2023年秋季学期阶段性自主评估训练(一)
九年级 数学(H)
(时间： 120分钟 满分： 120分)
第Ⅰ卷
一、选择题(共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. )
1.下列y关于x的函数中，是二次函数的是
A. y=(x+1) -x B. y=3x+2 C. y=x -x +1 D. y=-x +2x
2.抛物线y=2x 的对称轴是直线
A. y=0 B. y=1 C. x=0 D. x=2
3.关于二次函数y=-(x-3) +2|的最值，下列说法正确的是
A.有最大值3 B.有最小值3 C.有最大值2 D.有最小值2
4.已知二次函数y=ax +bx+c的x、y部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
则当x=4时，y的值为
A.5 B.3 C.1.5 D.无法确定
5.已知抛物线y=(x-3) +1,下列结论错误的是
A.抛物线开口向上 B.顶点坐标是(-3, 1)
C.当x<3时，y随x的增大而减小 D.抛物线与x轴没有交点
6.二次函数y=ax +bx-1 (a≠0)的图象经过点(1， 1)，则代数式 1-a-b的值为
A.-3 B.-1 C.2 D.5
7.抛物线y=5x 与抛物线y=-5(x+1) 的相同点是
A.都有最低点 B.对称轴相同 C.开口方向相同 D.顶点都在x轴上
8.在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经变换后得到抛物线y=(x+3)(x-5),则下列变换正确的是
A.向左平移 8个单位 B.向右平移8个单位
C.向左平移2个单位 D.向右平移2个单位
9.将二次函数.y=2x -4x+1化为y=a(x+h) +k的形式，正确的是
A. y=2(x-1) +1 B. y=2(x-1) -1 C. y=2(x+1) +1 D. y=2(x+1) -1
10.已知二次函数y=x -4x+m的图象与x轴只有一个交点，则m的值为
A.4 B.2 C.0 D.-4
11.在同一平面直角坐标系中， 一次函数y=mx+n与二次函数.y=nx +m的大致图象可以是
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12、如图，已知抛物线y=ax +bx-2的对称轴是直线x=-1，直线l∥x轴,且交抛物线于点P(x , y ), Q(x , y ).下列结论中，正确的个数是
①2a-b=0
②若实数m≠-1,则a-b
④当y>-2时, x ·x <0
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
第Ⅱ卷
二、填空题(共6小题，每小题2分，共12分.请将答案填在答题卡上)
13.已知抛物线y=(k+1)x ;开口向下， 则k的取值范围是 .
14.抛物线y=x +2x-2023与x轴的交点个数是 个.
15.将抛物线y=x +2x+3向右平移 1个单位，所得抛物线的表达式为 .
16.如图， 二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交于(3，0)，对称轴是直线x=1， 则y<0时， 自变量x的取值范围是 .
17.已知抛物线y=x -2x+m与x轴没有交点， 则m的取值范围是 .
18.如图， 抛物线C : y=x +2x-3与抛物线(C : y=ax +bx+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C 和抛物线 C 与x轴有着相同的交点A、B(点B在点A右侧)，与y轴的交点分别为C、D.如果线段BD=CD， 那么抛物线C 的表达式是 .
三、解答题(本大题共8小题，共 72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19. (本题满分6分)写出抛物线y=x -2x-5的开口方向、对称轴和顶点坐标.
20. （本题满分６分）已知二次函数的图象经过（-1， 0）、 （3， 0）、 （0，3）三点，求二次函数的表达式.
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21、 (本题满分 10分)已知抛物线y=x -6x+k的顶点在直线y=-2x-1上.
(1)求k的值;
(2)请判断抛物线与x轴交点的个数，并说明理由.
22. (本题满分 10分)如图， 已知抛物线y=ax +bx+c与x轴交于A、B两点， 与y轴交于点C，点B的坐标为(3,0),顶点坐标为(1, 4) .
(1)求抛物线的解析式；
(2) 求△ABC面积;
(3)点P是抛物线对称轴l上的一个动点， 当PA+PC的值最小时，求点P的坐标，并求 PA+PC的最小值.
23.(本题满分10分)商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
销售单价x(元) … 50 60 70 …
月销量y(台) … 90 80 70
(1) 求y与x之间的函数关系式；
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大 最大月利润为多少元
24.(本题满分 10分)如图，在一场排球比赛中，某排球运动员站在点O处发球，将球从O点正上方2m的Ａ处发出，把球看成点，球运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6) +h,已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.45m，球场的边界距O点的水平距离为 18m.
(1)当h=3时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当h=3时，球能否越过球网 球会不会出界 请说明理由；
(3)若要使球一定能越过球网，又不出边界，请写出a的最大值.
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25. (本题满分 10分)如图， 抛物线y=ax +bx+2与x轴交于点A(1, 0)和B(4, 0) .
(1) 求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E， 点F是位于x轴上方的抛物线对称轴上一点， C是第一象限抛物线上一点， 若EF=2， 点C的横坐标是5，求证： 四边形 OECF 是平行四边形；
(3)在(2)的条件下，若点P是x轴上的一个动点，当△OCP是等腰三角形时，求点 P的坐标.
26. (本题满分 10分) 【综合与实践】
【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比.
如图 1，抛物线y=ax +bx+c的顶点为 P，PC⊥x轴于点C， 它与x轴交于点A， B， 则AB的长为抛物线y=ax +bx+c关于x轴的跨径，PC的长为抛物线y=ax +bx+c关于 x轴的矢高， 的值为抛物线y=ax +bx+c关于x轴的矢跨比.
