明确目标 确定方向
掌握行星运动规律
万有引力定律的计算
重力和万有引力的关系
求中心天体质量和密度
【知识回归】 回归课本 夯实基础
第一部分：基础知识梳理
一、开普勒三定律
1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律：对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3.开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
二、万有引力定律及其应用
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。
2.表达式：F＝G
G为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3.适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用，r是两球心间的距离。
三．天体质量和密度的计算
1解决天体(卫星)运动问题的基本思路，天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝ma向＝m＝mω2r＝m。
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝。
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r。
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
第二部分重难点辨析
一万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
1在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
2在两极上：G＝mg0。
3在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
二．天体各处重力加速度的求法
1在星球表面附近的重力加速度g(不考虑星球自转)；mg＝G，得g＝。
2在星球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。
【典例分析】 精选例题 提高素养
多选【例1】．百武彗星是人类第一次探测到发射X射线的彗星，它的近日点仅0.1AU，周期很长（200年以上），已知地球的轨道半径为1AU，只考虑行星与太阳间的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．太阳处在百武慧星椭圆轨道的中心点上
B．百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大
C．地球的轨道半径小于百武彗星轨道的半长轴
D．在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
多选【例2】．下表是一些有关火星和地球的数据，利用万有引力常量G和表中选择的一些信息可以完成的估算是（ ）
信息序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
信息内容 地球一年约365天 地表重力加速度约为 火星的公转周期为687天 日地距离大约是1.5亿km 地球半径6400km 地球近地卫星的周期
A．选择⑥可以估算地球的密度
B．选择①④可以估算太阳的密度
C．选择①③④可以估算火星公转的线速度
D．选择①②④可以估算太阳对地球的吸引力
【例3】．有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现将M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m2的万有引力F为多少（ ）
A． B．
C． D．
【例4】．牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题：
（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，若行星在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比；
（2）实际上行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看做匀速圆周运动。设行星与太阳的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力F与r的平方成反比
（3）我们知道，地球表面不同位置的重力加速度大小略有不同。若已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在赤道地面附近重力加速度大小为，在北极地面附近重力加速度大小为，求比值的表达式。
【巩固练习】 举一反三 提高能力
_
多选．“古有司南，今有北斗”，如图甲所示的北斗卫星导航系统入选“2022全球十大工程成就”。组成北斗系统的卫星运行轨道半径r越高，线速度v越小，卫星运行状态视为匀速圆周运动，其v2-r图像如图乙所示，图中R为地球半径，r0为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径，图中物理量单位均为国际单位，引力常量为G，忽略地球自转，则（ ）
A．地球的质量为
B．地球的密度为
C．GEO卫星的加速度为
D．地球表面的重力加速度为
多选2．2023年3月17日，我国成功将“高分十三号02星”发射升空，卫星顺利进入预定轨道。假设入轨后，“高分十三号02”以线速度为v绕地球做周期为T的匀速圆周运动。已知地球的半径为R，万有引力常量用G表示。由此可知（ ）
A．该卫星到地球表面的高度为 B．该卫星到地球表面的高度为
C．地球的质量 D．地球的质量
