2023-2024学年沪教新版九年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．已知关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥3 B．a＞3 C．a≤3 D．a＜3
2．如图，AB∥CD，AC、BD相交于点E．AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，下列各式不正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．下列等式正确的有（ ）
①+＝+；
②（+）+＝+（+）；
③+（﹣）＝0；
④+＝．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．若二次函数y＝x2+4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n的值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
6．如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在AC边上（不与点A，C重合），DE与AB相交于点F，则下列结论不正确的是（ ）
A．△BCD∽△BEF B．△BCD∽△DAF C．△BDF∽△BAD D．△BCD∽△BDE
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．当x 时，等式成立．
8．科学家发现，某种蝴蝶身体的长度AB与它展开的双翅之间的长度AD之间是黄金比．如图，蝴蝶展开的双翅之间的长度AD是4cm，则蝴蝶身体的长度为 cm．
9．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝5，DE＝2，AC＝15，则EF＝ ．
10．如果向量、、满足关系式2﹣3（+）＝，那么用向量、表示向量＝ ．
11．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2的顶点坐标是 ．
12．已知，抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）上有两点P（t，y1）和Q（t+3，y2）．
（1）此抛物线的对称轴是 ．
（2）若y1＞y2，则t的取值范围是 ．
13．如图，已知点M（a，b）是函数y＝﹣x2+x+2图象上的一个动点．若|a|＜1，则b的取值范围是 ．
14．如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点D在边BC上，点E在边AC上，且＝，则：
（1）∠ADE＝ °；
（2）线段CE的最大值为 ．
15．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，D，E分别为边AB和AC的中点，现将△ADE绕点A自由旋转，如图2，设直线BD与CE相交于点P，当AE⊥EC时，线段PC的长为 ．
16．化简：3（2）﹣5（）＝ ．
17．如图，△ABC∽△CBD，AB＝4，BD＝6，则BC＝ ．
18．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝3，AD是BC边上的中线（如图）．将△ABC绕着点C逆时针旋转，使点A落在线段AD上的点E处，点B落在点F处，边EF与边BC交于点G，那么DG的长是 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（1）如图，已知平面内两个不平行的向量，求作向量OP，使OP＝
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）；
（2）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点G是△ABC的重心，BA＝，BC＝，试用向量表示向量AG．
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式．
（2）在图中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象直接写出函数值y≥3时，自变量x的取值范围．
21．二次函数f（x）＝ax2+bx+c的自变量x的取值与函数y的值列表如下：
x … ﹣2 ﹣1 0 … 2 3 4 …
y＝f（x） … ﹣5 0 3 … 3 0 ﹣5 …
（1）根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；
（2）请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图象的顶点落在直线y＝x上，并写出平移后二次函数的解析式．
22．如图，∠ACB＝∠CED＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝3，BC＝4，求ED的长．
23．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，S△AOD＝S△BOC．
（1）求证：＝；
（2）设△OAB的面积为S，＝k，求证：S四边形ABCD＝（k+1）2S．
24．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”，例如：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C＝115°．
（1）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，求对角线AC的长；
（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线过点A、C，点P在抛物线y＝ax2+bx+c上，满足∠APC＝∠ADC的点至少有3个时，总有不等式2n﹣成立，求n的取值范围．
25．如图，正方形ABCD的边长是6，E，F分别是直线BC，直线CD上的动点，当点E在直线BC上运动时，始终保持AE⊥EF．
（1）求证：Rt△ABE∽Rt△ECF；
（2）当点E在边BC上，四边形ABCF的面积等于20时，求BE的长；