请完成：
(1) 【特例】如图2， 已知抛物线y=-x +4与x轴交于点 C, D(点C在点 D右侧) ;
①抛物线y=-x +4关于x轴的矢高是 ， 跨径是 ， 矢跨比是 ；
②有一抛物线经过点C，与抛物线y=-x +4开口方向与大小一样，且矢高是抛物线关于x轴的矢高的 ， 求它关于x轴的矢跨比；y=-x +4
(2) 【推广】结合抛物线的平移规律可以发现， 两条开口方向与大小一样的抛物线， 若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的k(k>0)倍，请写出第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的倍数(用含k的代数式表示)；
(3) 【应用】如图3是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为 请写出边跨的矢跨比.
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2023年秋季学期阶段性自主评估训练（一）
九年级 数学（H） 参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C C A B B D D B A D C
二、填空题
13. k＜－1 14. 2 15.
16. x＜-1或x＞3 17. m＞1 18.
三、解答题
19.解：∵1＞0，y＝x2-2x-5＝（x-1）2-6，..........3分
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，-6）．........6分
（用公式求对称轴及顶点坐标，仿照给分）
20.解：设二次函数的表达式为，
则，................3分
解得
∴二次函数的表达式为y＝-x2+2x+3........6分
21.解：（1）∵
∴顶点的横坐标为
把x＝3代入，得，
∴顶点坐标为(3，-7)，
把(3，-7)代入，得，
解得k＝2........5分
（2）抛物线与x轴有两个交点，理由如下：
由（1）得抛物线为，
当，
∵△＝
∴方程有两个不相等的实数根，
∴抛物线与x轴有两个交点..............10分
22.解：（1）∵顶点坐标为（1，4），
∴抛物线的解析式为，
把点B（3，0）代入，得，
解得a＝-1，
∴抛物线的解析式为...........3分
（2）在中，当x＝0时，y＝3,
∴C(0，3)
由抛物线得对称轴是直线x＝1，
又∵B（3，0），
∴A(-1，0)，
∴△ABC面积＝.........6分
（3）由抛物线的对称性可知，点A、B关于对称轴对称，
连接BC交于点P，此时PA+PC＝BC的值最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
则，解得
∴，
当时，y＝2，∴P(1，2)
由勾股定理得BC＝
∴PA+PC＝BC的最小值是...............10分
23.解：（1）设y与x之间的函数关系式为，
由表得，解得，
∴........4分
（2）设商店每月出售这种护眼灯所获的利润为W元，
依题意，得
，.......9分
∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，
∴ 40≤x≤80
∵a=-1，当40≤x≤80时，w随x的增大而增大，
∴当x=80时，
∴当销售单价定为80元时，每月所获的利润最大，最大月利润为2400元......10分
（用公式求最大值仿照给分）
24.解：（1）当h＝3时，，
把点A(0，2)代入，得2＝a(0-6)2+3，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝(x-6)2+3，………3分
（2）当h＝3时，由（1）得y＝(x-6)2+3，
当x＝9时，y＝(9-6)2+3＝2.75>2.45，
∴球能越过球网；…………………5分
当y＝0时，(x-6)2+3＝0，
解得：x1＝6+6<18，x1＝-6+6（舍去）
∴球不出边界.…………………7分
（3）把点A(0，2)代入得
∴
∴............8分
要使球一定能越过球网，又不出边界，
则当x＝9时，
当x＝18时，
∴，解得：，
故答案为：a的最大值是...........10分
25.解：（1）依题意得，解得，
∴抛物线的解析式为........2分
（2）由A（1，0）和B（4，0）得抛物线的对称轴为直线，
∴E(，0)，F（，2）
∴OE＝
把x＝5代入抛物线得,
∴C (5，2)
∴FC∥x轴，FC＝，
∴FC∥OE ，FC＝OE，
∴四边形OECF是平行四边形........5分
（3）∵C (5，2)，
∴OC＝，......6分
∵点P在x轴上，△OCP是等腰三角形，
因此有三种情况如下：
①当OP＝OC＝时，P（，0）或（-，0），
②当CP＝CO＝时，OP＝2×5＝10，P（10，0），
③PO＝PC时，设P（m，0），
又∵O（0，0），C (5，2)
则，
∴，
解得m＝2.9
∴P（2.9，0），
综上所述，在x轴上存在点P，使△OCP是以OC为腰的等腰三角形，
点P坐标为P（，0）或（-，0）或（10，0）或（2.9，0）...........10分
26.解：（1）①∵抛物线的顶点为（0，4），
∴抛物线的顶点到x轴的距离是4，
∴抛物线关于x轴的矢高是4，
在中，当y＝0时，，
解得，
∴D（-2,0），C（2,0，）
∴CD＝4，
∴抛物线关于x轴的跨径是4，
∴矢跨比是，
故答案为：4，4，1；................3分
②∵
∴新抛物线关于x轴的矢高是1，
即新抛物线顶点的纵坐标是1，
又∵新抛物经过点C，与抛物线开口方向与大小一样，
∴设新抛物线表达式为，
把点C（2，0）代入，得，
解得m＝-3或m＝-1(不合题意，舍去)，
∴
当y＝0时，，
解得：x1＝2，x2＝4
∴新抛物线与x轴交于点（2，0）和（4，0），
∵4-2＝2
∴新抛物线关于x轴的跨径是2，
∴新抛物线关于x轴的矢跨比为................6分
（2）利用特例的解答方法可求得.......8分
（3）建立如图所示的坐标系
依题意，求出主跨对应的抛物线表达式为，
从而求出边跨对应的抛物线表达式为，
则其顶点坐标为（350，）
∴边跨的矢跨比为，故答案为：..................10分
（以上各题，若用其它方法解答，仿照给分）
