2.1 椭圆 练习
一、单选题
1．已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
2．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．为椭圆：上一点，，则最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知点P是椭圆 上的动点，则点P到直线的距离最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
5．已知椭圆的左，右焦点分别为，，，两点都在上，且，关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ）
A．的最大值为
B．为定值
C．的焦距是短轴长的2倍
D．存在点，使得
6．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆：的离心率，短轴的右端点为，为线段的中点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知圆与椭圆 ，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（ ）
A． B．3 C．6 D．8
11．，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
12．为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．写出一个焦距为3的椭圆的标准方程： ．
14．在中，，，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，则 .
15．椭圆的焦距为 ．
16．已知椭圆的焦点在轴上，离心率，则 .
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，且满足______，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴.现有如下两个条件分别为：
条件①；椭圆过点，条件②：椭圆的离心率为
请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点.试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
18．分别根据下列条件求椭圆标准方程：
(1)一个焦点为
(2)与椭圆有相同的焦点，且经过点
19．已知椭圆的上顶点与左 右焦点连线的斜率之积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知椭圆的左 右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线分别与直线交于点为坐标原点，求.
20．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)，；
(2)焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
(3)焦点在x轴上，，且经过点；
(4)，且经过点.
参考答案
1．D
【详解】依题意，设椭圆的左焦点为，
圆的圆心为，半径为，
，
当三点共线，且在之间时等号成立.
而，
所以，
当四点共线，且在之间，是的延长线与圆的交点时等号成立.
故选：D
2．A
【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，
则椭圆方程为，
则，且,
解得，，
故该卫星远地点离地面的距离为
，
故选：A
3．D
【详解】设，
则
，
由于，故当时，取最小值，
故选：D
4．D
【详解】由题意点P是椭圆 上的动点，设，
则点P到直线的距离为
，其中，
当时，取最小值，
故选：D
5．C
【详解】由题意，，，，所以，，，
而，，所以A正确，C错误；
由椭圆的对称性知，，所以B正确；
当在轴上时，，则为锐角，
所以存在点，使得，所以D正确.
故选：C
6．A
【详解】根据题意设，代入椭圆方程可得；
两式相减可得，整理可得；
又因为的中点坐标为，可得；
因此过两点的直线斜率为，
又和的中点在直线上，所以，
即，可得；
又易知，且，计算可得；
所以椭圆的方程为，代入的中点坐标为，得，则其在椭圆内部，则此时直线与椭圆相交两点.
故选：A
7．B
【详解】因为为线段的中点，且，所以，
又椭圆的离心率，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
8．A
【详解】由题设，圆与椭圆在上下顶点处相切，椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，如下图，
若且，要所作的圆的两条切线的夹角最小，只需最大，
所以，当与左右顶点重合时，此时最小；靠近上下顶点时无限接近；
在椭圆上存在一点，使得所作的圆的两条切线的夹角为，
所以，保证时，即，
由题意及图知：，故，而，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：A
9．BC
【详解】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或．
又，，得，所以或．
故选:BC．
10．BC
【分析】根据到焦点距离的范围求解即可.
【详解】由题意可知，所以，即.
故选：BC.
11．AD
【详解】根据选项，设椭圆的方程为，设椭圆的上顶点为，
椭圆上存在点，使得，则需，
所以，即，
因为，，则，检验可得选项A，D满足.
故选：AD.
12．CD
【详解】当焦点在x轴上时，，则，
所以，，解得；
当焦点在y轴上时，，则，
所以，，解得.
故选：CD
13．（答案不唯一）
【详解】由题意，即，又，例如，则，
标准方程可为．
故答案为：．（答案不唯一）
14．
【详解】由题意可设，以为焦点且经过点的椭圆为，
以为焦点且经过点的椭圆为，
由椭圆定义可得，，
故，
同理可知，，
则，所以.
故答案为：
15．8
【详解】由题意可知：，可得，
所以椭圆的焦距为.
故答案为：8.
16．
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，离心率，
因为，解得.
故答案为：.
17．【详解】（1）选择①，椭圆长轴长，
则，短半轴长，
所以椭圆的方程为.
选择②，由椭圆半焦距，离心率，得长半轴，短半轴，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，，设，，，则有，
直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，
于是得，，观察图知点N在x轴上方，因此，，
则，
所以为定值.
18．【详解】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上，
又，所以，
所以，椭圆方程为.
（2）椭圆的焦点为，
设所求椭圆方程为，
则有，解得，
所以所求椭圆方程为.
19．【详解】（1）根据题意可得椭圆的上顶点的坐标为，左 右焦点的坐标分别为，
由题意可知，即，
又，所以，即，
可得椭圆的离心率.
（2）由，得，即，
所以椭圆的方程为.
如图所示：
设，则，即，
又，则直线的方程为，
直线的方程为；
因为直线分别与直线交于点，
可得，
所以.
即.
20．【详解】（1）由题意，联立，解得： ，
则由椭圆的性质得：，
所以当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：；
当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：，
故椭圆的标准方程为：或.
（2）由题意可得，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，即，
又椭圆的两个焦点坐标为，，则，且焦点落在轴上，
所以由椭圆的性质得：，
故椭圆的标准方程为：.
（3）因为椭圆的焦点在轴上，且，
所以可设椭圆的标准方程为，
又因为椭圆经过点，
所以，解得：，
故椭圆的标准方程为：.
（4）因为，由椭圆的性质得，则，
所以可设椭圆的标准方程为或
又因为椭圆经过点，
所以或，解得：或，
所以，当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：；
当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：，
故椭圆的标准方程为：或.