多选3．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体（假设它能够在地球内部移动）在x轴上各位置受到的重力大小用F表示，则如图所示的四个F随x的变化关系图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．2022年9月2日，韦布空间望远镜拍摄的编号为“HIP 65426 b”第一张系外行星图像公布。这颗系外行星围绕编号为“HIP 65426”的恒星公转，该恒星的质量约为太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量为太阳的4倍，若“HIP 65426 b”行星单位时间单位面积获得的恒星辐射能量与处在太阳系中的地球相同，系外行星和地球绕恒星的运动均可视为匀速圆周运动，则“HIP 65426 b”行星绕“HIP 65426”恒星公转的周期约为（ ）
A．2年 B．4年 C．8年 D．16年
5．神舟十四号载人飞船采用自主快速交会对接模式，经过6次自主变轨，于北京时间2022年6月5日17时42分，成功对接于核心舱径向端口，对接过程历时约7小时。若某载人飞船沿圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，轨道半径为r，空间站沿圆轨道Ⅱ做匀速圆周运动，轨道半径为R，载人飞船和空间站运动方向相同。载人飞船运动到轨道Ⅰ的位置A时，加速变轨到椭圆轨道，此时空间站在轨道Ⅱ的位置B，，当载人飞船第一次运动至远地点时恰好与空间站相遇，再次加速变轨实现对接，此过程中，空间站转过的角度小于。则的大小为（ ）
A． B．
C． D．0
6． 1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上提出了万有引力定律，并通过月—地检验证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。已知地球的质量约为月球质量的80倍，地球的直径约为月球直径的4倍，同一物块在地球表面所受地球万有引力约为在月球表面所受万有引力的（ ）
A．5倍 B．20倍 C．倍 D．倍
7．2022年11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”。神舟十五号绕地球在距地面高度为h的轨道做匀速圆周运动。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．神舟十五号运行的周期为
B．神舟十五号运行的线速度为
C．神舟十五号轨道处的重力加速度为
D．地球的平均密度为
8．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号到月球“挖土”成功返回。作为中国复杂度最高、技术跨度最大的航天系统工程，嫦娥五号任务实现了多项重大突破，标志着中国探月工程“绕、落、回”三步走规划完美收官。若探测器测得月球表面的重力加速度为，已知月球的半径为，地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，忽略地球、月球自转的影响，则（ ）
A．月球质量与地球质量之比为
B．月球密度与地球密度之比为
C．月球第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比为
D．嫦娥五号在月球表面所受万有引力与在地球表面所受万有引力之比为
9．神舟号载人飞船发射前，在飞船舱内平台上放置一质量为m=4kg的物块，载人飞船随火箭竖直向上以a=5m/s2匀加速升空，当载人飞船上升到离地高度等于地球半径时，舱内平台对物块的支持力大小为（ ）（地面处重力加速度g=10m/s2）
A．30N B．40N C．50N D．60N
10．某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图像，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是（ ）
A．图线①是地球卫星运动的规律 B．地球的质量为
C．木星的密度为 D．木星与地球的密度之比为
11．《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为的物体重力为。已知地球半径为，不考虑地球自转，则此时太空电梯距离地面的高度约为（ ）
A． B． C． D．
多选12．某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（ ）
A．B与A的绕行周期之比为
B．rB的最大值与rB的最小值之比为3：1
C．rA的最大值与rA的最小值之比为3：2
D．rB的最小值小于rA的最大值
13．如图所示，地球可看作质量分布均匀、半径为R的球体，地球内部的a点距地心的距离为r，地球外部的b点距地心的距离为3r，。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，忽略地球的自转，则a、b两点的重力加速度大小之比为（ ）
A． B． C． D．
14．近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7000m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为（ ）
A． B．
C． D．
15．已知万有引力常量为G，地球半径为R，地球表面重力加速度为g。
（1）求地球的质量；
（2）某火箭内部有一个狭小空间放置了一个小型仪器（如图所示），火箭以的加速度向上匀加速升空的过程中，某时刻小型仪器受到平台给的支持力为其地表重力的0.75倍，求此时火箭距地球表面的高度。
16．我国执行首次火星探测的“天问一号”探测器于2021年2月10日成功进入环绕火星轨道，在登陆火星前开展了为期3个月的环火探测任务。在学习了万有引力的知识后，小红想根据查闭到的“天问一号”的一些数据来计算火星的质量，地得到一些数据加下：
天问一号：质量为m，距火星表面的高度为h，绕火星做匀速圆周运动的周期为。
火星数据：火星的半径为R，自转周期为。
万有引力常量为G。
请你根据小红提供的信息，选取有效的数据，计算火星的质量。明确目标 确定方向
掌握行星运动规律
万有引力定律的计算
重力和万有引力的关系
求中心天体质量和密度
【知识回归】 回归课本 夯实基础
第一部分：基础知识梳理
一、开普勒三定律
