考点04 整式与整式的四则运算
【考点梳理】
1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.
2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.
3．多项式：几个单项式的和叫多项式.
4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。
5、整式：单项式和多项式统称整式
6、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
7、合并同类项的法则：将同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变。
8、去括号法则：去括号，看符号；是“+”号，不变号；是“－”号，全变号
9.同底数幂的乘法法则: (m,n都是正数)
10.幂的乘方法则：(m,n都是正数)
11.积的乘方法则：(m,n都是正数)
12. 整式的乘法
（1） 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
（2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
（3）．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。：
【窗口导航】
【题型导航】
题型一：代数式 2
题型二：整式 2
题型三：整式的加减 2
题型四：整式的乘除 3
题型五：数字类规律探索 3
题型五：图形类规律探索 5
题型七：整式四则混合运算 6
【题型演练】
一、 选择题 9
二、填空题 13
三、解答题 15
题型一：代数式
1．（2022·河北唐山·校考一模）列式表示“与的和除以与的积”，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．在式子5，，a，，，中，属于代数式的有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）设为自然数，代入代数式中计算求值时，四位同学算出的结果分别如下，其中正确的结果只能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏南通·统考中考真题）若，则的值为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
题型二：整式
5．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考一模）按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第7个单项式是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江苏盐城·校考二模）探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河北保定·校考一模）若代数式是五次二项式，则常数m的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
8．（2023·广东茂名·统考一模）多项式的次数和常数项分别是( )
A．， B．， C．， D．，
题型三：整式的加减
9．（2023·四川内江·校考三模）若单项式与的和是单项式，则n的值是( )
A．3 B．6 C．8 D．9
10．（2020·四川广安·中考真题）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·江苏镇江·统考中考真题）下列运算中，结果正确的是( )
A． B． C． D．
12．（2022·西藏·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
题型四：整式的乘除
13．（2023·陕西·统考中考真题）计算：（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·湖南·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
16．（2020·江苏连云港·中考真题）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
题型五：数字类规律探索
17．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
18．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
，4，，16，，64，……①
0，7，，21，，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．
19．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
20．（2023·四川·统考中考真题）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 ．
题型五：图形类规律探索
21．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）
22．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）
23．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．
24．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．
题型七：整式四则混合运算
25．（2023·河北邯郸·校考三模）已知两个正数a，b，可按规则扩充为一个新数C．在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依此继续扩充下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，
（1）若，，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ；
（2）若，按上述规则操作五次后扩充所得的数为（m，n为正整数），则 ．
26．（2020·江苏南通·统考中考真题）计算：
（1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）； （2）
（2020·浙江温州·统考中考真题）
（1）计算：； （2）化简：．
（2023·山西晋城·校联考模拟预测）
（1）化简：； （2）解不等式组：．
29．（2023·云南临沧·统考二模）先化简，再求值：，其中，．
30．（2023·北京·九年级专题练习）已知求代数式的值．
【题型演练】
选择题
1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）当时，代数式的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】将代入代数式即可求值．
【详解】解：将代入．
