2023-2024学年广东省珠海市香洲区重点中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列关于的方程中一定没有实数根的是( )
A. B.
C. D.
3.若方程的两个实数根分别为，则等于( )
A. B. C. D.
4.下列函数中是二次函数的是( )
A. B. C. D.
5.一元二次方程化为一般形式后，、、的值分别是( )
A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、
6.下列关于抛物线的说法，正确的是( )
A. 开口向下 B. 顶点坐标是
C. 有最小值 D. 对称轴是直线
7.表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么方程的一个根的近似值可能是( )
A. B. C. D.
8.抛物线，点，，，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D. 无法比较大小
9.下列选项中，能描述函数与图象的是( )
A. B. C. D.
10.如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：；方程的两个根是，；；当时，随增大而减小，其中结论正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.已知关于的方程，当 ______ 时，方程为一元二次方程．
12.已知抛物线的开口向上，则的取值范围是______．
13.已知函数，当 ______时，随的增大而减少．
14.将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的函数关系表达式是______ ．
15.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为______．
16.已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
三、解答题（本大题共4小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
用适当的方法解下列方程．
；
．
18.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
若，是原方程的两根，且，求的值．
19.本小题分
某果农因地制宜种植一种有机生态水果，且该有机生态水果产量逐年上升，去年这种水果的亩产量是千克．
预计明年这种水果的亩产量为千克，求这种水果亩产量从去年到明年平均每年的增长率为多少；
某水果店从果农处直接以每千克元的价格批发，专营这种水果经调查发现，若每千克的销售价为元，则每天可售出千克，若每千克的销售价每降低元，则每天可多售出千克设水果店一天的利润为元，当每千克的销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？
20.本小题分
已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为．
求抛物线的表达式；
如图，连接，，，设的面积为．
求关于的函数表达式；
求点到直线的距离的最大值，并求出此时点的坐标．
如图，设抛物线的对称轴为，与轴的交点为，在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、方程中未知数个数为，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、方程中未知数个数为，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、只含有个未知数，未知数的最高次数是，故该选项符合题意；
D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，方程有两个不相等的实数根；
B、，方程没有实数根；
C、，方程有两个不相等的实数根；
D、，方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断根的情况．没有实数根的一元二次方程，即判别式的值是负数的方程．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
3.【答案】
【解析】解：根据根与系数的关系得，．
故选：．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．
4.【答案】
【解析】解：、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：．
根据二次函数的定义逐一进行判断．
本题考查了二次函数的定义，要知道：形如其中，，是常数，的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项．为自变量，为因变量．等号右边自变量的最高次数是．
5.【答案】
【解析】【分析】
直接利用移项、合并同类项，即可得出，，的值．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．
【解答】
解：一元二次方程化为一般形式后，为，
则，，．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由抛物线解析式可得，
，
开口向上，A错误；
对称轴，D错误；
顶点坐标为，B错误；
开口向上有最小值，当时有最小值，为，C正确．
故选：．
根据二次函数顶点式解析式注意分析即可．
本题考查二次函数的性质和最值，通过二次函数顶点式的表达式得到相应的信息是关键．
7.【答案】
【解析】解：时，；时，；
抛物线与轴的一个交点在和点之间，更靠近点，
方程有一个根约为．
故选：．
观察表中数据得到抛物线与轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与轴的交点问题可得到方程一个根的近似值．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：通过表中数据确定抛物线与轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的．
8.【答案】
【解析】解：二次函数的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
、，，
点离直线最远，离直线最近，
而抛物线开口向上，
；