1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律：对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3.开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
二、万有引力定律及其应用
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。
2.表达式：F＝G
G为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3.适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)公式适用于质量分布均匀的球体之间的相互作用，r是两球心间的距离。
三．天体质量和密度的计算
1解决天体(卫星)运动问题的基本思路，天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝ma向＝m＝mω2r＝m。
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝。
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r。
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
第二部分重难点辨析
一万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
1在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
2在两极上：G＝mg0。
3在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
二．天体各处重力加速度的求法
1在星球表面附近的重力加速度g(不考虑星球自转)；mg＝G，得g＝。
2在星球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。
【典例分析】 精选例题 提高素养
多选【例1】．百武彗星是人类第一次探测到发射X射线的彗星，它的近日点仅0.1AU，周期很长（200年以上），已知地球的轨道半径为1AU，只考虑行星与太阳间的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．太阳处在百武慧星椭圆轨道的中心点上
B．百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大
C．地球的轨道半径小于百武彗星轨道的半长轴
D．在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
【答案】BC
【详解】A．根据题意百武慧星绕太阳做椭圆运动，太阳处于椭圆的一个焦点上，故A错误；
B．由于百武彗星从远日点到近日点的过程中引力做正功，所以在近日点的速度比在远日点的速度大，故B正确；
C．由题可知，地球的公转周期小于百武彗星的公转周期，根据开普勒第三定律可知，地球的轨道半径小于百武彗星轨道的半长轴，故C正确；
D．根据开普勒第三定律可知，在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故D错误。
故选BC。
多选【例2】．下表是一些有关火星和地球的数据，利用万有引力常量G和表中选择的一些信息可以完成的估算是（ ）
信息序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
信息内容 地球一年约365天 地表重力加速度约为 火星的公转周期为687天 日地距离大约是1.5亿km 地球半径6400km 地球近地卫星的周期
A．选择⑥可以估算地球的密度
B．选择①④可以估算太阳的密度
C．选择①③④可以估算火星公转的线速度
D．选择①②④可以估算太阳对地球的吸引力
【答案】AC
【详解】A．对地球近地卫星有
由于
解得
A正确；
B．选择①④时，只能求出太阳的质量，由于不知道太阳的半径，则不能求出太阳的密度，B错误；
C．根据开普勒第三定律有
可知，选择①③④可以估算火星到太阳的距离，根据
则可以估算火星的线速度，即选择①③④可以估算火星公转的线速度，C正确；
D．太阳对地球的吸引力
在地球表面有
可知，由于不知道地球的半径则不能求出地球的质量，则选择①②④不能够估算太阳对地球的吸引力，D错误。
故选AC。
【例3】．有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现将M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m2的万有引力F为多少（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】挖去小球前球与质点的万有引力
挖去的球体的质量
被挖部分对质点的引力为
则剩余部分对质点m的万有引力
故选A。
【例4】．牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题：
（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，若行星在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比；
（2）实际上行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看做匀速圆周运动。设行星与太阳的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力F与r的平方成反比
（3）我们知道，地球表面不同位置的重力加速度大小略有不同。若已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在赤道地面附近重力加速度大小为，在北极地面附近重力加速度大小为，求比值的表达式。
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】（1）根据
，
解得
（2）行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看做匀速圆周运动，则有
