明确目标 确定方向
1动量守恒和弹性势能问题
2动量守恒和重力势能问题
3动量守恒和内能综合问题
【典例分析】 精选例题 提高素养
【例1】．如图所示，在光滑水平地面上，有用轻弹簧相连的A、B两物块，质量，弹簧处于原长，、两物块均处于静止。在、两物块连线的右边，有一质量为的C物块以的速度向左运动，与相碰，碰后二者粘在一起运动。求：
（1）C、B两物块相碰后的瞬间，C物块的速度？
（2）当轻弹簧的弹性势能最大时，物块的速度多大？
（3）轻弹簧弹性势能的最大值是多大？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）C、B两物块相碰，由动量守恒定律得
解得
（2）当轻弹簧的弹性势能最大时，、B、C速度相等，由动量守恒定律得
解得
（3）当轻弹簧的弹性势能最大时，、B、C速度相等，由C、B碰后系统机械能守恒得
【例2】多选．如图所示，AB段为一竖直圆管，BC为一半径为的半圆轨道，C端的下方有一质量为的小车，车上有半径的半圆轨道，E为轨道最低点，左侧紧靠一固定障碍物，在直管的下方固定一锁定的处于压缩的轻质弹簧，弹簧上端A放置一质量为的小球（小球直径略小于圆管的直径，远远小于R、r）。AB的距离为，A、E等高，某时刻，解除弹簧的锁定，小球恰好能通过BC的最高点P，从C端射出后恰好从D端沿切线进入半圆轨道DEF，并能从F端飞出。若各个接触面都光滑，重力加速度取，则（ ）
A．小球恰好能通过BC的最高点P，
B．弹簧被释放前具有的弹性势能
C．小球从F点飞出后能上升的最大高度
D．小球下落返回到E点时对轨道的压力大小N
【答案】BC
【详解】AB．由A到P过程中，小球机械能守恒，由机械能守恒定律得
在P点，由牛顿第二定律得
解得
，
A错误，B正确；
C．A到E过程中，A、E等高，由机械能守恒定律得
解得
小球由E上升到最高点过程中，小球与车组成的系统在水平方向动量守恒，以球的初速度方向为正方向，则
系统机械能守恒，则
代入数据联立解得，小球从F点飞出后能上升的最大高度为
C正确；
D．小球从第一次经过E点到再次返回到E点的过程中，小球与小车组成的系统在水平方向动量守恒，以小球的初速度方向为正方向，则
系统机械能守恒，则
解得，小球的速度大小为
方向水平向左；小车的速度大小为
方向水平向右。由于小球与小车运动的方向相反，所以二者的相对速度，则
在E点对小球受力分析，由牛顿第二定律
解得，小球受到的支持力
根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为115 N，D错误。
故选BC。
【例3】．如图所示，A、B、C的质量分别为、、，轻弹簧的左端固定在挡板上，C为半径的圆轨道，静止在水平面上。现用外力使小球A压缩弹簧（A与弹簧不连接），当弹簧的弹性势能为时由静止释放小球A，小球A与弹簧分离后与静止的小球B发生正碰，小球B到圆轨道底端的距离足够长，经过一段时间小球滑上圆轨道，一切摩擦均可忽略，假设所有的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度取。求：
（1）小球B能达到的最大高度；
（2）小球B返回圆轨道底端时对圆轨道的压力
（3）通过计算分析，小球B能否第二次进入圆轨道。
【答案】（1）；（2）63N；（3）不能
【详解】（1）设碰前小球A的速度为，从释放小球A到分离的过程，由能量守恒定律得
代入数据解得
A、B碰撞的过程，A、B组成的系统机械能守恒、动量守恒，设A、B碰撞后的速度分别为、，则有
带入数据解得
，
小球与圆轨道在水平方向上共速时上升的高度最高，设共同的速度为，小球与圆轨道组成的系统在水平方向上动量守恒，有
小球与圆轨道组成的系统能量守恒，有
代入数据解得
，
（2）设小球返回圆轨道底端时小球与圆轨道的速度分别，由动量守恒定律和能量能守恒定律可得
联立带入数据解得
，
