2023-2024学年山东省临沂市沂水重点中学高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
2.设命题：关于的不等式对一切恒成立，命题：对数函数在上单调递减，那么是的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数( )
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 以为一条对称轴 D. 以为一个对称中心
6.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务已知某种垃圾的分解率与时间月近似地满足关系其中，为正常数，经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过个月参考数据：( )
A. B. C. D.
8.若在上是减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.函数恰有个单调区间的充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
10.已知实数，满足，则下列关系式恒成立的有( )
A. B.
C. D.
11.函数的图象在上恰有两个最大值点，则可能为( )
A. B. C. D.
12.已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是( )
A.
B. 直线 为函数 图象的一条对称轴
C. 函数 在区间上存在 个零点
D. 若 在区间上的根为 ，，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数是定义在上的奇函数，则______．
14.计算：______．
15.已知函数，且对任意恒成立，若角的终边经过点，则 ______ ．
16.已知函数，若存在实数，使函数恰有三个零点，则的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，函数的定义域为集合．
若，求集合；
若，求实数的值．
18.本小题分
在，，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，的内角，，的对边分别为，，，设，若_____，是否存在使得存在最大值？
19.本小题分
小张于年初支出万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元国家规定大货车的报废年限为年．
大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？利润累计收入销售收入总支出
20.本小题分
在中，，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
如果，求的面积的最大值．
21.本小题分
已知函数，
求的单调递减区间；
求在闭区间上的最大值和最小值；
将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上所有零点之和．
22.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
当时，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：阴影部分表示的集合是．
故选：．
利用集合补集的定义进行分析求解即可．
本题考查了集合韦恩图的表示，集合补集定义的理解和应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题：关于的不等式对一切恒成立，
则，解得，
命题：对数函数在上单调递减，
则，解得，
能推出，不能推出，
故是的充分不必要条件．
故选：．
根据已知条件，结合二次函数的判别式，以及对数函数的性质，分别解出二者的取值范围，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查二次函数的判别式，以及对数函数的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：不等式可化为：，于是，
故选：．
利用对数函数的定义以及单调性，将不等式转化为一元一次不等式组即可．
本题考查对数不等式的基本解法，注意真数大于，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设，
，
在上单调递增，
又，，
，即，
．
设，，
，
在上单调递增，
所，
，即，
，
综合可得．
故选：．
根据已知条件构造函数，，，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解．
本题考查利用函数单调性比较大小，构造函数利用导数研究函数的单调性与最值，化归转化思想，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：函数的图象向右平移个单位长度，得到，
对于选项A：令，整理得：，
故单调增区间为：故选项A错误．
对于选项B：由于函数的最小正周期为，
所以单调递减区间为．
当时，在区间上单调递减，故正确．
对于选项C：
当时．，
所以函数没有取得最大或最小值，故错误．
对于选项D：当时，，所以，故选项D错误．
故选：．
首先利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是中档题．
判断函数的奇偶性和对称性，利用当时，，进行判断即可．
【解答】
解：函数的定义域为，
，则是偶函数，图象关于轴对称，排除，
由，得，
当时，，，则，排除，，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数模型的实际应用，考查运算求解能力，属基础题．
先由题给条件求得正常数的值，得到分解率与时间月近似地满足的关系，再解方程即可求得这种垃圾完全分解大约所需要经过的月数．
【解答】
解：由题意得，，解之得，
则，
则由，可得，
两边取常用对数得，，
则．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，
，
在上是减函数，
在上恒成立，
即在上恒成立，
，，
，
设，则，
，，
要使成立，则有．
的取值范围是．
故选：．
求出，从而在上恒成立，进而，设，利用构造法能求出的取值范围．
本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，定义域为，
函数恰有个单调区间，
函数有两个不同的零点，
，解得且，
，
函数恰有个单调区间的充分不必要条件是或．
故选：．
由题意得，题意转化为函数有两个不同的零点，则，解得且，根据充分条件和必要条件的定义，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数、幂函数、对数函数和正弦函数的性质，是基础题．
由指数函数的单调性可知，再结合幂函数、对数函数、正弦函数的单调性逐个判断各个选项即可．
【解答】
解：实数，满足，
，
对于选项A：函数在上单调递增，所以，故A恒成立，
对于选项B：取，，则，故B不是恒成立，
对于选项C：，恒成立，恒成立，故C恒成立，
对于选项D：取，，则，故D不是恒成立，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：对于函数，
