰熙同学的水平：如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE＝2，结论错误的是（ ）
A．∠ADE＝30° B．AD＝4
C．△ADE的面积为4 D．△EFC的周长为18
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，如果AB＝6，则BC＝（ ）
A．6 B．3 C．12 D．4.5
5．在平面直角坐标系xOy中，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，A（1，a），B（b，﹣5），C（b+t，﹣5），其中2＜t＜4．关于点B的位置描述正确的是（ ）
A．在y轴上 B．随a的变化而不同
C．在第四象限 D．在第三象限
6．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABO的顶点B的横坐标为，则AB边中点的坐标为（ ）
A． B． C．（2，2） D．（3，3）
7．如图所示，将等边三角形ABC沿射线CA平移得到三角形FED，点A的对应点为F，连接BE，若AD＝2，CF＝10，则BE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF．若∠BAC＝112°，则∠AFC＝（ ）
A．34° B．62° C．68° D．70°
9．如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，∠2＝35°，则∠1的度数为（ ）
A．40° B．25° C．30° D．35°
10．等腰三角形的两个底角相等，顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠C＝65°，则∠BAD的度数为 ．
12．如图，点O是△ABC内的一点，OA＝OB＝OC，∠BAC＝45°，则∠BOC＝ ．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝10cm，则BC的长为 cm．
14．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，在△ABC的外侧作等边△BCD，则AD的长的最大值是 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1＝ ．
三．解答题（共4小题）
16．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由：
（1）AD∥FG；
（2）△AEF是等腰三角形．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝2α，BD平分∠ABC交AC于点E，点F是ED上一点且∠EAF＝α，
（1）求∠AFB的大小（用含α的式子表示）；
（2）连接FC．用等式表示线段FC与FA的数量关系，并证明．
18．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若∠C＝100°，∠B＝40°，求∠AED的度数．
19．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．
（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF；
（2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数．
参考答案
1--10BACBD BACBB
11．25°
12．90°
13．5．
14．+．
15．57.5°．
16．解：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵FG⊥BC，
∴AD∥FG．
（2）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD∥FG，
∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE，
即△AEF是等腰三角形．
17．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠ACB＝2α，
∴∠ABC＝2α，
∵BD平分∠ABC交AC于点E，
∴∠ABE＝∠EBC＝α，
∴∠ABE＝∠EAF+∠AFE＝∠EBC+∠ECB，
∵∠EAF＝α，
∴∠AFB＝2α；
（2）FC＝FA．证明如下：
由（1）得，∠AFB＝2α，∠ACB＝2α，
∴∠ACB＝∠AFB，
∴四点A、F、C、B共圆，
∴∠ACF＝∠ABF，即∠ACF＝α，
又∵∠EAF＝α，
∴∠ACF＝∠EAF，
∴FC＝FA．
18．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴AE＝DE．
（2）解：∵∠C＝100°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠AED+∠BAC＝180°，
∴∠AED＝140°．
19．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BCD与△CBE中
，
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴∠FBC＝∠FCB，
∴BF＝CF；
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴，
由（1）知，∠FBC＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠ECF，
设∠FBD＝∠ECF＝x，
则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，
∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，
∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，
∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，
即∠FBD＝30°；
②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，
∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，
即∠FBD＝45°；
③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，
∴x＝x+45°，不符题意，舍去；
综上所述，∠FBD＝30°或45°