（3）当点E在直线BC上时，△AEF和△CEF能相似吗？若不能，说明理由，若能请直接写出此时BE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．解：∵y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，
∵在x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴≥﹣1，
解得a≤3，
故选：C．
2．解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
即＝，
∴BE＝，
∴BD＝BE+DE＝+3＝．
故选：C．
3．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故选项A正确，不符合题意，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∴，故选项D错误，符合题意；
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴，
∴，故选项C正确，不符合题意；
故选：D．
4．解：① +＝+，正确；
②（+）+＝+（+），正确；
③+（﹣）＝0，错误应该等于；
④+＝．正确．
故选：B．
5．解：根据题意得△＝42﹣4n＝0，
解得n＝4，
故选：C．
6．解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠EBD＝∠A＝∠C＝∠E＝∠EDB＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△BCD∽△BEF，故选项A不合题意；
∴∠BDC＝∠BFE，
∴∠BDC＝∠AFD＝∠BFE，∠ADB＝∠BFD，
又∵∠C＝∠A，
∴△BCD∽△DAF，故选项B不合题意，
∵∠ADB＝∠BFD，∠A＝∠BDE＝60°，
∴△BDF∽△BAD，故选C不合题意，
故选：D．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．解：∵＝，
而等式成立，
∴x≠0．
故答案为≠0．
8．解：由题意得，AB：4＝，
解得：x＝2﹣2≈2.5（cm），
故答案为：2.5．
9．解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝5，DE＝2，AC＝15，
∴＝，
解得：DF＝6，
∴EF＝DF﹣DE＝4，
故答案为：4．
10．解：∵2﹣3（+）＝，
∴2﹣3﹣3＝，
∴3＝2﹣3
∴＝﹣．
故答案为： ﹣．
11．解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣2的顶点坐标是（3，﹣2）．
故答案为（3，﹣2）．
12．解：（1）∵抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0），
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；
（2）∵抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）中，m＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝mx2+2mx+n（m＞0）上有两点P（t，y1）和Q（t+3，y2），且y1＞y2，
∴＜﹣1，
解得t＜﹣，
故答案为：t＜﹣．
13．解：函数y＝﹣x2+x+2中，令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣1或2，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），
∵点M（a，b）是函数y＝﹣x2+x+2图象上的一个动点．|a|＜1，
∴﹣1＜a＜1，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，有最大值，
∴b的取值范围是0＜b≤，
故答案为0＜b≤．
14．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵，
∴△ABD∽△DCE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠ADE＝∠B＝60°，
故答案为：60；
（2）∵，
∴CE＝＝＝，
∴当BD＝时，CE有最大值为，
故答案为：．
15．解：∵△ADE绕点A自由旋转，
∴有以下两种情况：
①当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，如图：
由旋转的性质得：∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC＝2，D，E分别为边AB和AC的中点，
∴AD＝AE＝1，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEC＝90°，
∴四边形AEPD为矩形，
又AD＝AE＝1，
∴矩形AEPD为正方形，
∴PE＝AE＝1，
在Rt△AEC中，AE＝1，AC＝2，∠AEC＝90°，
由勾股定理得：，
∴；
②当点E在AC的右侧时，AE⊥CE，如图：
同理可证：△ABD≌△ACE（SAS），四边形AEPD为正方形，
∴BD＝CE，PE＝AE＝1，
在Rt△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠ADB＝90°，
由勾股定理的：，
∴，
∴．
综上所述：当AE⊥EC时，线段PC的长为或．
答案为：或．
16．解：3（2）﹣5（）
＝6﹣5
＝﹣17．
故答案为﹣17．
17．解：∵△ABC∽△CBD，
∴，
∴CB2＝AB BD＝24，
∵CB＞0，
∴，
故答案为：．
18．解：如图，过点C作CH⊥AD于H，过点D作DN⊥EF于N，
∵∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝3，
∴BC＝＝＝，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD＝CD＝BD＝，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°＝∠CHA，
∴∠DAC+∠ACH＝90°＝∠DCA+∠B，
∴∠B＝∠ACH，
∴sinB＝sin∠ACH＝，
∴AH＝＝＝，
