专题2.4等边三角形的性质与判定大题专练（培优压轴篇）
班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________
一、解答题
1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得，结合（1）中的结论可得，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
（2）是直角三角形．理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（3）∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
，
∴．
①当时，，
∴．
②当时，，
∴．
③当时，，
∴．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）是等边三角形，点D是边上动点，，把沿对折，得到．
(1)如图1，若，则_______°．
(2)如图2，点P在延长线上，且．
①连接，试探究，，之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②连接，若，C，P三点共线，，，求的长．
【答案】(1)30
(2)①，理由见解析；②8
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据折叠的性质得出，进而得出，即可求解；
（2）①连接，在上取一点，使，通过证明，得出，，则，推出是等边三角形，即可得出结论；
②通过证明，得出，求出，则，最后根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：30；
（2）解： ①，理由如下：
如图，连接，在上取一点，使，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
即；
②如图，
∵点、C、P在同一直线上，
即，
由折叠知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题关键．
3．（2022秋·浙江台州·八年级校联考期中）已知：如图所示，是边长的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts．
(1)当t为何值时，为等边三角形？
(2)当t为何值时，为直角三角形？
【答案】(1)当时，为等边三角形；
(2)当t为或时，为直角三角形．
【分析】（1）根据等边三角形的判定得：，列等式可得t的值；
（2）分两种情况：当时，，则，②当时，，则，分别求出t的值．
【详解】（1）解：由题意可知，则，
当为等边三角形时，
则有，即，
解得，
即当时，为等边三角形；
（2）解：当时，
∵，
∴，
∴在中，，
即，
解得；
当时，
同理可得，
即，
解得，
综上可知当t为或时，为直角三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及判定和直角三角形的性质，利用t表示出和，化“动”为“静”，是解题的关键．
4．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）【基础巩固】
（1）如图1，作三角形中的角平分线与的外角平分线交于点D，证明．
【尝试应用】
（2）如图2，在等边三角形中，D，E分别是边的点，且满足，连接，交于点M．作，的角平分线，交于点N．
①证明；
②求的度数．
【拓展提高】
（3）在（2）的条件下，连接，如图3，当，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②；（3）．
【分析】（1）延长到T．设，，利用三角形的外角的性质，构建方程组可得结论；
（2）①根据证明三角形全等即可；
②利用（1）中结论解决问题即可；
（3）分别求出，可得结论．
【详解】（1）证明：延长到T．设，，
，
则有，
∴，
∴；
（2）①证明：如图2中，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴；
②解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
由（1）可知；
（3）解：如图，
∵．，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，平分，
∴平分，
∵，平分，
∴，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
5．（2023秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在等边的边，上各取一点，，，相交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证得结论
（2）利用全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质得到．
【详解】（1）证明：在等边中，，
在与中，
，
；
（2），
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形外角性质是解题的关键．
6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）等边三角形，理由见解析
【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形得到；
（2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论；
（3）根据，得到，，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案．
【详解】解：（1）．理由：如图1，
直线，直线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）（1）中结论成立，
理由如下：如图2，，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）结论：是等边三角形．
理由：如图3，由（2）可知，，
，，
和均为等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
为等边三角形．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知等边的边长为，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点M的速度，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)当点N第一次到达B点时，点M的位置在______；当M、N运动______秒时，点N追上点M；
(2)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【答案】(1)中点，6
(2)存在，运动的时间是时．得到以为底边的等腰三角形
【分析】（1）求出运动的路程即可判断的位置，由题意得：，求出的值即可；
（2）列出关于的方程，求出的值，即可解决问题．
【详解】（1）当点第一次到达点时，
，
运动了，
点的位置在中点；
当点追上点时，
由题意得：，
，
当、运动6秒时，点追上点，
故答案为：中点，6．
（2）如图，，
作于，
，，
，
，
，
、运动的时间是时．得到以为底边的等腰三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，关键是由题意得到关于的方程．
8．（2023秋·浙江·八年级专题练习）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点．
(1)如图1，若点恰好落在边上，判断的形状，并证明；
(2)如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数；
(3)若，当是直角三角形时，直接写出的长．
【答案】(1)是等边三角形；见解析