在圆轨道底端对小球由牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律
，方向竖直向下
（3）球A与球B第一次碰后以的速度向左运动，再次压缩弹簧，根据能量守恒定律，球A与弹簧分离后的速度大小为，经过一段时间，球A与球B发生第二次碰撞，设碰后球A和球B的速度分别为、，根据动量守恒定律和能量能守恒定律得
联立带入数据解得
，
因为，所以小球B无法第二次进入圆轨道。
【巩固练习】 举一反三 提高能力
多选1．如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量为m的木块，现有质量为的子弹以大小为的水平速度射入木块并立刻留在木块中，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
B．子弹射入木块后的瞬间，它们的共同的速度为
C．子弹射入木块后，子弹和木块能上升的最大高度为
D．子弹射入木块后，子弹和木块能上升的最大高度为
【答案】BC
【详解】A．子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成的系统在竖直方向上存在加速度，即合外力不为零，动量不守恒，故A错误；
B．子弹射入木块的过程，子弹与木块组成的系统动量守恒，设射入后的瞬间子弹木块的共同速度大小为v1，根据动量守恒定律有
解得
故B正确；
CD．子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成的系统在水平方向上所受合外力为零，水平方向动量守恒，当三者达到共同速度v时，子弹和木块上升的高度最大，设为h，根据动量守恒定律有
从子弹射入木块后到子弹和木块上升到最大高度的过程中，根据机械能守恒定律有
联立解得
故C正确，D错误。
故选BC。
多选2．如图所示，在光滑足够长水平面上有半径R=0.8m的光滑圆弧斜劈B，斜劈的质量是M=3kg，底端与水平面相切，左边有质量是m=1kg的小球A以初速度v0=4m/s从切点C（是圆弧的最低点）冲上斜劈，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球A不能从斜劈顶端冲出
B．小球A能从斜劈顶端冲出后还会再落入斜劈
C．小球A冲上斜劈过程中经过最低点C时对斜劈的压力大小是30N
D．小球A从斜劈上返回最低点C时速度大小为2m/s，方向向左
【答案】ACD
【详解】C．小球A向右运动到斜劈最低点C时，设此时斜劈对小球的支持力为
代入数据得
N
小球A对斜劈的压力也是30N，选项C正确；
AB．假设小球能运动到斜劈顶端，此时小球和斜劈水平速度相等为，小球竖直速度为，水平方向动量守恒
小球和斜劈系统机械能守恒
联立得
小球A不能从斜劈顶端冲出，选项A正确，B错误；
D．当小球A在斜劈上返回最低点C时，设小球A和斜劈的速度分别为、
联立得
小球A从斜劈上返回最低点C时速度大小为2m/s，方向向左，选项D正确。
故选ACD。
多选3．如图，水平平面内固定有两根足够长的平行导槽，质量为2m的U型管恰好能在两导槽之间自由滑动，其弯曲部分是半圆形，B点为圆弧部分中点，轻弹簧右端固定于U型管C点处，图为该装置的俯视图。开始U型管静止，一半径略小于管半径、质量为m的小球以初速度从U型管A点向左射入，最终又从A点离开U型管，不计一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到B点时U型管的速度大小为 B．小球运动到B点时小球的速度大小为
C．U型管获得的最大速度为 D．弹簧获得的最大弹性势能为
【答案】ABD
【详解】AB．小球运动到B点时，小球与U型管在平行导槽方向具有的共同速度，小球与U型管在平行导槽方向满足动量守恒，则有
解得
设球运动到B点时小球的速度大小为，根据机械能守恒可得
解得
故AB正确；
