2023-2024学年江苏省常州市重点中学高二（上）段考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.经过，两点的直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.“”是方程“表示椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条
3.在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点；乙：该圆的圆心为；丙：该圆的半径为；丁：该圆经过点如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4.两直线方程为：，：，则关于对称的直线方程为( )
A. B. C. D.
5.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.已知圆与圆的公共弦长为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有条( )
A. B. C. D.
8.已知，是圆：上两点，且若存在，使得直线：与：的交点恰为的中点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是( )
A. B. C. D.
10.已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 的周长为 B.
C. 点到轴的距离为 D.
11.已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是( )
A. 的最大值是
B. 的最大值是
C. 的最小值是
D. 过点作曲线的切线，则切线方程为
12.设直线：，圆：，若直线与圆恒有两个公共点，，则下列说法正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 若的值固定不变，则当时最小
C. 若的值固定不变，则的面积的最大值为
D. 若，则当的面积最大时直线的斜率为或
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.直线：与直线：平行，则 ______ ．
14.若直线：与曲线：有两个交点，则实数的取值范围是______ ．
15.已知圆：，点在直线上运动，过作的两条切线，切点分别为，，当四边形的面积最小时， ______ ．
16.过点作斜率为的直线交圆：于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知光线经过已知直线：和：的交点，且射到轴上一点后被轴反射．
求与距离为的直线方程；
求反射光线所在的直线方程．
18.本小题分
已知椭圆经过点，，是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点．
求椭圆的标准方程；
若点在第一象限，且，求点的横坐标的取值范围．
19.本小题分
已知圆经过、两点，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程．
20.本小题分
已知，直线：，设圆的半径为，圆心在上．
若圆心也在直线上，且过点的直线与圆有公共点，求直线的斜率的取值范围；
若圆上存在点，使，求圆心的纵坐标的取值范围．
21.本小题分
如图，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为的正方形．因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器的移动速度为，仪器的移动速度为若仪器与仪器的对视光线被花柱阻挡，则称仪器在仪器的“盲区”中．
如图，斑马线的内侧连线构成正方形，仪器在点处，仪器在上距离点处，试判断仪器是否在仪器的“盲区”中，并说明理由；
如图，斑马线的内侧连线构成正方形，仪器从点出发向点移动，同时仪器从点出发向点移动，在这个移动过程中，仪器在仪器的“盲区”中的时长为多少？
22.本小题分
已知圆：，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设，过点作与轴不重合的直线交曲线于、两点．
过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值；
设曲线与轴交于、两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：经过，两点的直线的斜率为，
因为直线的倾斜角大于等于小于，
故经过，两点的直线的倾斜角是．
故选：．
求出直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系，即可求得答案．
本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：方程表示椭圆，解得，且．
“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：．
方程表示椭圆，解出即可判断出结论．
本题考查了椭圆的定义、不等式的解法与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：若乙、丙正确，
则圆的方程为，
又，
即丁正确，
又，
即甲错误，
即如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是甲．
故选：．
由圆的标准方程的求法求解即可．
本题考查了圆的标准方程的求法，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：联立两直线方程，解得，，
所以直线与的交点坐标为，
在直线：上取一点，设它关于直线的对称点为，
则，解得，，即，
由，，可得所求直线方程为，即．
故选：．
联立两直线方程，求得交点坐标，在直线上取一点，根据中垂线求得该点关于直线的对称点为，再由，两点的坐标，得解．