(2)；
(3)的长是或
【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；
（2）根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；
（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到的长度．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
由折叠可得，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：由折叠可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴；
（3）解：的长是或，理由如下：
当时，点在内（如图所示）
∵，
∴，
∴
由折叠得，
∴，
∴，
∴；
当时，点在外，
同理可得，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．
9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）在中，，，是边上的高，点E为直线上点，且．
(1)如图1，当点E在边上时，求证：为等边三角形；
(2)如图2，当点E在的延长线上时，求证：为等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明为等边三角形，得到，再由三线合一定理得到，进而推出，由此即可证明结论；
（2）同理可得，进而利用等边对等角和三角形外角的性质得到，再根据三线合一定理得到，则，即为等腰三角形．
【详解】（1）证明：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
（2）证明：同（1）可知，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，即为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
10．（2023·浙江·八年级假期作业）已知在等边中，点是边上一点，点是延长线上一点，．
(1)如图1，如果点是的中点，说明；
(2)如图2，如果点是上任意一点（不与点、重合），还成立吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，进而可得，由三线合一可得，，再根据等边对等角可得，利用三角形内角和定理求得，利用等角对等边，即可出结论；
（2）过点作，根据平行线的性质及等边三角形的判定和性质得到角之间的关系，证明，即可得到结论．
【详解】（1）解： 是等边三角形，
，
，
点是的中点，
，，
，
，
，
，
．
（2）解：成立，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
．
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，补角的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
11．（2023秋·浙江·八年级专题练习）在中，，点D为线段BC上一个动点（不与B、C重合），以为一边向的左侧作，使，，过点E作的平行线，交直线于点F，连接．
(1)如图1，若，判断的形状并说明理由；
(2)若，如图2，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)为等边三角形，理由见解析
(2)为等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）证明，得到，根据，得到，即可得出结论；
（2）证明，得到，根据，得到，即可得出结论．
【详解】（1）为等边三角形，理由如下：
∵，，，
∴和为等边三角形，
∴，，组合，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴为等边三角形，
（2）是等腰三角形；
理由如下：
∵，
∴，
即：．
∵，，
∴，
∴，又由得：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（等角对等边），
∴为等腰三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键．
12．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，点为内一点，且．
(1)求证：；
(2)，为延长线上的一点，且．
①求证：平分；
②若点在上，且，请判断、的数量关系，并给出证明；
【答案】(1)见详解
(2)①见详解；②见详解
【分析】（1）由线段垂直平分线的判定可得结论；
（2）①由“”可证，可得，可求，可得结论；
②由“”可证，可得；
【详解】（1）证明：，，
垂直平分线段，
；
（2）①证明：，
，
又，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
平分；
②解：结论：，
理由：连接，
，，
为等边三角形，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
13．（2023秋·浙江·八年级专题练习）在中，，以为边向外作等边和等边．
(1)如图1，连接，与相交于点O．
①说明的理由．
② °．（直接填答案）
(2)如图2，过D做的垂线，垂足为H，连接，交于点F，与相等吗？为什么？
【答案】(1)①证明见解析；②120
(2)相等，理由见解析
【分析】（1）①根据等边三角形的性质及角的和差，再利用证明，即可证明；②设交于点P，由全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等和三角形内角和定理可求出，进而求解即可；
（2）先证明，再证明，即可求证．
【详解】（1）①∵和为等边三角形，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
②设交于点P，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
，
故答案为：120；
（2）相等，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，对顶角相等，三角形内角和定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
14．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，C为线段上一动点（点C不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O．
(1)求证：；
(2)求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用证明，得；
（2）结合（1）可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：、是等边三角形，
∴，，，
，
∴，
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
15．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）（1）如图1，，，，，垂足分别为D、E， 请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（1）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，D、A、E三点在直线m上（D、A、E三点互不重合），和均为等边三角形，连接、，若，求证：，．
【答案】（1）（2）成立，证明见解析（3）见解析
【分析】（1）根据，，推得，根据，可得，推得．根据全等三角形的判定和性质即可求得，，即可得到；
（2）根据三角形内角和可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，即可得到；