C．当小球从A点离开U型管，U型管的速度最大，设此时小球的速度为，U型管的速度为，则有
解得
，
可知U型管获得的最大速度为，故C错误；
D．当小球与U型管具有共同速度时，弹簧获得的最大弹性势能，根据动量守恒可得
解得
根据能量守恒可得
解得
选项D正确；
故选ABD。
4．如图所示，质量为M的小车静置于光滑的水平面上，车的上表面粗糙，有一质量为m的木块以初速度v0水平地滑至车的上表面，若车足够长，则木块的最终速度大小和系统因摩擦产生的热量分别为（ ）
A．、 B．、
C．、 D．、
【答案】A
【详解】小物块滑上小车后，与小车组成的系统动量守恒、能量守恒，设二者的共同速度为，滑动过程中产生的热量为，则由动量守恒定律和能量守恒有
联立以上两式可得
，
故选A。
5．如图所示，在光滑的水平面上静止一质量的小车B，小车左端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C到小车右端的距离，这段车厢板与木块A（可视为质点）之间的动摩擦因数，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的车厢板上表面光滑。木块A以速度由小车B右端开始沿车厢板表面向左运动。已知木块A的质量，重力加速度取。则木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，小车和木块系统动量守恒，有
由能量守恒，得
联立解得
故选B。
6．如图所示，一轻质弹簧两端分别连着木块A和B，均静止于光滑的水平面上。木块A被水平飞行的初速度为的子弹射中并镶嵌在其中，已知子弹的质量为，木块A的质量为，木块B的质量为，下列说法正确的是（ ）
A．子弹击中木块A后，与A的共同速度大小为
B．子弹击中木块的过程中产生的热量为
C．弹簧压缩到最短时木块A的速度大小为
D．木块B在运动过程中的最大动能为
【答案】D
【详解】AB．子弹击中木块A过程，由动量守恒定律可得
解得子弹击中木块A后，与A的共同速度大小为
子弹击中木块的过程中产生的热量为
故AB错误；
C．弹簧压缩到最短时，由系统动量守恒可得
解得弹簧压缩到最短时木块A的速度大小为
故C错误；
D．弹簧恢复原长时，木块B的速度最大，即木块B的动能最大；由动量守恒和能量守恒可得
联立解得
则木块B的最大动能为
故D正确。
故选D。
7．如图所示，一个质量M=2.0kg的长木板AB静止在水平面上，木板的左侧固定一个半径R=0.60m的四分之一圆弧形轨道，轨道末端的切线水平，轨道与木板靠在一起，且末端高度与木板高度相同。现在将质量m=1.0kg的小铁块（可视为质点）从弧形轨道顶端由静止释放，小铁块到达轨道底端时的速度=3m/s，最终小铁块和长木板达到共同速度。铁块与长木板间的动摩擦因数，忽略长木板与地面间的摩擦。取重力加速度g=10m/s2。求：
（1）小铁块在弧形轨道末端时所受支持力的大小F；
（2）小铁块在弧形轨道上下滑过程中克服摩擦力所做的功Wf；
（3）小铁块和长木板达到的共同速度v以及相对于长木板滑动的距离x。
【答案】（1）；（2）（3），
【详解】（1）小铁块在弧形轨道末端时，根据牛顿第二定律可得
解得
（2）小铁块在弧形轨道上下滑过程中,根据动能定理可得
解得
（3）小铁块在木板上滑动过程中，系统的动量守恒，则有
解得
小铁块在木板上滑动过程中，小铁块、长木板的加速度大小为
运动时间为
小铁块、长木板的运动位移为
小铁块和长木板达到的共同速度相对于长木板滑动的距离
解得
8．如图所示，轻弹簧连接着两个质量均为的小球2、3，静止于光滑水平桌面上。另一个质量为的小球1以速度撞向小球2，的方向沿着两小球2和3连线方向，已知小球之间的碰撞为弹性碰撞且球1与球2之间不会发生二次碰撞，求：
（1）第一次碰撞刚结束时三个小球的速度分别是多少？
（2）经计算可知，在小球1和2发生第一次碰撞后的1.57s，弹簧第一次压缩到最短，求此时弹簧的弹性势能。
