2023-2024学年湖南省邵阳市邵东市九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知函数的图象过点，则该函数的图象必在( )
A. 第二、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第三、四象限
2.解一元二次方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
3.把写成比例式，写错的是( )
A. B. C. D.
4.已知点，是反比例函数图象上的两点，若，则有( )
A. B. C. D.
5.若是关于的方程的一个根，则的值是( )
A. B. C. D.
6.点是线段的黄金分割点，且若，则的长为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，利用围墙的一边用的铁丝网围成一个面积为的矩形，求这个矩形中与围墙平行的一边长度，如果设平行于围墙的一边为，那么可得方程( )
A. B. C. D.
8.如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定∽的是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是( )
A. B. 且
C. D. 且
10.函数和在同一坐标系中的图象可以大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.已知点与点在反比例函数的图象上，则的值为______ ．
12.一元二次方程的根是______ ．
13.若，则 ______ ．
14.如图，已知直线，直线、分别与直线、、分别交于点、、、、、，若，，则的值为______ ．
15.已知：关于的方程若方程的一个根是，则的值为______ ．
16.如图，在中，是边上的一点，连接，请添加一个适当的条件______ ，使∽只填一个即可
17.如图，在 中，的平分线分别与、交于点、若，，则的值是______ ．
18.如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
；
．
20.本小题分
已知是关于的反比例函数．
若时，随的增大而减小，求的值；
若该反比例函数图象经过第二象限内点，求的值．
21.本小题分
如图，在正方形中，为边的中点，且：：，连接并延长交的延长线于点，
求证：∽；
若正方形的边长为，求的长．
22.本小题分
某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于元，经调查发现，若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件．
若每件衬衫降价元，则每天可盈利多少元？
若商场平均每天盈利元，则每件衬衫应降价多少元？
23.本小题分
已知 ，点是延长线上一点，与，分别相交于点，求证：．
24.本小题分
已知关于的一元二次方程有两实数根．
求的取值范围；
若、是该方程的两个根，且，求的值．
25.本小题分
如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点与点．
求的值与反比例函数关系式；
连接，，求；
若，请结合图象直接写出的取值范围．
26.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，且
求反比例函数与一次函数关系式；
线段上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：函数的图象过点，
，，
函数解析式为，
函数的图象在第二、四象限．
故选：．
先将点代入函数解析式，求出的取值，从而确定函数的图象所在象限．
本题考查了反比例函数的图象与性质：时，图象在第一、三象限；时，图象在第二、四象限；以及待定系数法求函数解析式．
2.【答案】
【解析】【分析】
根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
本题考查用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．
【解答】
解：，
，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】利用等式的基本性质即可解决问题．
本题考查的是等式的性质．等式性质：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质：等式的两边都乘以或者除以同一个数除数不为零，所得结果仍是等式．
【解答】解：、把两边同时除以得，，所以A正确；
B、把两边同时除以得，，B正确；
C、把两边同时除以，得，所以C正确；
利用排除法可知D错误．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：反比例函数中，
此函数图象在第一、三象限，
，
在第三象限，点在第一象限，
，
故选：．
先根据反比例函数中可判断出此函数图象在第一、三象限，再根据，可判断出、两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出与的大小关系．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征及各象限内点的坐标特点，先根据判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：把代入得，
，
，
即．
故选A．
根据一元二次方程的解的定义得到，然后两边除以即可得到的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
6.【答案】
【解析】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
故选：．
根据黄金比值为进行计算即可．
本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据矩形的面积长宽列一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意并根据题意找出其中的等量关系是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
选项B、根据两角对应相等判定∽，
选项A根据两边成比例夹角相等判定∽，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得且，
解得且，
即的取值范围是且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
10.【答案】
【解析】解：当时，，
反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限，
当时，，
反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，
符合题意的只有选项B．
故选：．
当时，可得出反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限；当时，可得出反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限．再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，分和两种情况找出反比例函数图象与一次函数图象经过的象限是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：把代入得，