（3）根据等边三角形的性质可得，，，推得，根据三角形内角和可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，即可求得．
【详解】解：（1），
理由：∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
（2）（1）中的猜想还成立，
证明：∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
（3）证明：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，等边三角形的性质等，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
16．（2023·浙江·八年级假期作业）已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接．
(1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________；
(2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明．
【答案】(1)
(2)图②猜想：．图③猜想：，见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再由各角之间的关系确定，根据全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）根据图象对图②③作出猜想即可；过点D作，交于点G，根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质得出 ，，结合图形即可证明．
【详解】（1）证明：∵点F与点A重合，
∴与都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）图②猜想：．
图③猜想：．
图③证明：过点D作，交于点G，如图．
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，．
∴为等边三角形．
∴．
∵为等边三角形，
∴，．
∵，即，
∴ ．
∴．
∵，
∴．
【点睛】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
17．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系．
(1)如图，当点在边、上，且时，试说明．
(2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？
答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”．
(3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)一定成立
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，进而得到，证明，得到，根据含的直角三角形的性质证明结论；
（2）延长至，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案；
（3）在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
在中，，
，
同理可得，，
；
（2）解：一定成立，
理由如下：如图，延长至，使，连接，
，
由（1）可知：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：一定成立；
（3）解：如图，在上截取，连接，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
(1)【理解概念】
顶角为120°的等腰三角形_____________“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
(2)【巩固新知】
已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数．
(3)【解决问题】
如图，在中，，，，点在边上，若是“准等边三角形”，求的长．
【答案】(1)不是
(2)或
(3)的长为或或
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出等腰三角形的两个底角，然后根据“准等边三角形”的定义，即可解答；
（2）分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算即可解答；
（3）在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，然后分三种情况：当点与点重合时；当时；当时；最后分别进行计算即可解答．
【详解】（1）∵等腰三角形的顶角为，
∴等腰三角形的两个底角度数分别为，
∵，，
∴顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”；
（2）∵是“准等边三角形”，，
∴分两种情况：
当时，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的度数为或；
（3）∵，
∴，
∵是“准等边三角形”，
∴分三种情况：
当时，，
∵，
∴点与点重合，
∴
当时，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
当时，
过点D作，垂足为E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设,
在中，，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上所述：的长为或或．
【点睛】本题考查了含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分情况讨论是解题的关键．
19．（2022秋·上海杨浦·八年级统考期中）如图，已知和都是等边三角形，点、、在同一直线上，延长交边于点，联结、．
(1)试说明 的理由；
(2)延长交于点，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】（1）证是等边三角形，得，，再证，则，然后证，进而证 ；
（2）由全等三角形的性质得，再证，即可得出结论．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
即，
，
即，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）得： ，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（2023春·广东·八年级统考期末）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．
(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)3
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由等边三角形的性质得到，然后证，得出即可得出结论；
（2）过点E作，交于点F，证出为等边三角形，得出，再证，得出，即可得出结论；
（3）点E在延长线上时，作，同（2）得出为等边三角形，，则，，即可得出答案．
【详解】（1），
理由如下： ，
，
三角形为等边三角形，
，
点E为的中点，
，，
，
，
，
，
，
；
（2），
理由如下：过点E作，交于点F，
则，，，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）点E在延长线上时，作，
同（2）可得则为等边三角形，
如图所示，同理可得，
∵，，
∴，
，
∵，