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握代入法求代数式的值是解题的关键．
2．（2023·西藏·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据整式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法以及完全平方公式逐项计算即可作答．
【详解】A项，，计算正确，故本项符合题意；
B项，，原计算错误，故本项不符合题意；
C项，，原计算错误，故本项不符合题意；
D项，，原计算错误，故本项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法以及完全平方公式，掌握相应的运算法则及完全平方公式，是解答本题的关键．
3．（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、 和不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、 ，故该选项正确，符合题意；
C、 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
【答案】A
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出， ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．
∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．
5．（2023·湖北恩施·统考一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用整式的加减运算法则以及同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【详解】解：A．，原计算错误，故此选项不合题意；
B． 与不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
C．，原计算错误，故此选项不合题意；
D．，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了整式的加减运算以及同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）下列运算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项依次进行计算判断即可．
【详解】A选项：，故A选项错误；
B选项：，故B选项正确；
C选项：，不是同类项，无法合并，故C选项错误；
D选项：，不是同类项，无法合并，故D选项错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，掌握相关的运算法则是解题的关键．
7．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，……，按此规律排列，则第⑧个图形中的个数为（ ）
A．96 B．88 C．86 D．98
【答案】A
【分析】写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解．
【详解】解：第①个图形中三角形有：（个），
第②个图形中三角形有：（个），
第③个图形中三角形有：（个），
，
依此类推，第个图形中三角形有（个），
所以，第个图形中正三角形个数一共是：（个），
所以，第⑧个图形中圆和正三角形个数一共是：（个）．
故选：A．
【点睛】本题考查了探究图形变化规律，找出图形变化的个数变化规律是解题的关键．
8．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则分别计算即可．
【详解】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B符合题意；
无法合并同类项，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．（2023·浙江·模拟预测）设表示非负整数的各个数位上的数字之和，例如：．则的值为（ ）
A．28127 B．28128 C．28107 D．28117
【答案】B
【分析】根据题意可得：从而得到，再求出；，，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
；
；
，
，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
二、填空题
10．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知，化简求值： ．
【答案】
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后利用整体代入思想代入求值即可．
【详解】解：
，
，
，
，
原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解题的关键．
11．（2023·西藏·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示）
【答案】
【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可．
【详解】解：系数为，次数为1；
系数为，次数为2；
系数为，次数为3；
系数为，次数为4；
第n个单项式的系数可表示为：，字母a的次数可表示为：n，
∴第n个单项式为：．
【点睛】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键．
12．（2023·浙江·模拟预测）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是 ．
【答案】
【分析】设，然后表示出，即可求解．
【详解】解：依题意，设，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了负指数幂，数字类规律题，仿照例题是解题的关键．
13．（2023·浙江·模拟预测）设实数，这个小数从小数点后，以1开头一直写到得到的，那么小数点后第位的数字是 ．
【答案】
【分析】首先确定一位数，以及二位数的个数，判断排的右边第个数字是第几个三位数的数字，从而确定．
【详解】解：从到都是一位数，共有个；
从到共有个数，都是二位数，则数字是由依次写下正整数～是的前位数；
则以后是三位数，，，
则最后一位是从开始的三位数的第个数，即是，的第二个数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，正确确定第个数字是第几个三位数的数字是关键．
三、解答题
14．（2023·广东广州·校考一模）已知多项式．
(1)化简多项式A；
(2)若，求A的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并即可得；
（2）由得，代入可得．
【详解】（1）解：；
（2）解：由（1）知，
∵，
，
