2023-2024学年北京重点大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
3.将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为( )
A. B.
C. D.
4.如图，平面直角坐标系中，，，点为线段的中点，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，是一元二次方程的两根，则的值是( )
A. B. C. D.
6.关于的一元二次方程有实数根，则满足( )
A. B. 且 C. 且 D.
7.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.函数中与自变量的部分对应值如下表：
则当时，的取值范围是( )
A. B. C. 或 D. 或
9.二次函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是( )
A. 当时，，
B. 当时，，
C. 当时，，
D. 当时，，
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
11.若关于的函数是二次函数，则的取值范围是______ ．
12.若是一元二次方程的一个根，则的值为______．
13.请你写出一个二次函数______ 满足以下条件：
开口向下；
与轴交于点．
14.如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，不等式的解集为______．
15.如图，平行四边形的对角线与相交于点，且，若是边的中点，，，则的长为______ ．
16.为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年月份盈利元，月份盈利元，求月份到月份盈利的月平均增长率．设月份到月份盈利的月平均增长率为，根据题意，可列方程为______．
17.已知抛物线，若抛物线关于轴对称，则 ______ ，此时抛物线关于轴对称的图象解析式为______ ．
18.已知某函数的图象过，两点，下面有四个推断：
若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过；
若此函数的图象为抛物线，且经过，则该抛物线开口向下；
若此函数的解析式为，且经过原点，则；
若此函数的解析式为，开口向下，且，则的范围是．
所有合理推断的序号是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
选择合适的方法解方程：
；
．
20.本小题分
已知二次函数．
求二次函数图象的顶点坐标；
在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的部分图象经过点，．
求该抛物线的解析式；
结合函数图象，直接写出时，的取值范围；
将该抛物线向上平移______ 个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点．
22.本小题分
关于的一元二次方程．
若该方程无实数根，求的取值范围；
给取一个适当的值，使该方程有两个不同的实数根，并求出方程的两个根．
23.本小题分
已知抛物线与轴交于点，顶点为，与直线交于，两点，其中点坐标为．
求抛物线和直线解析式；
直接写出抛物线关于对称的抛物线的解析式；
求的面积．
24.本小题分
如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，，从处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下王丽芳同学根据题意在图中建立如图所示的坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，已知水流的最高点到的水平距离是，最高点离水面是．
求二次函数表达式；
若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
25.本小题分
已知二次函数．
求该二次函数图象的对称轴；
当时，函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标；
对于该二次函数图象上的两点，，当，时，均有，请结合图象，直接写出的取值范围．
26.本小题分
如图，在中，，，点在边上不与点，重合，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
根据题意补全图形，并证明：；
取的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
27.本小题分
对于平面图形，和直线这里，均为常数，若它们同时满足以下两个条件：
对上任意一点，均有；
对上任意一点，均有．
则称直线是图形，的“分界线”．
回答以下问题．
如图所示，在平面直角坐标系中有正方形和三角形例如：直线是正方形和三角形的一条“分界线”．
在下列直线中，可以作为正方形和三角形的“分界线”的是______ 填选项的标号；
；
；
；
．
若直线是正方形和三角形的“分界线”，结合图形，求的取值范围．
如图所示，在平面直角坐标系中有抛物线：和正方形，正方形的顶点的坐标为若直线是抛物线和正方形的“分界线”，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，的顶点坐标是．
故选：．
已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的特点直接写出顶点坐标．
此题考查了二次函数的性质，二次函数为顶点坐标是．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先移项得到，再把方程两边加上，然后把方程左边用完全平方形式表示即可．
本题考查了解一元二次方程配方法．配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3.【答案】
【解析】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为：．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
，
点为线段的中点，
．
故选：．
根据坐标求线段的长，利用勾股定理求解．
本题考查了坐标和图形的性质，及直角三角形的性质，结合勾股定理求解是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的两根，
；．
则．
故选：．
直接根据根与系数的关系得出、的值，再代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
6.【答案】
【解析】解：由已知得：，
解得：且．
故选：．
由方程有实数根可知根的判别式，结合二次项的系数非零，可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．
7.【答案】
【解析】解：在二次函数，对称轴，
在图象上的三点，，点离对称轴的距离最远，离对称轴的距离最近，
，
故选：．
对二次函数，对称轴，在对称轴两侧时，则三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越大，由此判断、、的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
8.【答案】
【解析】解：抛物线经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
当或时，，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线开口向上，
当或时，．
故选：．
利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则当或时，，再利用抛物线的顶点坐标为可判断抛物线开口向上，然后根据二次函数的性质可判断当或时，．
本题考查了二次函数的性质：抛物线，，抛物线开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值；当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
根据题意，点在二次函数的图象上，可知符合题意的选项．
【解答】
解：当时，，
点在二次函数的图象上，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：当时，如图所示：
抛物线的对称轴为直线，
，且；
当时，如图所示：
抛物线的对称轴为直线，
，且．
故选：．
分和两种情况，根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质结合函数图象解答即可．