则．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．（2023·福建·模拟预测）如图，是等边三角形，是边上一点，在右侧作，且，连接，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若是等边外一点，且与点都在直线同侧，若，连接，画出图形，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)当点在右侧时，；当点在左侧时，，理由见详解
【分析】（1）是等边三角形，，，可证，由此即可证；
（2）如图所示（见详解），当点在右侧时，当点在左侧时，
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形；
（2）解：如图所示，当点在右侧时，．
证明：在上取点，使，连结，设与交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴；
如图，当点在左侧时，．
在上取点，使，连接，同理可得，
∴，，同理可得为等边三角形，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键．
22．（2023秋·山东日照·九年级校考阶段练习）与都是等边三角形，连接AD、BE．
（1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则______度；
（2）将图①中的绕着点C逆时针旋转到如图②的位置，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据是等边三角形及点B、C、D在同一条直线上即可求解；
（2）证明即可求解．
【详解】解：（1）∵是等边三角形，
∴，
∵点B、C、D在同一条直线上，
∴，
∴
（2）∵与都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE +∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在与中，
，
∴，
∴BE=AD．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
23．（2022秋·北京·八年级北京市十一学校校考阶段练习）如图，在等边中，点是线段上一点．作射线，点关于射线的对称点为．连接并延长，交射线于点．
(1)根据题意，补全图形；
(2)设，求的度数用表示；
(3)用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）依照题意画出图形即可；
（2）根据，求出即可；
（3）结论：，如图，作交于点，连接，证明即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：连接，
点关于射线的对称点为，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（3）解：结论：，
证明：如图，作交于点，连接，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
点关于射线的对称点为，
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在中，，在的延长线上取点，在上取点、，连接、，交于点，已知．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，连接，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长至点，连接，使，且，若，求长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)10．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出，再根据以及三角形外角性质，得出，即可得到；
（2）先判定是等边三角形，再过点作，交于点，则为等边三角形，进而得出，，，再根据，可得，进而得到；
（3）先根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，得出，再根据是等边三角形，且，得出，进而判定，得到，再判定，即可得出．
【详解】（1）证明：如图1，∵，
，
，
，
又，，
，
；
（2）证明：，，
，
，
又，
，即是等边三角形，
如图2，过点作，交于点，则为等边三角形，
，，，
，
又，
，
；
（3）解：如图3，，
，
又∴，
，，
，
是等边三角形，且，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了请点击三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．（2023秋·吉林·八年级校考期末）【感知】如图①，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且．若，则的大小是______度；
【探究】如图②，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且．求证：；
【应用】若是边的中点，且，其它条件不变，如图③所示，则四边形的周长为______．
【答案】；证明见解析；
【分析】【感知】根据等边三角形的性质可知，求得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数；
【探究】根据等边三角形的性质可知，推得，根据三角形的外角性质可推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明；
【应用】根据等边三角形的性质可知，，推得，根据全等三角形的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，即可求出四边形的周长．
【详解】【感知】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【探究】证明：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
在△BED和中，
，
∴，
∴；
【应用】解：∵是等边三角形，，
∴，，
∵是的中点，，
∴，
由探究可知，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
26．（2022秋·北京海淀·八年级清华附中校考期中）在等边中，为直线上一动点，以为边在的右侧作等边，连．
(1)如图1，若点D在线段上，求证：；
(2)若，，直接写出的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为4或10
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）分两种情况画出图形，结合（1）的结论可得答案．
【详解】（1）证明：如图1中，
，为等边三角形，
，，，
，
即，
，
；
（2）解：①在边上，如图：
为等边三角形，
，
由（1）知，
，
②在左侧时，如图：
同理可证，
，
，
综上所述，的长为4或10．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明．
27．（2023秋·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，点C是线段上除点A、B外的任意一点，分别以、为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于M，连接交于N，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
(3)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解；
(3)是等边三角形，证明见详解
【分析】（1）先由和是等边三角形，可知，，，，故可得出，，根据可证得，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）中，可得到，由和是等边三角形，，，根据可证的，即可得到，