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式及多项式乘多项式，解题的关键是掌握完全平方公式与项式乘多项式法则．
15．（2023春·安徽·九年级专题练习）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图所示是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和四个H，分子式是；第2个结构式中有两个C和六个H，分子式是；第3个结构式中有三个C和八个H，分子式是；按照此规律，回答下列问题：
(1)第5个结构式的分子式是___________；
(2)在第n个结构式的分子式是___________；
(3)试通过计算说明分子式为是否属于上述的碳氢化合物．
【答案】(1)
(2)
(3)属于上述的碳氢化合物．
【分析】（1）根据题目中的规律，第一个结构式中的H有个，第二个结构式中H为个，第三个结构式中的H有个，第四个结构式中H有个，据此规律可写出第5个结构式的分子式；
（2）根据（1）中找到规律即可求解；
（3）根据（2）的规律列式计算求解，即可判断．
【详解】（1）解：根据题意得，第一个结构式为，
第二个结构式为，
第三个结构式为，
第四个结构式为，
第五个结构式为，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，
若含有n个C，则第n个化学式为．
故答案为：；
（3）解：由题意得，
解得：，
故属于上述的碳氢化合物．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，在不同的结构式中找到C与H个数的关系，发现规律，写出代数式．
16．（2023·安徽六安·校考二模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)；见解析
【分析】（1）根据题目中等式的特点，写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，写出猜想，再求出等式左边和右边，看是否相等，即可证明猜想．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
故答案为：；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
第n个等式：；
证明：左边，
右边，
∴左边右边，
∴等式成立．
【点睛】本题主要考查了数字规律探索，分式加减运算，解题的关键是了解等式的特点，从给出的式子中找出一般规律．
17．（2023秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）阅读材料题：
我们知道，所以代数式的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴
∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：最小值是______
(2)代数式有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)2；
(2)．
【分析】（1）根据配方法求解即可；
（2）根据配方法求解即可．
【详解】（1）解：
∵
∴
即最小值是；
（2）
∵
∴
代数式的最大值为；
【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方法求解最值的步骤．
18．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）化简求值：．其中．
【答案】，
【分析】利用乘法公式先进行乘法运算，再合并同类项，得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：
；
当时，
原式．
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，乘法公式的灵活应用，熟记乘法公式是解本题的关键．
19．（2023·河北唐山·统考模拟预测）已知：整式．
(1)化简整式；
(2)若，
①求整式；
②在“□”的“□”内，填入“，，，”中的一个运算符号，经过计算发现，结果是不含一次项的整式，请你写出一个符合要求的算式，并计算出结果．
【答案】(1)
(2)①②填入“”，
【分析】（1）去括号，合并同类项进行计算即可；
（2）①利用整式加减法则，进行计算即可；
②根据结果不含一次项，得到经过运算后，一次项的系数为0，进行作答即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：①∵，
∴
；
②填入“”；
．
【点睛】本题考查整式的加减运算．熟练掌握整式加减的运算法则，是解题的关键．
20．（2023秋·山西长治·九年级校联考阶段练习）阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
．可知当时，有最大值．最大值是．
(1)【直接应用】代数式的最小值为______；
(2)【类比应用】若多项式，试求的最小值；
(3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
【答案】(1)
(2)2018
(3)围成的菜地的最大面积是
【分析】（1） 配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可；
（2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可；
（3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】（1）解：，
当时，代数式有最小值，最小值为，
故答案为：；
（2）解：
，
当，时，有最小值，最小值为2018；
（3）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，
根据题意得：，
当时，有最大值，最大值是，
围成的菜地的最大面积是．
【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．
21．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）已知关于的不等式组，则这个不等式的解集为 ．
（2）有一种电脑程序，每按一次按键，屏幕区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均会显示化简后的结果已知，两区初始显示分别是和，如图所示．
如：第一次按键后，A，两区分别显示
小红从初始状态按次后，求A，两区代数式的和并化简，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【答案】（1）；（2）这个和不可能为负数．理由见解析
【分析】（1）根据解一元一次不等式组的方法，求出这个不等式的解集即可；
（2）首先根据题意，小红从初始状态按次后，，两区代数式分别为：，，然后把它们相加，求出，两区代数式的和，再应用完全平方公式，判断这个和不能为负数即可．
【详解】解：（1）∵，