又由于
，
解得
可知，太阳对行星的作用力F与r的平方成反比。
（3）在赤道地面附近
在北极地面附近有
解得
【巩固练习】 举一反三 提高能力
_
多选．“古有司南，今有北斗”，如图甲所示的北斗卫星导航系统入选“2022全球十大工程成就”。组成北斗系统的卫星运行轨道半径r越高，线速度v越小，卫星运行状态视为匀速圆周运动，其v2-r图像如图乙所示，图中R为地球半径，r0为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径，图中物理量单位均为国际单位，引力常量为G，忽略地球自转，则（ ）
A．地球的质量为
B．地球的密度为
C．GEO卫星的加速度为
D．地球表面的重力加速度为
1【答案】BC
【详解】A．根据万有引力提供向心力，有
解得
故A错误；
B．地球的密度为
故B正确；
C．根据牛顿第二定律
解得
故C正确；
D．根据万有引力与重力的关系
所以地球表面的重力加速度为
故D错误。
故选BC。
多选2．2023年3月17日，我国成功将“高分十三号02星”发射升空，卫星顺利进入预定轨道。假设入轨后，“高分十三号02”以线速度为v绕地球做周期为T的匀速圆周运动。已知地球的半径为R，万有引力常量用G表示。由此可知（ ）
A．该卫星到地球表面的高度为 B．该卫星到地球表面的高度为
C．地球的质量 D．地球的质量
2【答案】AC
【详解】AB．由匀速圆周运动规律，可得该卫星的轨道半径为
所以该卫星到地球表面的高度为
故A正确，B错误；
CD．卫星绕地球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律
可得地球的质量
故C正确，D错误。
故选AC。
多选3．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体（假设它能够在地球内部移动）在x轴上各位置受到的重力大小用F表示，则如图所示的四个F随x的变化关系图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3【答案】BCD
【详解】设地球的密度为ρ，当x≥R时，物体所受的重力为
当x≤R时，可将地球“分割”为两部分，一部分是厚度为（R-x）的球壳，一部分是半径为x的球体，由题目信息可知，物体所受的重力为
对比可知，A选项的图正确，不符合题意。
故选BCD。
4．2022年9月2日，韦布空间望远镜拍摄的编号为“HIP 65426 b”第一张系外行星图像公布。这颗系外行星围绕编号为“HIP 65426”的恒星公转，该恒星的质量约为太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量为太阳的4倍，若“HIP 65426 b”行星单位时间单位面积获得的恒星辐射能量与处在太阳系中的地球相同，系外行星和地球绕恒星的运动均可视为匀速圆周运动，则“HIP 65426 b”行星绕“HIP 65426”恒星公转的周期约为（ ）
A．2年 B．4年 C．8年 D．16年
4【答案】A
【详解】设行星绕恒星做半径为的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为，以恒星为球心，以为半径的球面上，单位时间单位面积获得的辐射能量
设地球绕太阳公转的半径为，“HIP 65426 b”行星绕“HIP 65426”恒星公转的半径为，若“HIP 65426 b”行星和地球单位时间单位面积获得的能量相同，即不变，由于“HIP 65426”恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的4倍，可得
设恒星的质量为，行星在轨道上的运行周期为，由万有引力提供向心力有
解得
地球绕太阳公转的周期
“HIP 65426 b”行星绕“HIP 65426”恒星公转的周期
可得
年
故选A。
5．神舟十四号载人飞船采用自主快速交会对接模式，经过6次自主变轨，于北京时间2022年6月5日17时42分，成功对接于核心舱径向端口，对接过程历时约7小时。若某载人飞船沿圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，轨道半径为r，空间站沿圆轨道Ⅱ做匀速圆周运动，轨道半径为R，载人飞船和空间站运动方向相同。载人飞船运动到轨道Ⅰ的位置A时，加速变轨到椭圆轨道，此时空间站在轨道Ⅱ的位置B，，当载人飞船第一次运动至远地点时恰好与空间站相遇，再次加速变轨实现对接，此过程中，空间站转过的角度小于。则的大小为（ ）
A． B．
C． D．0
5【答案】B
【详解】根据开普勒第三定律得
整理得
飞船从近地点第一次到达远地点所用的时间为
在这段时间，空间站运行的角度为
整理得
故选B。
6． 1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上提出了万有引力定律，并通过月—地检验证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。已知地球的质量约为月球质量的80倍，地球的直径约为月球直径的4倍，同一物块在地球表面所受地球万有引力约为在月球表面所受万有引力的（ ）
A．5倍 B．20倍 C．倍 D．倍
6【答案】A
【详解】物体在地球表面受到地球万有引力为
物体在月球表面受到月球万有引力为
联立可得
故选A。
7．2022年11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”。神舟十五号绕地球在距地面高度为h的轨道做匀速圆周运动。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．神舟十五号运行的周期为
B．神舟十五号运行的线速度为
C．神舟十五号轨道处的重力加速度为
D．地球的平均密度为
7【答案】C
【详解】A．设地球的质量为，在地球表面物体的质量为，则由万有引力等于重力，有
可得
神舟十五号绕地球做圆周运动，设其质量为，运行周期为，由万有引力充当向心力有
解得
故A错误；
B．由万有引力充当向心力有
解得
故B错误；
C．设神舟十五号轨道处的重力加速度为，则由牛顿第二定律有
解得
故C正确；
D．地球的体积为
可得地球的平均密度为
故D错误。
故选C。
