第十一章 三角形 单元练习
一．选择题（共12小题）
1．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，小亮从A点出发前进5m，向右转15°，再前进5m，又向右转15°…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）m．
A．24 B．60 C．100 D．120
3．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是（ ）
A．120° B．240° C．360° D．90°
5．在下列条件中：
①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，
③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在下列四个图形中，∠1＞∠2一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若△ABC满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是（ ）
A．∠C＝∠A+∠B B．∠C＝∠A﹣∠B
C．∠A：∠B：∠C＝1：4：3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
8．把一副常用三角板按如图所示拼在一起，延长ED交AC于点F．那么∠AFE为（ ）
A．120° B．105° C．90° D．75°
9．下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
12．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定值为（ ）
A．135° B．150° C．120° D．110°
二．填空题（共5小题）
13．正六边形的内角和是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，∠D＝60°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝ ．
15．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
16．若a、b、c满足（a﹣2）2++|c﹣3|＝0，则以a、b、c为边 （填“能”或“否”）构成三角形？若能构成三角形，则写出此三角形的周长 ．
17．如图，多边形ABCDEF和多边形ABGH分别为正六边形和正方形，连接CG，则∠CBG＝ °．
三．解答题（共4小题）
18．已知△ABC（如图），按下列要求画图：
（1）△ABC的中线AD；
（2）△ABD的角平分线DM；
（3）△ACD的高线CN；
（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝ ．
19．在△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，BD是∠ABC的平分线，求∠A的度数．
20．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，∠ADB＝∠ABD．BE是△ABD中AD边上的高线，延长BE交AC于点F．设∠ABC＝α，∠ACB＝β．
（1）当α＝70°时，∠ABF的度数为 ；
（2）求∠AFB的度数（用含α、β的式子表示）；
（3）若∠AFB＝∠BAF，求β的值．
21．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
参考答案
1--10CDBAC DDBBD 11--12CA
13．720°
14．240°
15．三角形具有稳定性．
16．能；5+5．
17．150．
18．解：（1）如图，AD为所作；
（2）如图，DM为所作；
（3）如图，CN为所作；
（4）∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵C△ADC﹣C△ADB＝3，
∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，
∴AC﹣AB＝3，
∵AB＝4，
∴AC＝AB+3＝4+3＝7．
故答案为：7．
19．解：设∠A＝x°，
∵∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝2∠A＝2x°，
∴∠C＝∠ABC＝2x°，
∴∠DBC＝x，
在△BDC中，由三角形的内角和定理可得：x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
即∠A为36°．
20．解：（1）∵BE是△ABD中AD边上的高线，
∴∠BED＝90°，
∵∠ABC＝∠ADB＝70°，
∴∠DBE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠ABF＝∠ABD﹣∠DBE＝140°﹣90°＝50°，
故答案为：50°；
（2）∵BE是△ABD中AD边上的高线，
∴∠BED＝90°，
∵∠ABC＝∠ADB＝α，
∴∠DBE＝90°﹣α，
∴∠ABF＝∠ABD﹣∠DBE＝2α﹣90°，
∵∠ABC＝α，∠ACB＝β，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣α﹣β，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAF＝180°﹣（2α﹣90°）﹣（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α+β；
（3）由（2）知，∠BAC＝180°﹣α﹣β，∠AFB＝90°﹣α+β；
∵∠AFB＝∠BAF，
∴180°﹣α﹣β＝90°﹣α+β，
∴β＝45°．
21．（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