∴这个不等式的解集为，
故答案为：．
小红从初始状态按次后，A，两区代数式分别为：，，
两区代数式之和为：，
∵，
这个和不可能为负数．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组的方法，以及整式的加减法的运算方法，解答此题的关键是灵活运用完全平方公式．
22．（2023秋·八年级课时练习）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图中所示，面积分别为和．
(1)①用含n的代数式表示______，______
②用“”、“”或“”号填空：______；
(2)若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为．
①该正方形的边长是______；（用含n的代数式表示）
②小聪同学发现，“与的差是定值”，请判断小聪同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
【答案】(1)①，；②；
(2)①；②与的差是定值，值为1．
【分析】（1）①结果长方形的面积的计算方法可表示出为和；②作差法，可比较大小；
（2）①根据乙的周长，求出正方形纸片的边长；②作差法，求出差后作差判断即可．
【详解】（1）解：①由长方形的面积的计算方法得，
，
，
故答案为：，；
②
，
，
，
，
故答案为：；
（2）①乙的周长为：，
正方形的周长与乙的周长相等，
正方形的边长为，
故答案为：；
②
，
因此“与的差是定值”，故小方同学的发现是正确的．
【点睛】本题考查列代数式，多项式乘以多项式，完全平方公式等知识，掌握多项式乘以多项式的计算法则是正确计算的前提，理解各个图形的周长和面积之间的关系是正确解答的关键．
23．（2023春·安徽·九年级专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形．并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．
(1)规律探究：如图1所示，第8个正方形的边长为________
(2)如图2所示，相应长方形的周长如表所示，
序号 ① ② ③ ④ ⑤
周长 6 10 16 x y
若按此规律继续作长方形，则________，________；
(3)拓展延伸：按一定规律排列的一列数：，，，，，，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且，猜想x、y、z满足的关系式是________．
【答案】(1)21
(2)26；42；
(3)
【分析】（1）根据题干中的规律求解即可；
（2）分别表示出①-③中周长的计算方法，发现规律求解即可；
（3）根据题意得出这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的指数的和，利用同底数幂的乘法即可得出结果．
【详解】（1）解：根据题意得：第6个正方形的边长为：3+5=8，
第7个正方形的边长为：5+8=13，第8个正方形的边长为：8+13=21，
故答案为：21；
（2）①的周长为，
②的周长为，
③的周长为，
∴④的周长为，
第⑤个的周长为：；
故答案为：26；42；
（3）根据题意得：这一列数的底数均相同，连续三个数x、y、z，最后一个数的指数等于前两个数的指数的和，
∴x、y、z满足的关系式为：；
故答案为：．
【点睛】题目主要考查数字规律探索，同底数幂的乘法，理解题意，找出相应规律是解题关键．
24．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）请仔细阅读，并完成相应的任务．
倒序求和法在计算时， 令，① 则．② ①+②，得． ∴______． ∴______． 这样的求和方法称为倒序求和法．
任务：
(1)请将上面的计算过程补充完整．
(2)如图，第个图形共有______个圆点．
(3)利用倒序求和法计算：．
(4)若，则______．
【答案】(1)，
(2)
(3)10000
(4)13
【分析】（1）先将括号内的每一项合并同类项，之后即可得到答案；
（2）首先根据前面3个找到规律之后根据倒序相加法即可计算；
（3）根据倒序相加法即可得到答案；
（4）根据倒序相加法即可得到答案；
【详解】（1）解：，
（2）解：第1个图形中圆点的个数为，
第2个图形中圆点的个数为，
第3个图形中圆点的个数为……
第个图形中圆点的个数为
；
（3）解：令，①
则，②
①+②，得，
∴．∴，
∴．
（4）解：令，
则，
∴，
∴，
∴．
解得（舍去）或．
【点睛】本题主要考查规律型-图形变化类问题，解题的关键是理解题意，学会用倒序求和的方法解决问题．
25．（2023·安徽·统考中考真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：
(1)第个图案中“”的个数为 ；
(2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：第1个图案中有个，
第2个图案中有个，
第3个图案中有个，
第4个图案中有个，
……
∴第个图案中有个，
故答案为：．
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，
第2个图案中“★”的个数可表示为，
第3个图案中“★”的个数可表示为，
第4个图案中“★”的个数可表示为，……，
第n个图案中“★”的个数可表示为，
（3）解：依题意，，
第个图案中有个，
∴，
解得：（舍去）或．
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
26．（2023春·安徽·九年级专题练习）观察与思考：我们知道，那么结果等于多少呢？
请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：
(1)尝试：第5个图形可以表示的等式是 ；
(2)概括： ；
(3)拓展应用：求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2047276
【分析】（1）根据所给的图形与等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式，进行总结即可；
（3）利用（2）的规律进行求解即可．
【详解】（1）第5个图形可以表示的等式是：，
故答案为：；
（2）
；
故答案为：；
（3）
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
27．（2023·安徽·统考模拟预测）如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“L”形图形，观察图形：
(1)图10中小正方形的数量是 个；图2023的周长是 个单位长度；
(2)若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作…，图n中小正方形个数记作，则 个（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)23，8100
(2)
【分析】（1）不难看出第n个图中小正方形的个数为：，周长为：，从而可求解；