∵tanB＝tan∠ACH＝＝，
∴CH＝3AH＝，
∵将△ABC绕着点C逆时针旋转，
∴CE＝AC＝1，∠CEF＝∠BAC＝90°，
∴AH＝AE＝，∠CEH+∠DEN＝90°，
∴DE＝AD﹣AH﹣HE＝﹣﹣＝，
∵∠CEH+∠HCE＝90°，
∴∠HCE＝∠DEN，
又∵∠CHE＝∠DNE＝90°，
∴△CEH∽△EDN，
∴＝，
∴＝，
∴DN＝，
∵∠CEG＝∠DNG，∠DGN＝∠CGE，
∴△CGE∽△DGN，
∴＝，
∵CG+DG＝CD＝，
∴DG＝，
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．解：（1）画图正确（3分）（方法不限），结论（1分）；
作＝2，＝，
则OP即为所求；
（2）∵AD是△ABC中BC边上的中线，点G是△ABC的重心，BA＝，BC＝，
∵BD＝BC＝，（1分）
∴AD＝BD﹣BA＝﹣，（2分）
∴AG＝AD＝（﹣）＝﹣．（3分）
20．解：（1）由题意可得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，
当y＝3时，3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝0，x2＝﹣2，
由图象可得：当﹣2≤x≤0时，y≥3．
21．解：（1）把（﹣1，0），（0，3），（3，0）分别代入y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得．
解得．
则该二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点的坐标为（1，4）；
（2）∵二次函数f（x）＝ax2+bx+c的顶点坐标（1，4）；
∴二次函数图象向右平移3个单位后抛物线的顶点为（4，4）或向下平移3个单位后抛物线的顶点为（1，1）落在直线y＝x上，则此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+4或y＝﹣（x﹣1）2+1．
22．解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵△ABC的面积＝AB×CD＝AC×BC，
∴CD＝＝，
∴AD＝＝＝，
∵∠ACB＝∠CED＝90°，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：ED＝．
23．证明：（1）∵S△AOD＝S△BOC，
∴S△AOD+S△AOB＝S△BOC+S△AOB，即S△ADB＝S△ACB，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△BOA，
∴；
（2）∵△DOC∽△BOA
∴，＝k2，
∴DO＝kOB，CO＝kAO，S△COD＝k2S，
∴S△AOD＝kS△OAB＝kS，S△COB＝kS△OAB＝kS，
∴S四边形ABCD＝S+kS+kS+k2S＝（k+1）2S．
24．（1）①如图1，∠B＝∠D＝90°时延长AD，BC交于点E，
∵∠DAB＝60°，
∴∠E＝30°，
又∵AB＝4，AD＝3
∴BE＝4，AE＝8，DE＝5，
∴CE＝＝，BC＝4﹣＝，
∴AC＝＝；
②如图，∠A＝∠C＝60°时，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于点F，
∵∠DAB＝∠BCD＝60°，
又∵AB＝4，AD＝3，
∴AE＝，DE＝BF＝，
∴BE＝DF＝，
∴CF＝，BC＝+＝，
∴AC＝＝；
综上，AC＝或；
（2）∵A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），
∴AB＝2，BC＝2，AC＝4，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∵AD＝CD，AB≠BC，
∴∠BAD≠∠BCD，
∵四边形ABCD是“等对角四边形”，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴D（0，2），
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A、C，
∴y＝a（x+2）（x﹣2）＝ax2﹣4a，
即：a＝﹣c，令t＝2c2+16a﹣8，
则t＝2c2﹣4c﹣8，
以D（0，2）为圆心，AD长为半径作⊙D，以D'（0，﹣2）为圆心，AD长为半径作⊙D'，
如图所示，⊙D交y轴正半轴于点E，⊙D'交y轴负半轴于点F．
当点P在优弧AEC和优弧AFC上时，∠APC＝∠ADC，当抛物线过E点时满足题意的P点有3个，
此时，c＝OE＝OD+ED＝2+2，
当满足∠APC＝∠ADC的P点至少有3个时，c≥2+2，
当c≥2+2时，t＝2c2﹣4c﹣8≥16，
∵总有不等式2n﹣≤2c2+16a﹣8成立，
∴2n﹣≤16，
∴n≤．
25．（1）证明：∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
又∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF；
（2）解：设BE＝x，则CE＝6﹣x，
∵Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴，
∴，
∴CF＝，
∴S梯形ABCF＝＝
根据题意得＝20，
解得：x＝3，
∴BE的长为3；
（3）能，如图，当点E在线段BC上时，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠C＝90°，
∵AF不平行BC，
∴∠AFE≠∠FEC，
当∠FEC＝∠EAF时，△AEF∽△ECF，
∵Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴∠BAE＝∠FEC＝∠EAF，，
∵tan，
∴，
∴，
∴BE＝3；
如图，当点E在CB的延长线上时，设AF与BC相交于点H，
当∠CEF＝∠AFE时，△CEF∽△EFA，
∴EH＝HF，∠FAE＝∠HEA，
∴AH＝EH＝HF，
∵BC∥AD，
∴△CFH∽△DFA，
∴，
∴CH＝3，
∴BH＝3，
∴AH＝＝3，
∴BE＝EH﹣BH＝3﹣3；
如图，当点E在BC的延长线上时，设AF与BC相交于点H，
当∠EFC＝∠EAF时，△FCE∽△AEF，
同理可求BE＝3+3，
综上所述：BE的长为：3或3﹣3或3+3．