（3）根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可判断．
【详解】（1）∵和是等边三角形，
∴，，，，
∵，
∴，，
在与中，，
∴，
∴；
（2）∵由（1）得，
∴，
∵，而A、C、B三点共线，
∴，
在与中，，
∴，
∴；
（3）为等边三角形，理由如下：
∵，，
∴为等边三角形．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键．
28．（2021秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：是等边三角形，点在边上，点在边上，且，连接、相交于点，过点作，垂足为．
(1)证明：
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，和关于直线对称（点的对称点是点），与相交于点，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）通过证明，即可求证；
（2）根据，得出，根据三角形的外角定理推出，则，得出，即可求证；
（3）设，推出，，则，设，，，推出，则，根据，推出，最后根据，求出，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，，，
，
；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，
，
∴，，
∵，
，
设，，，
，则，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理，含角直角三角形的特征，解题的关键是熟练掌握相关性质定理并熟练运用．
29．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，已知线段、，分别以、为边作等边三角形与，直线、交于点F，
(1)如图1，若点A、C、B在一条直线上，请直接写出的度数；
(2)如图2，改变C点位置，使点E与点F恰好重合，此时的度数是否与（1）中结论一致？说明理由；
(3)改变C点位置，得到如图3，连接，试求的度数．
【答案】(1)
(2)一致，理由见解析
(3)
【分析】（1）求出，证明，可得，然后求出，再利用三角形内角和定理计算的度数即可；
（2）求出，证明，可得，再根据结合三角形内角和定理得出；
（3）由（2）同理可证：，，过点C作于M，于N，证明，可得平分，然后根据进行计算即可．
【详解】（1）解：∵与为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，即，
∴；
（2）的度数与（1）中结论一致；
理由：如图，∵与为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）由（2）同理可证：，，
∴，
过点C作于M，于N，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定等性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
30．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）能力形成探究课上，某班小组在讨论以下问题：在等边中，点是直线上的一个点（不与点、重合），以为边在右侧作等边，连接，请解决以下问题：
(1)某小组成员根据题干画出图形如图1所示，那么线段与的数量关系是______，若，那么的度数为______.
(2)如图2，当点在线段的反向延长线上时，若，求的度数（用含的代数式表示），并写出过程；
(3)如图3，当点在线段的延长线上时，若，那么的度数为______．
【答案】(1)，
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）证明，可得，，，然后求出，进而可得的度数；
（2）设交于O，证明，可得，求出，再根据三角形内角和定理计算的度数即可；
（3）求出，可得，然后根据进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：如图2，设交于O．
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵，都是等边三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
专题2.4等边三角形的性质与判定大题专练（培优压轴篇）
班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________
一、解答题
1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，是等腰三角形．
2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）是等边三角形，点D是边上动点，，把沿对折，得到．
(1)如图1，若，则_______°．
(2)如图2，点P在延长线上，且．
①连接，试探究，，之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②连接，若，C，P三点共线，，，求的长．
3．（2022秋·浙江台州·八年级校联考期中）已知：如图所示，是边长的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts．
(1)当t为何值时，为等边三角形？
(2)当t为何值时，为直角三角形？
4．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）【基础巩固】
（1）如图1，作三角形中的角平分线与的外角平分线交于点D，证明．
【尝试应用】
（2）如图2，在等边三角形中，D，E分别是边的点，且满足，连接，交于点M．作，的角平分线，交于点N．
①证明；
②求的度数．
【拓展提高】
（3）在（2）的条件下，连接，如图3，当，求的度数．
5．（2023秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在等边的边，上各取一点，，，相交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；
（2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由．
7．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知等边的边长为，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点M的速度，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)当点N第一次到达B点时，点M的位置在______；当M、N运动______秒时，点N追上点M；
(2)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
8．（2023秋·浙江·八年级专题练习）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点．
(1)如图1，若点恰好落在边上，判断的形状，并证明；
(2)如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数；
(3)若，当是直角三角形时，直接写出的长．
9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）在中，，，是边上的高，点E为直线上点，且．
(1)如图1，当点E在边上时，求证：为等边三角形；
(2)如图2，当点E在的延长线上时，求证：为等腰三角形．
10．（2023·浙江·八年级假期作业）已知在等边中，点是边上一点，点是延长线上一点，．
(1)如图1，如果点是的中点，说明；
(2)如图2，如果点是上任意一点（不与点、重合），还成立吗？请说明理由．