（2）结合（1）进行求解即可．
【详解】（1）∵图1中小正方形的个数为：，周长为：；
图2中小正方形的个数为：，周长为：；
图3中小正方形的个数为：，周长为：；
…，
∴图n中小正方形的个数为：，周长为：，
∴图10中小正方形的数量是：；
图 2023的周长是：，
故答案为：23，8100；
（2）
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
28．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
(1)根据上述规律写出第5个等式：____________________；
(2)计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所给的等式，直接写出即可；
（2）根据规律将原式写成加减运算的形式，然后进行计算即可得．
【详解】（1）；
（2）原式
．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键．
29．（2023·安徽·校联考二模）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据给出的等式的特点，写出第4个等式即可；
（2）根据给出的等式的特点，抽象概括出第个等式，再进行证明即可．
【详解】（1）解：由题意，得：第4个等式为：，
故答案为：；
（2）∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
∴第个等式为：；
∵，
，
∴．
【点睛】本题考查数字类规律探究，因式分解的应用，解题的关键是根据题干给出的等式，抽象概括出．
30．（2022秋·广东清远·九年级统考期末）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值．
(1)代数式有最小值时，___________；
(2)代数式的最小值是___________；
(3)【探究】求代数式的最小值，小明是这样做的：
．
当时，代数式有最小值，最小值为2．
请你参照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时的值．
【答案】(1)3
(2)5
(3)最小值为，
【分析】（1）根据求解；
（2）根据是非负数进行求解；
（3）通过配方法求解；
【详解】（1）解：，
，
故答案为：3；
（2），
，
最小值是5，
故答案为：5；
（3）
，
当时，代数式有最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了配方法，非负数的性质，掌握配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
()
考点04 整式与整式的四则运算
【考点梳理】
1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.
2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.
3．多项式：几个单项式的和叫多项式.
4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。
5、整式：单项式和多项式统称整式
6、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
7、合并同类项的法则：将同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变。
8、去括号法则：去括号，看符号；是“+”号，不变号；是“－”号，全变号
9.同底数幂的乘法法则: (m,n都是正数)
10.幂的乘方法则：(m,n都是正数)
11.积的乘方法则：(m,n都是正数)
12. 整式的乘法
（1） 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
（2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
（3）．多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。：
【窗口导航】
【题型导航】
题型一：代数式 2
题型二：整式 3
题型三：整式的加减 4
题型四：整式的乘除 6
题型五：数字类规律探索 7
题型五：图形类规律探索 10
题型七：整式四则混合运算 13
【题型演练】
一、 选择题 17
二、填空题 21
三、解答题 23
题型一：代数式
1．（2022·河北唐山·校考一模）列式表示“与的和除以与的积”，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接先表示出与的和，再求与的积，最后是和除以积．
【详解】解：由题意可得：．
故选：C．
【点睛】本题考查列代数式，列代数式的原则是：先说先写，题目中先说和，就是先求，后求积，最后是和除以积．掌握列代数式的原则是解题的关键．
2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）在式子5，，a，，，中，属于代数式的有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式．依此对每个选项分别进行分析，即可得出答案．
【详解】解：5，a，，是代数式，
x=2是等式，不是代数式，
m+n＞0是不等式，不是代数式．
故选：B．
【点睛】此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的定义，注意等式、不等式与代数式的区别．
3．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）设为自然数，代入代数式中计算求值时，四位同学算出的结果分别如下，其中正确的结果只能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，由答案四项的大小相差不大，且立方根约为自然数53，所以可得的值为53，即可求出代数式的值．
【详解】解：，
又，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式求值在实际问题中运用．估算出x值的大小是解题的关键。
4．（2023·江苏南通·统考中考真题）若，则的值为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
【答案】D
【分析】根据得到，再将整体代入中求值．
【详解】解：，
得，
变形为，
原式．
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键．
题型二：整式
5．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考一模）按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第7个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可得单项式的系数的绝对值为，序数为奇数时，符号为负，序数为偶数时，符号为正，字母为，次数从次开始，据此即可求解．