8．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号到月球“挖土”成功返回。作为中国复杂度最高、技术跨度最大的航天系统工程，嫦娥五号任务实现了多项重大突破，标志着中国探月工程“绕、落、回”三步走规划完美收官。若探测器测得月球表面的重力加速度为，已知月球的半径为，地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，忽略地球、月球自转的影响，则（ ）
A．月球质量与地球质量之比为
B．月球密度与地球密度之比为
C．月球第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比为
D．嫦娥五号在月球表面所受万有引力与在地球表面所受万有引力之比为
8【答案】A
【详解】A．由
可得质量之比
故A正确；
B．由
可得密度之比
故B错误；
C．由
可得第一宇宙速度之比为
故C错误；
D．嫦娥五号在月球表面所受万有引力与在地球表面所受万有引力之比为
故D错误。
故选A。
9．神舟号载人飞船发射前，在飞船舱内平台上放置一质量为m=4kg的物块，载人飞船随火箭竖直向上以a=5m/s2匀加速升空，当载人飞船上升到离地高度等于地球半径时，舱内平台对物块的支持力大小为（ ）（地面处重力加速度g=10m/s2）
A．30N B．40N C．50N D．60N
9【答案】A
【详解】由万有引力定律得，在地面处
在距离地面高处
解得
在h高处，对物块根据牛顿第二定律得
代入数据联立解得
故选A。
10．某天文爱好者根据地球和木星的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T，现作出如图所示的图像，图线①中c的左侧部分为虚线，图线②中b的左侧部分为虚线。已知引力常量为G，木星质量大于地球质量。下列说法正确的是（ ）
A．图线①是地球卫星运动的规律 B．地球的质量为
C．木星的密度为 D．木星与地球的密度之比为
10【答案】B
【详解】AB．根据万有引力提供向心力有
可得中心天体质量越大，的图像斜率越大，因木星质量大于地球质量，所以图线①是木星卫星运动的规律，故A错误；
B．图线②是地球卫星运动的规律，故
解得
故B正确；
CD．由图线①上的点可得木星的质量
木星的半径的三次方，根据木星的密度
解得
同理可得
故
故CD错误。
故选B。
11．《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为的物体重力为。已知地球半径为，不考虑地球自转，则此时太空电梯距离地面的高度约为（ ）
A． B． C． D．
11【答案】B
【详解】设地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球表面重力加速度为g0，太空电梯离地高度为h，太空电梯所在位置处重力加速度为，根据万有引力等于重力有
整理得
解得
故太空梯距离地面高度
故选B。
多选12．某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（ ）
A．B与A的绕行周期之比为
B．rB的最大值与rB的最小值之比为3：1
C．rA的最大值与rA的最小值之比为3：2
D．rB的最小值小于rA的最大值
12【答案】ABD
【详解】A．由图可知，A、B的周期为
所以B与A的绕行周期之比为
故A正确；
B．由图可知，当rB最小时卫星B受到的万有引力最大，有
当rB最大时卫星B受到的引力最小，有
所以rB的最大值与rB的最小值之比为
故B正确；
C．同理，当rA最小时卫星A受到的万有引力最大，，有
当rA最大时卫星A受到的引力最小，，有
所以rA的最大值与rA的最小值之比为
故C错误；
D．根据开普勒第三定律，有
解得
所以rB的最小值小于rA的最大值，故D正确。
故选ABD
13．如图所示，地球可看作质量分布均匀、半径为R的球体，地球内部的a点距地心的距离为r，地球外部的b点距地心的距离为3r，。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，忽略地球的自转，则a、b两点的重力加速度大小之比为（ ）
A． B． C． D．
13【答案】B
【详解】设地球密度为，根据题意可知点距地心距离为，且小于，则只有半径为的球体对其产生万有引力，则有
，
解得
点距地心的距离为，则有
，
解得
解得
故选B。
14．近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破7000m大关，我国的北斗导航系统也进入紧密的组网阶段。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为（ ）
A． B．
C． D．
14【答案】C
【详解】设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有
由于地球的质量
联立上式解得
根据题意，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为（R－d）的球体表面的重力，故“蛟龙号”在海里的重力加速度为
联立可得
对卫星，根据万有引力提供向心力有
解得加速度
所以
故选C。
15．已知万有引力常量为G，地球半径为R，地球表面重力加速度为g。
（1）求地球的质量；
（2）某火箭内部有一个狭小空间放置了一个小型仪器（如图所示），火箭以的加速度向上匀加速升空的过程中，某时刻小型仪器受到平台给的支持力为其地表重力的0.75倍，求此时火箭距地球表面的高度。
15【答案】（1）；（2）R
【详解】（1）对地球表面的物体，根据万有引力定律有
解得
（2）设卫星距地球表面高度为，则
N=0.75mg
在地球表面
解得
16．我国执行首次火星探测的“天问一号”探测器于2021年2月10日成功进入环绕火星轨道，在登陆火星前开展了为期3个月的环火探测任务。在学习了万有引力的知识后，小红想根据查闭到的“天问一号”的一些数据来计算火星的质量，地得到一些数据加下：
天问一号：质量为m，距火星表面的高度为h，绕火星做匀速圆周运动的周期为。
火星数据：火星的半径为R，自转周期为。
万有引力常量为G。
请你根据小红提供的信息，选取有效的数据，计算火星的质量。
16【答案】
【详解】设火星的质量为M，根据万有引力提供向心力可得
解得