11．（2023秋·浙江·八年级专题练习）在中，，点D为线段BC上一个动点（不与B、C重合），以为一边向的左侧作，使，，过点E作的平行线，交直线于点F，连接．
(1)如图1，若，判断的形状并说明理由；
(2)若，如图2，判断的形状，并说明理由．
12．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，点为内一点，且．
(1)求证：；
(2)，为延长线上的一点，且．
①求证：平分；
②若点在上，且，请判断、的数量关系，并给出证明；
13．（2023秋·浙江·八年级专题练习）在中，，以为边向外作等边和等边．
(1)如图1，连接，与相交于点O．
①说明的理由．
② °．（直接填答案）
(2)如图2，过D做的垂线，垂足为H，连接，交于点F，与相等吗？为什么？
14．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，C为线段上一动点（点C不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O．
(1)求证：；
(2)求．
15．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）（1）如图1，，，，，垂足分别为D、E， 请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（1）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，D、A、E三点在直线m上（D、A、E三点互不重合），和均为等边三角形，连接、，若，求证：，．
16．（2023·浙江·八年级假期作业）已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接．
(1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________；
(2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明．
17．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系．
(1)如图，当点在边、上，且时，试说明．
(2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？
答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”．
(3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
18．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
(1)【理解概念】
顶角为120°的等腰三角形_____________“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
(2)【巩固新知】
已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数．
(3)【解决问题】
如图，在中，，，，点在边上，若是“准等边三角形”，求的长．
19．（2022秋·上海杨浦·八年级统考期中）如图，已知和都是等边三角形，点、、在同一直线上，延长交边于点，联结、．
(1)试说明 的理由；
(2)延长交于点，求的度数．
20．（2023春·广东·八年级统考期末）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“＞”、“＜”或“＝”）．
(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．
(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）．
21．（2023·福建·模拟预测）如图，是等边三角形，是边上一点，在右侧作，且，连接，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若是等边外一点，且与点都在直线同侧，若，连接，画出图形，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
22．（2023秋·山东日照·九年级校考阶段练习）与都是等边三角形，连接AD、BE．
（1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则______度；
（2）将图①中的绕着点C逆时针旋转到如图②的位置，求证：．
23．（2022秋·北京·八年级北京市十一学校校考阶段练习）如图，在等边中，点是线段上一点．作射线，点关于射线的对称点为．连接并延长，交射线于点．
(1)根据题意，补全图形；
(2)设，求的度数用表示；
(3)用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．
24．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在中，，在的延长线上取点，在上取点、，连接、，交于点，已知．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，连接，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长至点，连接，使，且，若，求长．
25．（2023秋·吉林·八年级校考期末）【感知】如图①，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且．若，则的大小是______度；
【探究】如图②，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且．求证：；
【应用】若是边的中点，且，其它条件不变，如图③所示，则四边形的周长为______．
26．（2022秋·北京海淀·八年级清华附中校考期中）在等边中，为直线上一动点，以为边在的右侧作等边，连．
(1)如图1，若点D在线段上，求证：；
(2)若，，直接写出的长度．
27．（2023秋·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，点C是线段上除点A、B外的任意一点，分别以、为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于M，连接交于N，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
(3)判断的形状，并说明理由．
28．（2021秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：是等边三角形，点在边上，点在边上，且，连接、相交于点，过点作，垂足为．
(1)证明：
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，和关于直线对称（点的对称点是点），与相交于点，若，，求的长．
29．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，已知线段、，分别以、为边作等边三角形与，直线、交于点F，
(1)如图1，若点A、C、B在一条直线上，请直接写出的度数；
(2)如图2，改变C点位置，使点E与点F恰好重合，此时的度数是否与（1）中结论一致？说明理由；
(3)改变C点位置，得到如图3，连接，试求的度数．
30．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）能力形成探究课上，某班小组在讨论以下问题：在等边中，点是直线上的一个点（不与点、重合），以为边在右侧作等边，连接，请解决以下问题：
(1)某小组成员根据题干画出图形如图1所示，那么线段与的数量关系是______，若，那么的度数为______.
(2)如图2，当点在线段的反向延长线上时，若，求的度数（用含的代数式表示），并写出过程；
(3)如图3，当点在线段的延长线上时，若，那么的度数为______．