本题考查直线中的对称问题，熟练掌握两条直线的垂直关系，中点坐标公式等是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径为，从外一点向这个圆作两条切线，
则点到圆心的距离等于，每条切线与的夹角的正切值等于，
所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，
故选：．
先求圆心到的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果．
本题考查圆的切线方程，两点间的距离公式，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：联立和，
得，由题得两圆公共弦长，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以，
平方后整理得，，即，
所以或舍去．
故选：．
根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解．
本题主要考查两圆位置关系的应用，求出两圆的公共弦，利用弦长公式进行求解是解决本题的关键，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：直线过定点，圆半径为，圆心到直线的距离，
最短弦长为，恰有一条，但不是整数；
弦长为的直线恰有条，有条斜率不存在，要舍去；
最长的弦长为直径，也恰有条；
弦长为，，的直线各有条，共有条，
故选：．
由直线的方程可得过的定点的坐标，求出圆心到直线的距离，可得最短的弦长，最长的弦长，求出在这之间的弦长的值，并求出直线的条数．
本题考查直线与与圆相交时的相交弦长的求法，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：圆：，半径，
因为恰为的中点，直线与圆相交弦长，所以，
的轨迹方程是．
又直线：过定点，直线：过定点，且，
则点是两垂线的交点，所以在以为直径的圆上，则圆心，半径为，
的轨迹方程是由于的斜率存在，
所以点的轨迹要除去点，
由已知得圆与圆有公共点，
，即，
又，
所以，解得．
实数的取值范围为．
故选：．
根据直线与圆相交弦长可得的中点的轨迹方程为圆，又根据直线，的方程可确定，交点的轨迹，若恰为的中点，即圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系即可得实数的取值范围．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：当直线的截距为时，此时直线的方程为，即，
当直线的截距不为时，设直线的方程为，
则，解得或，
当，时，可得直线的方程为，即，
若，时，可得则直线的方程为，即．
故选：．
根据题意，分直线的截距为和直线的截距不为，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解．
本题考查了直线方程问题，考查转化思想，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意得，，，，
选项，的周长为，A正确；
选项，由，，可知，，，B正确；
选项，，，C正确；
选项，，D错误．
故选：．
根据椭圆的性质逐项求解即可．
本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为的方程可化为，它表示圆心，半径为的圆，
对于：表示圆上的点到定点的距离的平方，
故它的最大值为：故A错误；
对于：表示圆上的点与点的斜率，
由圆心到直线的距离，可得，
即其最大值为，故B正确；
对于：表示圆上任意一点到直线的距离的倍，
圆心到直线的距离，所以其最小值为，故C错误；
对于设过点作曲线的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为，
由，解得，故切线方程为，故D正确．
故选：．
由：表示圆上的点到定点的距离的平方；对于：表示圆上任意一点到直线的距离的倍：：表示圆上的点与点的斜率；由切线过点，可设切线方程为由可求．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：选项：因为直线：，即，所以直线过定点，连接，因为直线与圆恒有两个公共点，所以，故A错误．
选项：因为直线过定点，所以当时，最小，因为，所以此时直线的斜率为，即，即，故B正确．
选项：设圆心到直线的距离为，则的面积，因为，所以，
若，即，则当时，的面积最大，且；
若，即，则函数随着的增大而增大，所以，故C错误．
选项：由选项知，当时，的面积最大，
因为，所以，整理得，所以或，
因为，所以直线的斜率，所以或，故D正确．
故选：．
选项，先整理直线方程，得到直线过的定点，再根据直线与圆的位置关系得到半径的范围；选项，利用平面几何知识分析出当时，最小，再利用斜率之间的关系即可判断；选项，先将的面积用半径和圆心到直线的距离表示，再利用二次函数的知识求最值即可；选项，利用选项得到半径和圆心到直线的距离之间的关系，再利用点到直线的距离公式建立方程，求得，之间的关系，即可得到结果．
本题主要考查整理直线方程，得到直线过的定点的坐标；熟练掌握直线与圆的位置关系，并能利用平面几何知识分析出圆心角何时最小，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由：，得到，
因为，所以，由，得到
所以，即，解得．
故答案为：．
利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结果．
本题主要考查直线的一般式方程，考查转化能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：直线：恒过定点，
由曲线：，．
所以曲线表示以点为圆心，半径为，
且位于直线右侧的半圆包括点，，如图所示：
当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时；
当与半圆相切时，由，得，
分析可知当时，与曲线有两个不同的交点．
故答案为：．
根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：由圆：，得，
圆心，半径为，
四边形的面积为，
故当最小时，有最小值，