（3）在小球1和2发生第一次碰撞后的1.57s内，小球3的位移为5.7m。求此时小球1和小球2之间的距离。
【答案】（1），，；（2）；（3）
【详解】（1）对小球1和小球2组成的系统，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
，
解得
，
此时小球3还没有反应过来，其速度为0。
（2）碰撞后，小球2和小球3组成的系统动量守恒，则有
解得
小球2和小球3及弹簧组成的系统机械能守恒，则有
解得
（3）根据题意可知，发生第一次碰撞后的，小球2和小球3达到共速，根据小球的运动情况画出两小球的图像，如图所示
在运动过程中两小球的加速度大小始终相等，可知两条图线上下对称，根据图像的面积代表物体的位移可以得出小球2的位移为
而在此段时间内小球1一直保持匀速直线运动，故小球1的位移为
故时小球1、2之间的距离为
9．如图所示，光滑水平面与光滑曲面平滑连接，有两个半径相同的小球A、B，质量分别为m、3m。现让A球以速度向右运动与B球发生正碰，碰后小球A静止，小球B沿曲面上升的最大高度为（未知）；如果仅仅交换小球A、B位置，让B球以速度向右运动与A球发生正碰，碰后小球A沿曲面上升的最大高度为（未知）（设两次碰撞产生的热量相同）求：
（1）小球A、B碰撞过程损失的机械能；
（2）上述过程中，小球A、B上升最大高度的比值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）A球以速度碰撞B球，由动量守恒定理得
解得
此过程，由能量守恒定律得
解得
（2）A球碰撞B球后，对B球，根据能量守恒定律
解得
B球以速度碰撞A球，由动量守恒定理得
由能量守恒定理得
联立解得
，
或者
，（舍去）
B球碰撞A球后，对A球，据能量守恒定律
解得
所以
10．如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为2m，三者都处于静止状态，现使B以某一速度向右运动，B与A发生弹性碰撞，之后A与C发生完全非弹性碰撞，求：
（1）物体A、B、C最终速度大小各是多少：
（2）整个碰撞过程损失的机械能。
【答案】（1），A、C速度相同为v0；（2）
【详解】（1）B与A相碰，动量守恒定律
弹性碰撞
解得
A与C相碰
解得
所以最终A、C速度相同为v0
（2）整个碰撞过程损失的机械能明确目标 确定方向
1动量守恒和弹性势能问题
2动量守恒和重力势能问题
3动量守恒和内能综合问题
【典例分析】 精选例题 提高素养
【例1】．如图所示，在光滑水平地面上，有用轻弹簧相连的A、B两物块，质量，弹簧处于原长，、两物块均处于静止。在、两物块连线的右边，有一质量为的C物块以的速度向左运动，与相碰，碰后二者粘在一起运动。求：
（1）C、B两物块相碰后的瞬间，C物块的速度？
（2）当轻弹簧的弹性势能最大时，物块的速度多大？
（3）轻弹簧弹性势能的最大值是多大？
【例2】多选．如图所示，AB段为一竖直圆管，BC为一半径为的半圆轨道，C端的下方有一质量为的小车，车上有半径的半圆轨道，E为轨道最低点，左侧紧靠一固定障碍物，在直管的下方固定一锁定的处于压缩的轻质弹簧，弹簧上端A放置一质量为的小球（小球直径略小于圆管的直径，远远小于R、r）。AB的距离为，A、E等高，某时刻，解除弹簧的锁定，小球恰好能通过BC的最高点P，从C端射出后恰好从D端沿切线进入半圆轨道DEF，并能从F端飞出。若各个接触面都光滑，重力加速度取，则（ ）
A．小球恰好能通过BC的最高点P，
B．弹簧被释放前具有的弹性势能
C．小球从F点飞出后能上升的最大高度
D．小球下落返回到E点时对轨道的压力大小N
