专题27.26 相似三角形几何模型-A型图（知识讲解）
相似三角形A型图类型：
图一 图二
图三 图四
类型一、平行A字型
1
1．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．
(1)求证：△AEF∽△ABD；
(2)填空：
①若BC＝8，AC＝5，则EF＝_________；
②若四边形BDFE的面积为6，则△ABD的面积为_________ ．
举一反三
【变式1】
2．如图，点D，E 在BC 上，且,求证：
【变式2】
3．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC．
类型二、非平行A字型（反A字型）
2
4．已知：D、E是的边、上的点，，求证：．
举一反三
【变式1】
5．如图，在中，、分别是、边上的高．求证：．
【变式2】
6．如图，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿边AB运动，速度为2cm/s，点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s，如果点P、Q两动点同时运动，何时QBP与ABC相似？
类型三、非平行A字型（母子型）
3
7．如图，在中，，D是边上一点，．求证．
举一反三
【变式1】
8．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6．
(1)求证：△ACD∽△ABC；
(2)求边AC的长．
【变式2】
9．（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠BCD=∠A，求证：BC=BD AB
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD平分∠ACB，若BC=1，求AB的长．
试卷第2页，共2页
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)①；②8
【分析】（1）首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到点F是AD的中点，然后得到EF是△ABD的中位线，进而可证明△AEF∽△ABD；
（2）①因为EF是△ABD的中位线，所以BD=2EF，求出BD的长即可得到EF的长；
②根据（1）证得的平行可以判定△AEF∽ABD，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求的△ABD的面积．
【详解】（1）证明：∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
又∵DC=AC，
∴CF是△ACD的中线，
∴点F是AD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD；
（2）解：①∵EF是△ABD的中位线，
∴EF=BD，
∵BC=8，AC=5，DC=AC，
∴BD=BC-CD=3，
∴EF=1.5，
故答案为1.5；
②∵△AEF∽△ABD，
∴S△AEF：S△ABD=1：4，
∴S△AEF：S四边形BDFE=1：3，
∵四边形BDFE的面积为6，
∴S△AEF=2，
∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE=2+6=8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AEF：S△ABD=1：4．
2．见解析
【分析】利用平行关系，找出对应角相等，即可证明相似．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题关键找到需要的条件．
3．见解析
【分析】根据，得出，根据可判断，可证．
【详解】证明，
，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线性质，三角形相似判定，掌握平行线性质，三角形相似判定是解题关键．
4．见解析
【分析】根据已知线段长度求出，再根据推出相似即可．
【详解】证明：在和中，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
5．见详解
【分析】先证明，即有，再结合，即可证明．
【详解】∵、分别是、边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．
6．经过4秒或1.6秒时，△QBC与△ABC相似
【分析】由题意可得，，根据△QBC与△ABC相似，分情况列式计算即可．
【详解】解：由题意可得，
∵∠PBQ=∠ABC，
当时，，
即，解得：；
当时，，
即，解得：；
即经过4秒或1.6秒时，△QBC与△ABC相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
7．详见解析
【分析】由题中线段长度得出，结合相似三角形的判定定理即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
8．(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）直接利用相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据线段和差可得，再根据相似三角形的性质即可得．
【详解】（1）证明：在和中，，
．
（2）解：，
，
由（1）已证：，
，即，
解得或（不符题意，舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
则边的长为4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
9．（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明△BDC∽△BCA，由相似的性质可以得出．则可以得出结论．
（2）证明△ABC∽△CBD，可得，设BD=x，则AB=x+1，得出，解出方程即可得到答案．
【详解】（1）∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B
∴△BDC∽△BCA
∴
∴
（2）∵AB＝AC，∠BAC=36°
∴∠B＝∠ACB＝72°
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD＝∠BCD＝36°＝∠A
∴∠BDC＝72°＝∠ACB
∵∠B＝∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
∵∠BDC＝∠B＝72°
∴BC=CD=1
∵∠ACD＝∠A＝36°
∴AD=BC=CD=1
设BD=x，则AB=x+1
∴
即
解得：（负值舍去）
∴
∴
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形是相似三角形是解决问题的关键．
答案第1页，共2页
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