记圆心到直线距离，，
又，
，当时四边形的面积最小，
此时，，，
，故，
故答案为：．
四边形的面积为，，从而求得的最小值即可求得．
考查直线与圆的位置关系，圆的切线问题，最值问题，中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题设，即在圆：内，
令，显然是，内分比点，若为外分比点，
则，此时的中点为，所在阿氏圆的圆心，
对于每一个确定的实数，最大值为，即，重合时为对应圆直径，
根据圆的对称性，如上图，讨论的情况，而，
当为直径时，，
此时，可得，
故的最大值为，
当不为直径时，，且，增减趋势相同，
由，得，显然接近于时趋向无穷大，
此时的最大值为趋向无穷大．，
综上，的最小值是．
故答案为：．
首先确定与圆的位置关系，令且是，内分比点，若为外分比点，由阿氏圆易知，在以的中点为圆心的圆上，且最大值为圆的直径，讨论及数形结合判断的最大情况的最小值．
本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．
17.【答案】解：由题可设所求直线方程为，
根据平行线间的距离公式，
解得或，
所以与距离为的直线方程为或；
由，
可得，即，又，
所以，
所以反射光线所在的直线的斜率为，
故反射光线所在的直线的方程，
即．
【解析】设出直线方程，利用平行线间的距离公式建立方程，求解即可；
求出交点的坐标，利用入射光线和反射光线所在直线斜率相反得到反射光线所在直线的斜率，即可求解．
本题考查了点对称、直线对称问题，也考查了点到直线的距离问题，是基础题．
18.【答案】解：椭圆经过点，，是椭圆的两个焦点，，
则，解得，，
椭圆的标准方程为．
，，，设，
则，
，
，
解得，
点在第一象限，，
，
点的横坐标的取值范围是
【解析】由椭圆经过点，，列出方程组，求出，，由此能求出椭圆的标准方程．
设，，由此能求出点的横坐标的取值范围．
本题考查椭圆的标准方程的求法，考查点的横坐标的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、合理运用
19.【答案】解：圆经过、两点，线段的中点为，直线的斜率为，
所以线段的中垂线方程为，即，
圆心为的中垂线与直线的交点，
联立，解得，故圆心为，
圆的半径，
所以圆的标准方程为；
过点的直线与圆相交于、两点，且，
可得，可得，所以到的距离为：，
可知直线的斜率存在，设为，直线：，即，
可得，解得或，
直线的方程：或．
【解析】求出线段的垂直平分线的方程，与直线的方程，可得出圆心的坐标，求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；
说明直线的斜率存在，设直线的方程，通过向量的数量积，转化求解圆心到直线的距离，求出的值，即可求解直线的方程．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，斜率的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
20.【答案】解：由题得圆心在直线：和直线上，
则联立，解得，即圆心的坐标为，
故圆的方程为，
故设过点的直线方程为：，即，
由直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足，
解得，则直线的斜率的取值范围为；
根据圆心在直线：上，可设圆心为，
则圆的方程为，
若圆上存在点，使，设，
，整理可得，
故点在以为圆心，为半径的圆上，又点也在圆上，
故圆和圆有交点，，即，
解得，即的取值范围为，
所以圆心的纵坐标的取值范围为．
【解析】联立两直线方程，求出圆心，从而得到圆的方程，再由直线与圆有公共点，可求出的取值范围；
设圆心为，设，根据得到点的轨迹方程为圆，由题意得到两圆有交点，从而得到不等式组，求出圆心的横坐标的取值范围．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
21.【答案】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，
所以，
则直线的方程为，即，
故圆心到直线的距离为，
所以圆与直线相交，
故仪器在仪器的“盲区”中．
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
由题意可知，起始时刻仪器在仪器的“盲区”中，
假设仪器在仪器的“盲区”中的时长为，
则，
所以直线的斜率为，
则直线的方程为，即，
从而点到直线的距离为，
解得，
又，
所以，
故在这个移动过程中，仪器在仪器的“盲区”中的时长为．
【解析】建立平面直角坐标系，求出点，的坐标，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，由此判断即可；
建立平面直角坐标系，假设仪器在仪器的“盲区”中的时长为，求出点，的坐标，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，建立不等式，求解即可．
本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：设，，
因为点在圆上，所以到，
因为为中点，所以，整理得，
代入式中得，整理得，
所以曲线的方程为．
因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即，
则直线为，设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为，，
则，
所以，，
所以，
当时，；
当时，，当且仅当时等号成立，
综上所述，四边形面积的最大值为．
设，，
联立，得，
则，，，
因为曲线与轴交于，两点，所以，，
则直线的方程为，
直线的方程为，
联立两直线方程得，
，所以，
所以在定直线上．
【解析】根据点在圆上，得到，再根据为中点，得到，然后代入，整理即可得到曲线的方程；
设直线方程，得到弦长和，然后将面积表示出来，最后分和两种情况讨论面积的最大值；
联立直线和曲线的方程，根据韦达定理得到，然后通过联立直线和直线的方程得到的坐标，再结合即可得到点在定直线上．
本题主要考查求点的轨迹方程，属于中档题．
第1页，共1页