本题考查抛物线与轴的交点，平移的性质以及函数的图象，解题关键是利用数形结合的思想进行解答．
11.【答案】
【解析】解：函数是关于的二次函数，
，
解得．
故答案为：．
根据二次函数的定义列不等式求解即可．
本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：是一元二次方程的一个根，
，
解得，，
故答案为：．
根据是一元二次方程的一个根，可以求得的值，本题得以解决．
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：设抛物线解析式为，
抛物线开口向下，
可取，
与轴交于点，
，
满足条件的函数解析式可以是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
由抛物线开口方向可确定二次项系数，由与轴交于点，可得，则可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与的符号与关、与轴的交点与有关是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由图象可得，在点，之间的抛物线在直线下方，
时，，
故答案为：．
根据图象及点，坐标求解．
本题考查二次函数与不等式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，结合图象求解．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
点为的中点，
又点为边的中点，
为的中位线，
，
故答案为：．
先利用勾股定理求出，再证明为的中位线，则．
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，证明为的中位线是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：依题意得，
故答案为：．
利用今年月份的盈利今年月份的盈利月份到月份盈利的月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：抛物线关于轴对称，
对称轴为轴，
，
；
此时抛物线关于轴对称的图象解析式为，即，
故答案为：，．
抛物线关于轴对称，则对称轴为轴，，解得，根据关于轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标互为相反数写出抛物线关于轴对称的图象解析式．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：设过，两点的直线为，
，解得：，
直线为：，
当时，，
函数经过，故符合题意；
此函数的图象为抛物线，且经过，，，
则，解得，
抛物线为：，
抛物线的开口向上，故不符合题意；
当函数的解析式为，且经过，，，
同理设抛物线，
则，解得：，
抛物线为：，
对称轴为直线，
而，故不符合题意，
二次函数过，，
则，解得：，
所以抛物线为：，
开口向下，且，而，
，而，
即，
，即，故符合题意；
故答案为：．
对于都利用待定系数法先求解函数的解析式，再利用一次函数与二次函数的性质可判断，对于先利用函数过，可得函数解析式为，再结合题意建立不等式组模型即可解决问题．
本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意建立方程或不等式组模型解题是关键．
19.【答案】解：，
，
，；
，
，
，．
【解析】利用因式分解法解方程．
此题主要看了一元二次方程的解法，解题的关键是结合方程的特点选择适合的方法．
20.【答案】解：
，
二次函数图象的顶点坐标为；
解：列表如下：
描点、连线，如图所示：
由函数图象可知，当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
【解析】根据配方法将二次函数一般式化为顶点式即可得出答案；
根据描点法：列表、描点、连线即可得到二次函数图象；
根据二次函数图象即可得到答案．
本题考查二次函数图象与性质，涉及将二次函数一般式化为顶点式、作二次函数图象及已知自变量范围，利用二次函数图象求函数值等，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
21.【答案】
【解析】解：将，代入得：
，
解得，
．
令，
解得或，
抛物线经过，，
抛物线开口向上，
时，；
要使抛物线与轴只有一个公共点，即要求顶点在轴上，
由得该抛物线的表达式为，
该抛物线的顶点为，
要使顶点在轴上，
则顶点纵坐标应为，
将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点．
故答案为：．
通过待定系数法求解．
求出抛物线与轴交点坐标，通过抛物线开口向上求解；
求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到轴上．
本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换以及待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征以及平移规律．
22.【答案】解：方程没有实数根，
，
解得；
当方程有两个不同的实数根时，
，
解得，
当时，
原方程为，
解得：，．
【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
由判别式，得出的取值范围，取一个的值，将其代入原方程中再解方程即可．
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程没有实数根”；由的取值范围及为负整数确定的值．
23.【答案】解：抛物线过、两点
代入抛物线解析式可得：，
解得：，
抛物线解析式为；
直线过点，
，
，
直线为，
，
抛物线的顶点，
顶点关于直线的对应点的坐标为，
抛物线关于对称的抛物线的解析式为，
由，解得或，
，
抛物线的顶点，
把代入，得，
的面积．
【解析】利用待定系数法求解即可；
先确定点关于直线的对应点的坐标，然后根据顶点式写出对称后的抛物线解析式；
利用待定系数法求得直线解析式，解析式联立成方程组求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键．
24.【答案】解：水流的最高点到的水平距离是，最高点离水面是，，
抛物线的顶点坐标为，
故设抛物线的解析式为，
，
解得，
抛物线的解析式为，
抛物线的解析式为．
令得到，
解得舍去，
故水池的半径至少为米．
【解析】根据抛物线的顶点式求解即可．
令得到求得抛物线与轴正半轴的交点坐标，其横坐标就是所求．
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法和二次函数实际意义是解题的关键．
25.【答案】解：该二次函数图象的对称轴是直线；
该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，，
当时，的值最大，即
把代入，解得．
该二次函数的表达式为．
当时，，
，开口向上，对称轴，
当，时，均有，
，即；或，，
综合分析的取值范围或．
【解析】利用对称轴公式计算即可；
构建方程求出的值即可解决问题；
当，时，均满足，推出当抛物线开口向下，点在点左边或重合时，满足条件，可得，由此即可解决问题；
本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】证明：图形如图所示；
，
，，
；
解：结论：．
理由：连接．
，，
，
，
，
，，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
∽，
，
【解析】根据要求作出图形，利用等角的余角相等证明即可；
证明，可得结论．
本题考查作图旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27.【答案】
【解析】解：从函数图象看，和明显不符合题意，
对于直线：和直线：，如下图：
从图上可以看出：直线和直线符合题意，
故答案为：；
如图，直线、为符合题意时临界点的情况，
直线：过点，
将点坐标代入得：，
解得：，
直线：该直线过点，
将点的坐标代入得：，
解得：，
故的取值范围为：或；
如图，当抛物线在直线的下方时，符合题意，
当直线和抛物线只有有个交点时，为临界点，
联立和并整理得：，
则，
解得：，
此外，还要考虑正方形左下角的点是否被分离的情况，
则需要是直线与轴的交点横坐标，
解得：，
综上：．
通过画图，用数形结合的分析即可求解；
通过画图，确定直线、为符合题意时临界点的情况，即可求解；
如图，当抛物线在直线的下方时，符合题意，即可求解．
本题为二次函数综合题，涉及到一次函数和二次函数的性质、新定义、点坐标的确定等，理解性定义，运用数形结合是解题的关键．
第1页，共1页
