2023-2024学年安徽省百校大联考高三（上）月考数学试卷（一模）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ，都有 B. ，都有
C. ，都有 D. ，都有
3.已知角终边上有一点，则为( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
4.已知函数为的导函数，则的大致图象是( )
A. B. C. D.
5.如图，函数的部分图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，且的面积为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是( )
A. B. 函数的一个周期为
C. D. 函数的图象关于直线对称
7.定义在上的函数满足：对，，且都有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.如图是一块空旷的土地，准备在矩形区域内种菊花，区域内种桂花，区域内种茶花若面积是面积的倍，，，，则当取最小值时，菊花的种植面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是( )
A. B. C. D.
10.下列不等关系中判断正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的值域为
B. 若存在，，使得对都有，则的最小值为
C. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为
D. 若函数在区间上恰有个极值点和个零点，则的取值范围为
12.已知函数其中，下列说法正确的是( )
A. 存在使有个零点
B. 存在使有个零点
C. 不存在使有个零点
D. 若有个零点，则的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知锐角，满足，则 ______ ．
14.已知函数其中在处的切线为，则直线过定点的坐标为______ ．
15.已知中，，的角平分线交于点，且，则的面积为______ ．
16.已知正实数，满足，则的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，集合，全集为．
若，求；
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
将函数的图象向右平移个单位，再横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
19.本小题分
已知函数其中为偶函数．
求实数的值；
讨论函数的零点情况．
20.本小题分
已知函数，．
若函数恒成立，求实数的取值范围；
若函数，求函数的最大值．
21.本小题分
已知梯形中，，．
若，求的值；
若，设的面积为，求的最大值．
22.本小题分
已知函数．
当时，求函数的最小值；
讨论函数极值点的个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合或，
所以．
故选：．
解不等式求出集合，再求交集可得答案．
本题考查集合的运算，考查分式不等式的解法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据全称命题与存在性命题的关系，可得“，”的否定是“，都有．
故选：．
根据全称命题与存在性命题的关系，即可求解．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：角终边上有一点，即点，
，，且为第四象限角，故，
为第三象限角．
故选：．
由题意，根据终边相同角的定义即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，以及角在各个象限中的符号，终边相同的角，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，，恒成立，
即是增函数，当时，，即在上是增函数，
又是偶函数，
在上是减函数．
故选：．
，，，恒成立，从而得出的单调区间即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：当时，，即，所以，又因为，所以，解得，
由图可知，即，解得．
故选：．
由题意可知，得出点，即直角三角形的直角边，根据三角形的面积公式即可求出，再利用周期公式求．
本题主要考查了三角形的面积公式，正切函数的周期公式，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，
函数关于点中心对称，因此选项D不正确；
又因为函数为偶函数，所以，
由，
所以函数的周期为，所以选项B不正确；
因为函数是周期为的偶函数，
所以，因此选项A不正确；
在中，令，得，
因为函数的周期为，
，因此选项C正确，
故选：．
根据已知等式判断函数的对称性，结合偶函数的性质判断函数的周期，最后逐一判断即可．
本题主要考查抽象函数的奇偶性、周期性，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：不妨令，则等价于，即，
构造函数，则，
所以在上单调递增，
所以不等式，即，即，
所以，则，解得．
故选：．
构造函数，由题意可得在上单调递增，从而将不等式进行转化，求解即可．
本题主要考查函数单调性的判断，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为面积是面积的倍，
设，
由题意，可得，
在中，，
在中，，
故，
所以，当时，即时取“”，
所以，
所以当取最小值时，菊花的种植面积．
故选：．
由题意设，则，利用余弦定理，基本不等式可求，可得，当时取“”，进而利用矩形的面积公式即可求解．
本题主要考查了余弦定理以及基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意可得：满足条件的有两个，可得．
故选：．
根据即可求解．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，故选项A正确；
对于，，即证，
设，令，得，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
，故选项B正确；
对于，易知，，
，故选项C错误；
对于，，
由选项B可知，即，故选项D正确，
故选：．
对于，不等式左右两侧分别与比较即可；对于，构造，求其单调性即可判断大小；对于，不等式左右两侧分别与比较即可；对于项，利用选项B的结论即可判断大小．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造函数的数学思想，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，
，
对于选项A，显然的值域为，故A正确；
对于选项B，由题意可知为的最小值，为的最大值，
故的最小值为，故B错误；
对于选项C，当时，，
由题意可得，
解得，即，故C正确；
对于选项D，当时，，
由题意可得，解得，故D正确．
故选：．
化简，再结合正弦函数的性质判断各个选项即可．