故选：．
先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较三个点都直线的远近得到、、的大小关系．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
9.【答案】
【解析】解：当，时，的图象不经过第二象限，的图象开口向上，选项符合，
当，时，的图象不经过第三象限，的图象开口向下，无选项符合，
故选：．
根据，可以分为，时，或，时，两种情况讨论即可解答．
本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
，即，方程的两个根是，，
故正确；
，
，即，
故正确；
由函数图象可知当时，随增大而减小，故错误；
正确的一共有个，
故选：．
由抛物线的对称性可知，抛物线与轴的另一个交点坐标为由此即可判断；根据，可得即可判断；根据函数图象即可判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：若方程是一元二次方程，
，
；
故答案为：．
根据一元二次方程的定义，即可求出答案．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握二次项系数不等于是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：抛物线的开口向上，
，
．
故答案为．
利用二次函数的性质得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口．
13.【答案】
【解析】解：在中，，
开口向上，函数的对称轴为，
当时，的值随着的值增大而减小；
故答案为：．
由函数解析式可确定出其开口方向及对称轴，再利用二次函数的性质可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在为常数中，对称轴为，顶点坐标为．
14.【答案】
【解析】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的函数关系表达式是，即，
故答案为：．
根据平移的规律写出函数解析式即可．
本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
15.【答案】，．
【解析】解：因为抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
所以关于的方程的解为，，
即关于的方程的解为，．
故答案为、．
根据抛物线与直线的交点坐标的横坐标即可求解．
本题考查了抛物线与直线交点坐标，解决本题的关键是两交点的横坐标就是方程的解．
16.【答案】
【解析】解：令菱形的对角线分别为：，，
一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，
，，
菱形的对角线互相垂直平分，
菱形的边长为：
，
则菱形的周长为：．
故答案为：．
令菱形的对角线分别为：，，由根与系数的关系可得，，再由菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求得菱形的边长，从而可求解．
本题主要考查根与系数的关系，菱形的性质，解答的关键是熟记根与系数的关系及菱形的性质：对角线互相垂直平分．
17.【答案】解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
方程整理得：，
分解因式得：，
解得：，．
【解析】方程利用配方法求出解即可；
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18.【答案】证明：，
无论取何值，，
无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
解：，是原方程的两根，
，，
，
，
，即，
解得：或．
故的值为或．
【解析】根据根的判别式即可求出答案．
根据根与系数的关系以及配方法即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
19.【答案】解：设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为，
由题意，得：，
解得：，舍去．
答：平均每年的增长率为；
设每千克的平均销售价为元，由题意得：
，
，
当时，取得最大值为．
答：当每千克平均销售价为元时，一天的利润最大，最大利润是元．
【解析】设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解得的值并根据问题的实际意义作出取舍即可；
设每千克的平均销售价为元，由题意得关于的二次函数，将其配方，写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确得出函数关系式并明确二次函数的性质是解题的关键．
20.【答案】解：将，代入，
得，
解得：，
抛物线的表达式为；
在图中，过点作轴，交于点．
设直线的解析式为，
将、代入，
，
解得：，
直线的解析式为．
点的坐标为，
点的坐标为，
，
；
，
，
当时，取最大值，最大值为．
、，
线段，
点到直线的距离的最大值为，
当时，，则此时点的坐标为；
在直线上存在点，使得四边形是平行四边形，理由如下：
如图，连接，交抛物线对称轴于点，
抛物线与轴交于，两点，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，
在中，当时，，
，
，
，
，
点的坐标为；
当时，不存在，理由如下，
若四边形是平行四边形，则，
点的横坐标为，点的横坐标为，
点的横坐标，
又，
不存在，
综上所述，在直线上存在点，使得四边形是平行四边形，点的坐标为．
【解析】待定系数法求解析式即可求解；
在图中，过点作轴，交于点，求得直线的解析式为点的坐标为，则点的坐标为，根据三角形的面积公式得出；
根据二次函数的性质得出当时，取最大值，最大值为勾股定理求得，等面积法求得点到直线的距离，进而得出的坐标；
如图，连接，交抛物线对称轴于点，因为抛物线与轴交于，两点，所以抛物线的对称轴为直线，由平行四边形的性质及平移规律可求出点的坐标；当时，不存在．
本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值，平行四边形的存在性等，解题关键是能够灵活运用平行四边形的性质及判定等．
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