【详解】解：∵按一定规律排列的单项式：，，，，…，
∴第个单项式为，
∴第7个单项式是，
故选：B．
【点睛】本题考查了单项式规律题，找到规律是解题的关键．
6．（2023·江苏盐城·校考二模）探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得出单项式的变化规律为：系数是以为底的幂，其指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号，据此作答即可．
【详解】解：根据题意，可得单项式的变化规律为：系数是以为底的幂，其指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号，
∴第9个单项式是．
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是解本题的关键．
7．（2022·河北保定·校考一模）若代数式是五次二项式，则常数m的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据代数式是五次二项式，分两种情况进行分析即可得到答案．
【详解】解：当时，，
此时代数式是五次二项式，
∴当时，，
此时代数式是五次二项式，
综上可知，常数m的值是或．
故选：D
【点睛】此题考查了整式的加减和多项式，分情况讨论是解题的关键．
8．（2023·广东茂名·统考一模）多项式的次数和常数项分别是( )
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根据多项式的相关概念即可求解，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
【详解】解：多项式的次数和常数项分别是，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．
题型三：整式的加减
9．（2023·四川内江·校考三模）若单项式与的和是单项式，则n的值是( )
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根据单项式与的和是单项式，可得：两个单项式为同类项，再根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数分别相等，那么就称这两个单项式为同类项，据此得出m、n的值．
【详解】解：根据题意，可得：与为同类项，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解本题的关键．
10．（2020·四川广安·中考真题）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同类项的定义、单项式乘单项式法则和二次根式的乘法公式逐一判断即可．
【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故错误；
B． ，故错误；
C．，故错误；
D．，故正确．
故选D．
【点睛】此题考查的是整式的运算和二次根式的运算，掌握同类项的定义、单项式乘单项式法则和二次根式的乘法公式是解题关键．
11．（2023·江苏镇江·统考中考真题）下列运算中，结果正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算逐项分析，即可求解．
【详解】解：，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．
12．（2022·西藏·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
【答案】A
【详解】A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，选项正确，符合题意；
B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，选项不正确，不符合题意；
C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意；
D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查整式的加减．在计算的过程中，把同类项进行合并，不能合并的直接写在结果中即可．
题型四：整式的乘除
13．（2023·陕西·统考中考真题）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（2023·湖南·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
15．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
【答案】C
【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可．
【详解】解：由规律可得：，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故选：C．
【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键．
16．（2020·江苏连云港·中考真题）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项、多项式乘以多项式，同底数幂相乘，及完全平方公式进行运算判断即可．
【详解】解：A、2x与3y不是同类项不能合并运算，故错误；
B、多项式乘以多项式，运算正确；
C、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故错误；
D、完全平方公式，，故错误
故选：B
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，多项式乘以多项式及完全平方公式，熟练掌握运算法则和运算规律是解答本题的关键．
题型五：数字类规律探索
17．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
【答案】
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
展开后系数为：，
系数和：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
18．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
，4，，16，，64，……①
0，7，，21，，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．
【答案】 1024
【分析】通过观察第一行数的规律为，第二行数的规律为，代入数据即可.
【详解】第一行数的规律为，∴第①行数的第10个数为；
第二行数的规律为，
∴第①行数的第2023个数为，第②行数的第2023个数为，
∴，
故答案为：1024；．
【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.