本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于中档题
12.【答案】
【解析】解：当时，，，令，得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
在处取得极大值，；
当时，，显然，令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在时，取得极小值，，
又趋向于时，趋向于，时，不存在；
所以函数的图象如下图：
令，则，
若关于的方程仅有一解，则，
当时，令，求得，
由图可知时，仅有一解，
当时，求得，由图可知有解，故选项A正确；
若关于的方程有两解，则或，不妨令，
则，即，必定同号并且都不为，
若使原函数有个零点，情况如下：
或，此种情况与矛盾；
，此种情况与矛盾；
；
．
若情况成立，即，故选项B正确；
情况无需再考虑；
若原函数有个零点，则必有，
则的两根分别落在和，函数的图像应该如下图：
，可得，故选项C错误；
若原函数有个零点，则，函数的图像应该如下图：
，可得，故选项D正确；
故选：．
先通过导数画出函数的图像，再将零点问题转化为二次函数零点问题求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和函数的零点，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属难题．
13.【答案】
【解析】解：已知锐角，满足，
则．
故答案为：．
根据和差公式和同角三角函数基本关系化简求值即可．
本题考查了两角和差公式和同角三角函数基本关系，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：函数在处有切线，切点为，
又，故切线斜率为，
直线的方程为，即，
该直线过定点的坐标为．
故答案为：．
利用导数的几何意义求出切线方程，从而可求出其过的定点．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查直线系方程的应用，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为中，的角平分线交于点，且，
所以由内角平分线定理可得：，
因为，且，
所以，
即，
即，解得，
所以．
故答案为：．
由三角形的内角平分线定理可得，再由等面积法可求得，再由三角形的面积公式即可求得．
本题考查三角形中的几何计算，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意可得：，即，
设，
则：，，
，
，，，，
解得或，
又，
，化简得，
当时，不等式不成立；
当时，，即，
，又恒成立，可得，
的取值范围为．
故答案为：．
设，结合立方和公式得出，由，解关于的不等式，再利用基本不等式，再解关于的不等式得出结果．
此题考查了基本不等式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由题意知，当时，，
又，所以，
所以或．
若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，
，
当时，集合，满足题意；
当时，集合，
所以，解得，即，
又时，，符合是的真子集，
所以；
当时，集合，
所以，解得，即，
又时，符合是的真子集，
所以．
综上，实数的取值范围是．
【解析】化简集合，根据补集与交集的运算性质即可得答案；
根据题意可得，结合一元二次不等式的解集讨论集合的取值情况即可得实数的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题．
18.【答案】解：根据函数的部分图象，
可得，，．
再根据五点法作图可得，可得，
将函数的图象向右平移个单位，可得的图象；
再横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象；
最后将图象向上平移个单位，的图象．
在区间，，，．
故函数在区间上的值域为．
【解析】由函数的图象的顶点坐标求出，由特殊点坐标求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
由题意，根据函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
19.【答案】解根据题意，函数，其定义域为，
若函数是偶函数，则有，
即，
变形可得：，
必有；
根据题意，函数的零点情况等价于方程的解的情况，
即，
令，则，，
当时，，此时方程无解；
当时，函数开口向上，且恒过定点，
则只有一解，此时方程只有一解；
当时，函数开口向下，且恒过定点，
函数的对称轴，此时方程无解．
综上，当时函数无零点，当时函数有一个零点．
【解析】根据偶函数的性质进行求解即可；
把零点问题转化为方程解问题，利用换元法，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的零点，属于中档题．
20.【答案】解：，，，
，即，即，
，解得，
或，
故的取值范围为或；
由题意得，
设，
函数，
则，
令且，解得，
又，则最大，
函数的最大值为．
【解析】由题意得，结合正弦函数性质求解，即可得出答案；
设，原函数化为，利用导数求极值、端点值，并比较大小，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：在中，，，，
由余弦定理得，，
又，，，，又，
在中，由正弦定理得，即，；
令角，则，
的面积，
又，由于，则，
，
又在中，，
，，
当时，取得最大值为，即的最大值为．
【解析】在中，利用余弦定理求出的长，再在中利用正弦定理即可求出的值；
令，分别用表示的面积和，转化为关于的三角函数求最值即可．
此题考查正余弦定理的应用，以及利用三角函数求最值，属于中档题．
22.【答案】解：函数的定义域为，
当时，，
记，故，
单调递增，又，
在，，函数单调递减，
在，，函数单调递增，
故．
根据题意：，，记，
，
当时，，可得函数为单调递增函数，
又，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数只有一个极值点；
当时，令，，
，，所以，
，是单调递增函数，
又，，
存在唯一，使得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数的最小值为，
再令，
，
，，，，，，
，，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，
由，
当时，，
此时恒成立，从而函数没有极值点；
当时，；
那么，当，可取，从而满足，
且，
当，可取，从而满足，
且，
，
此时函数在区间存在一个极大值点，在区间存在一个极小值点．
因此函数有两个极值点．
综上，当时，函数无极值点；
当时，函数有一个极值点；
当时，函数有两个极值点．
【解析】利用导数判断函数的单调性，进而求出最小值；讨论函数极值点的个数，就是转化为讨论函数的导数的变号零点的个数．
本题涉及含参的函数零点问题，需利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题，属难题．
第1页，共1页