所以反比例函数的解析式为，
把代入，得．
故答案为：．
先把点坐标代入中求出的值，从而得到反比例函数解析式，然后把代入反比例函数解析式即可求出的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
12.【答案】，
【解析】解：，
，
，
或，
解得：，．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
13.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
由，利用比例变形，即可求得，然后根据比例的性质，即可求得的值．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质的应用．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，得
，
解得，；
故答案为：．
将代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程即可求得的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
16.【答案】答案不唯一
【解析】解：由题意得，公共角，
则可添加：，利用两角法可判定∽．
故答案可为：．
相似三角形的判定有三种方法：
三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此可得出可添加的条件．
本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．
17.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
∽，
：：，
，，
：：，
．
故答案为：．
由在 中，，利用平行线的性质，可求得，又由是的平分线，易证得，利用等角对等边的知识，即可证得，证得∽，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得结果．
此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定．注意有平行线与角平分线易得等腰三角形．
18.【答案】
【解析】解：过点，作轴，轴，分别于，．
设点的坐标是，则，．
，
．
，
．
，
∽．
，，
，
，
设，则，
点在反比例函数的图象上，
，
，
．
故答案为：．
要求函数的解析式只要求出点的坐标就可以，过点，作轴，轴，分别于，根据条件得到∽，得到：，然后用待定系数法即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点的坐标用含的式子表示是解题的关键．
19.【答案】解：方程化为，
，
或，
所以，；
方程化为，
，
或，
所以，．
【解析】先把方程化整系数，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20.【答案】解：函数是关于的反比例函数，
，
解得，
时，随的增大而减小，
，
，
；
该反比例函数图象经过第二象限内点，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据反比例函数的定义得出关于的不等式组，即可求得的值；然后根据反比例函数的性质得到关于的不等式，解不等式即可求得的值，从而求得反比例函数的解析式，进一步即可求得的值．
本题考查了反比例函数的定义，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
21.【答案】证明：设正方形的边长为．
四边形为正方形，
，，
为边的中点，
，
又：：，
，
，
∽；
解：四边形为正方形，
，
∽，
：：：，
．
又正方形的边长为，点是的中点，
，，
．
【解析】设正方形的边长为根据已知条件得到，，则由“两边及夹角法”证得结论；
由“平行线法”证得∽，所以由该相似三角形的对应边成比例可以求得，又由，则易求的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．此题利用了“两边及夹角法”和“平行线法”证得图中的相似三角形的．
22.【答案】解：根据题意得：
元．
答：每天可盈利元；
设每件衬衫降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：每件衬衫应降价元．
【解析】利用商场销售这种衬衫每天获得的利润每件的销售利润日销售量，即可求出结论；
设每件衬衫降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用商场销售这种衬衫每天获得的利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要求每件盈利不少于元，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
∽，∽，
，，
，即．
【解析】根据平行四边形的性质得到，，得到∽，∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：关于的一元二次方程有两实数根，
，
解得：；
由题意得：，，
则．
解得：，，
又，
所以的值为．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论；
根据根与系数的关系得出，，变形后整体代入，即可求出答案．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；根据根与系数的关系结合可求出的值．
25.【答案】解：将代入中，得；
将代入中，得，
所以反比例函数关系式；
由，解得或，
所以，，
设一次函数与轴交于点，
故；
观察图象，若，则或．
【解析】把点代入一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得反比例函数关系式；
解析式联立成方程组，解方程组即可求得、的坐标，设一次函数与轴交于点，利用三角形面积公式，根据求得即可；
根据图象即可求解．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
26.【答案】解：作轴于点，由点可知，，，．
又，，
．
即，
，
反比例函数的解析式为，一次函数关系式为；
当时，，则，
当时，点在的垂直平分线上，故D，
当时，设，则，
又，则，
即，
所以；
综上，或或；
存在．设∽，
则，
又，，
则，
故存在，．
【解析】将代入可求出的值，作轴，交轴于点则，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，然后据待定系数法即可求得一次函数解析式；
当时，当时，当时，解方程即可得到结论；
国家相似三角形的性质即可得到结论．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，反比例函数的性质等，解题关键是数形结合思想的应用．
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