19．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
【答案】
【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解．
【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即：，，，，，…
则第个数对的第一个数为：，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即：；；；；…，
则第个数对的第二个位：，
∴第n个数对为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．
20．（2023·四川·统考中考真题）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 ．
【答案】
【分析】根据前六行的规律写出第7，8行的规律进而即可求解．
【详解】解：根据规律可得第七行的规律为
第八行的规律为
∴根据规律第八行从左到右第三个数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
题型五：图形类规律探索
21．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）
【答案】/
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．
22．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为．
【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片，
第2个图案中有6个白色圆片，
第3个图案中有8个白色圆片，
第4个图案中有10个白色圆片，
，
∴第个图案中有个白色圆片．
故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．
23．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．
【答案】
【分析】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值．
【详解】当时，的纵坐标为8，
当时，的纵坐标为4，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
…
则；
；
；
；
…
；
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出．
24．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．
【答案】
【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．
【详解】解：甲烷的化学式为，
乙烷的化学式为，
丙烷的化学式为……，
碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
十二烷的化学式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．
题型七：整式四则混合运算
25．（2023·河北邯郸·校考三模）已知两个正数a，b，可按规则扩充为一个新数C．在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依此继续扩充下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，
（1）若，，按上述规则操作三次，扩充所得的数是 ；
（2）若，按上述规则操作五次后扩充所得的数为（m，n为正整数），则 ．
【答案】 255 13
【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解；
（2）根据，根据新定义重复进行计算，找到规律即可求解．
【详解】解：（1）依题意，第一次扩充得到，
第二次扩充：，，
第三次扩充：，，
故答案为：．
（2）依题意，第一次扩充得到：
∵
∴第二次扩充得到：
第三次扩充得到，，
第四次扩充得到，
第五次扩充得到，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，整式的混合运算，找到整式的变化规律是解题的关键．
三、解答题
26．（2020·江苏南通·统考中考真题）计算：
（1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
（2）
【答案】（1）12mn+10n2；（2）
【分析】（1）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可；
（2）括号内先通分计算，并因式分解，然后变除为乘，进行约分即可．
【详解】解：（1）原式＝4m2+12mn+9n2﹣（4m2﹣n2）
＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2
＝12mn+10n2；
（2）原式＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了整式和分式的混合运算，熟知完全平方公式，平方差公式，通分，约分，因式分解计算是解题的关键．
27．（2020·浙江温州·统考中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）原式分别根据算术平方根的性质、绝对值的代数意义、非零数的零次幂的运算法则对各项进行化简后再进行加减运算即可；
（2）原式运用完全平方公式和单项式乘以多项式把括号展开后再合并同类项即可得到结果．
【详解】（1）
=2-2+1+1
=2；
（2）
=
=
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，熟练运用运算法则是解答此题的关键．
28．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）（1）化简：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式得：，
，
解不等式得：，
，
，
原不等式组的解集为：．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，解一元一次不等式组，熟练掌握完全平方公式，单项式乘以多项式的运算法则，以及“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则，是解此题的关键．
29．（2023·云南临沧·统考二模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，6
【分析】根据整式的混合运算法则进行化简，然后代入计算即可．
【详解】解：
，
∴当，时，
原式=．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．
30．（2023·北京·九年级专题练习）已知求代数式的值．
【答案】
【分析】先将代数式化简，再将代入求值即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则．
【题型演练】
选择题
1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）当时，代数式的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2023·西藏·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
4．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
5．（2023·湖北恩施·统考一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）下列运算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，……，按此规律排列，则第⑧个图形中的个数为（ ）