，．
又函数在上恰有两个最大值点，
，解得．
故选：．
根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得．
本题主要考查正弦函数在闭区间上的最大值，正弦函数的图象，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查抽象函数的应用，涉及函数的奇偶性、单调性与周期性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
利用赋值法及偶函数的性质，结合函数的周期性，对称性和单调性即可求解．
【解答】
解：令，得，则，
又函数是偶函数，故，故A正确；
根据可得，所以，
由，所以，
故直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；
由为偶函数，周期为，，且当时，是减函数，
可得函数在区间上存在个零点，故C不正确；
易得函数的图象关于直线对称，故，即，故D正确．
故选ABD．
13.【答案】
【解析】解：函数是定义在上的奇函数，
，解得，
当时，，其定义域为，
，满足为奇函数，
，
故答案为：．
由题意得，求得参数值，再进行检验即可．
本题考查函数的奇偶性的性质和应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分数指数幂和对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
进行对数和分数指数幂的运算即可．
【解答】
解：原式．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：，其中，．
则，
则，则．
故答案为：．
由辅助角公式得表达式，后可得答案．
本题考查了三角恒等变换及三角函数的定义，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设函数，，
则，令得：，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
又，故画出函数的图象如图所示，
存在实数，使函数恰有三个零点，
存在实数，使方程有三个实数根，
存在实数，使函数与的图象有个交点，
函数，结合函数的图象和函数单调递减，
，
当时，函数的图象如图所示：
显然存在实数，使函数与的图象有个交点，符合题意，
当时，函数的图象如图所示，
要存在实数，使函数与的图象有个交点，则，
解得：，
，
综上所述，的取值范围是：，
故答案为：．
设函数，求导数得到函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，由题意可知存在实数，使函数与的图象有个交点，由函数的图象可得，当时，画出函数的大致图象，可知存在实数，使函数与的图象有个交点，所以符合题意，当时，要存在实数，使函数与的图象有个交点，则，求出的取值范围，再取并集即可得到的取值范围．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．
17.【答案】解：由，得，
故集合；
由题可知，
若，即时，，
又，，无解；
若时，显然不合题意；
若，即时，，
又，，解得．
综上所述，．
【解析】由及对数函数的定义域，直接解分式不等式可求集合
要求集合，需要对与的大小进行讨论分，三种情况分别求解集合，然后根据集合，从而可求
本题主要考查了集合的相等的应用，解决本题的关键是要熟练掌握分式不等式与对数函数的定义，还要注意分类讨论的思想在解题中的应用，属基础题．
18.【答案】解：，
选择条件：由正弦定理知，，
，
，即，
由余弦定理知，，
，，
，，
当，即时，取得最大值．
选择条件：
，
，即，
，
，
，，
，，
当，即时，取得最大值．
【解析】根据两角差的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，
选择条件：利用正弦定理化角为边，结合余弦定理，求得，进而知的取值范围，再结合正弦函数的图象与性质，得解；
选择条件：根据同角三角函数的商数关系、两角和的正弦公式，可推出，进而知的取值范围，再结合正弦函数的图象与性质，得解．
本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正余弦定理、两角和差公式、二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元，
则
由，可得
，故从第年，该车运输累计收入超过总支出；
利润累计收入销售收入总支出，
二手车出售后，小张的年平均利润为
当且仅当时，等号成立
小张应当在第年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．
【解析】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于，即可得到结论；
利用利润累计收入销售收入总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．
20.【答案】解：因为，
所以，即，
由为三角形内角得，；
由余弦定理得，当且仅当时取等号，
所以，
的面积，即面积的最大值．
【解析】由已知结合正弦定理进行化简可求，进而可求；
由已知结合余弦定理及基本不等式可求的范围，然后结合三角形面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于基础题．
21.【答案】解：函数．
令，
解得，
所以函数的单调递减区间为，
由于，
所以，
所以，
故，
故函数的最小值为，函数的最大值为．
将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
所以函数在上所有零点之和，
即，
整理得，即，
故，即、、、．
故所有零点之和为．
【解析】首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调递减区间．
利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，在求出函数的最值．
首先利用三角函数关系式的平移变换的应用，求出函数的关系式，进一步利用函数的零点和方程之间的关系求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
22.【答案】解：函数的定义域为，，
当时，由，得，
当时，；当时，，
在上单调递减；在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增．
当时，在上单调递增；
证明：要证，即证，即证，
设，则．
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，也是最小值点，，
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
是的极大值点，也是最大值点，，
当时，，
前后取等号的条件不一致，，
综上，当时，．
【解析】对求导，然后分，两种情况讨论的单调性即可；
要证，即证，设，判断单调性，求出最值，再结合条件证明即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值和最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
第1页，共1页