A．96 B．88 C．86 D．98
8．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江·模拟预测）设表示非负整数的各个数位上的数字之和，例如：．则的值为（ ）
A．28127 B．28128 C．28107 D．28117
二、填空题
10．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知，化简求值： ．
11．（2023·西藏·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示）
12．（2023·浙江·模拟预测）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是 ．
13．（2023·浙江·模拟预测）设实数，这个小数从小数点后，以1开头一直写到得到的，那么小数点后第位的数字是 ．
三、解答题
14．（2023·广东广州·校考一模）已知多项式．
(1)化简多项式A；
(2)若，求A的值．
15．（2023春·安徽·九年级专题练习）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图所示是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和四个H，分子式是；第2个结构式中有两个C和六个H，分子式是；第3个结构式中有三个C和八个H，分子式是；按照此规律，回答下列问题：
(1)第5个结构式的分子式是___________；
(2)在第n个结构式的分子式是___________；
(3)试通过计算说明分子式为是否属于上述的碳氢化合物．
16．（2023·安徽六安·校考二模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
17．（2023秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）阅读材料题：
我们知道，所以代数式的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴
∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：最小值是______
(2)代数式有最大值，最大值是多少？
18．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）化简求值：．其中．
19．（2023·河北唐山·统考模拟预测）已知：整式．
(1)化简整式；
(2)若，
①求整式；
②在“□”的“□”内，填入“，，，”中的一个运算符号，经过计算发现，结果是不含一次项的整式，请你写出一个符合要求的算式，并计算出结果．
20．（2023秋·山西长治·九年级校联考阶段练习）阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
．可知当时，有最大值．最大值是．
(1)【直接应用】代数式的最小值为______；
(2)【类比应用】若多项式，试求的最小值；
(3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
21．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）已知关于的不等式组，则这个不等式的解集为 ．
（2）有一种电脑程序，每按一次按键，屏幕区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均会显示化简后的结果已知，两区初始显示分别是和，如图所示．
如：第一次按键后，A，两区分别显示
小红从初始状态按次后，求A，两区代数式的和并化简，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
22．（2023秋·八年级课时练习）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图中所示，面积分别为和．
(1)①用含n的代数式表示______，______
②用“”、“”或“”号填空：______；
(2)若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为．
①该正方形的边长是______；（用含n的代数式表示）
②小聪同学发现，“与的差是定值”，请判断小聪同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
23．（2023春·安徽·九年级专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，现以这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构造一组正方形，再分别从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下的长方形．并记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．
(1)规律探究：如图1所示，第8个正方形的边长为________
(2)如图2所示，相应长方形的周长如表所示，
序号 ① ② ③ ④ ⑤
周长 6 10 16 x y
若按此规律继续作长方形，则________，________；
(3)拓展延伸：按一定规律排列的一列数：，，，，，，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数且，猜想x、y、z满足的关系式是________．
24．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）请仔细阅读，并完成相应的任务．
倒序求和法在计算时， 令，① 则．② ①+②，得． ∴______． ∴______． 这样的求和方法称为倒序求和法．
任务：
(1)请将上面的计算过程补充完整．
(2)如图，第个图形共有______个圆点．
(3)利用倒序求和法计算：．
(4)若，则______．
25．（2023·安徽·统考中考真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：
(1)第个图案中“”的个数为 ；
(2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．
26．（2023春·安徽·九年级专题练习）观察与思考：我们知道，那么结果等于多少呢？
请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：
(1)尝试：第5个图形可以表示的等式是 ；
(2)概括： ；
(3)拓展应用：求的值．
27．（2023·安徽·统考模拟预测）如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“L”形图形，观察图形：
(1)图10中小正方形的数量是 个；图2023的周长是 个单位长度；
(2)若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作…，图n中小正方形个数记作，则 个（用含n的代数式表示）．
28．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
(1)根据上述规律写出第5个等式：____________________；
(2)计算：．
29．（2023·安徽·校联考二模）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
30．（2022秋·广东清远·九年级统考期末）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值．
(1)代数式有最小值时，___________；
(2)代数式的最小值是___________；
(3)【探究】求代数式的最小值，小明是这样做的：
．
当时，代数式有最小值，最小值为2．
请你参照小明的方法，求代数式的最小值，并求此时的值．
()