【例3】．如图所示，A、B、C的质量分别为、、，轻弹簧的左端固定在挡板上，C为半径的圆轨道，静止在水平面上。现用外力使小球A压缩弹簧（A与弹簧不连接），当弹簧的弹性势能为时由静止释放小球A，小球A与弹簧分离后与静止的小球B发生正碰，小球B到圆轨道底端的距离足够长，经过一段时间小球滑上圆轨道，一切摩擦均可忽略，假设所有的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度取。求：
（1）小球B能达到的最大高度；
（2）小球B返回圆轨道底端时对圆轨道的压力
（3）通过计算分析，小球B能否第二次进入圆轨道。
【巩固练习】 举一反三 提高能力
多选1．如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量为m的木块，现有质量为的子弹以大小为的水平速度射入木块并立刻留在木块中，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
B．子弹射入木块后的瞬间，它们的共同的速度为
C．子弹射入木块后，子弹和木块能上升的最大高度为
D．子弹射入木块后，子弹和木块能上升的最大高度为
多选2．如图所示，在光滑足够长水平面上有半径R=0.8m的光滑圆弧斜劈B，斜劈的质量是M=3kg，底端与水平面相切，左边有质量是m=1kg的小球A以初速度v0=4m/s从切点C（是圆弧的最低点）冲上斜劈，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球A不能从斜劈顶端冲出
B．小球A能从斜劈顶端冲出后还会再落入斜劈
C．小球A冲上斜劈过程中经过最低点C时对斜劈的压力大小是30N
D．小球A从斜劈上返回最低点C时速度大小为2m/s，方向向左
多选3．如图，水平平面内固定有两根足够长的平行导槽，质量为2m的U型管恰好能在两导槽之间自由滑动，其弯曲部分是半圆形，B点为圆弧部分中点，轻弹簧右端固定于U型管C点处，图为该装置的俯视图。开始U型管静止，一半径略小于管半径、质量为m的小球以初速度从U型管A点向左射入，最终又从A点离开U型管，不计一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到B点时U型管的速度大小为 B．小球运动到B点时小球的速度大小为
C．U型管获得的最大速度为 D．弹簧获得的最大弹性势能为
4．如图所示，质量为M的小车静置于光滑的水平面上，车的上表面粗糙，有一质量为m的木块以初速度v0水平地滑至车的上表面，若车足够长，则木块的最终速度大小和系统因摩擦产生的热量分别为（ ）
A．、 B．、
C．、 D．、
5．如图所示，在光滑的水平面上静止一质量的小车B，小车左端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C到小车右端的距离，这段车厢板与木块A（可视为质点）之间的动摩擦因数，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的车厢板上表面光滑。木块A以速度由小车B右端开始沿车厢板表面向左运动。已知木块A的质量，重力加速度取。则木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，一轻质弹簧两端分别连着木块A和B，均静止于光滑的水平面上。木块A被水平飞行的初速度为的子弹射中并镶嵌在其中，已知子弹的质量为，木块A的质量为，木块B的质量为，下列说法正确的是（ ）
A．子弹击中木块A后，与A的共同速度大小为
B．子弹击中木块的过程中产生的热量为
C．弹簧压缩到最短时木块A的速度大小为
D．木块B在运动过程中的最大动能为
7．如图所示，一个质量M=2.0kg的长木板AB静止在水平面上，木板的左侧固定一个半径R=0.60m的四分之一圆弧形轨道，轨道末端的切线水平，轨道与木板靠在一起，且末端高度与木板高度相同。现在将质量m=1.0kg的小铁块（可视为质点）从弧形轨道顶端由静止释放，小铁块到达轨道底端时的速度=3m/s，最终小铁块和长木板达到共同速度。铁块与长木板间的动摩擦因数，忽略长木板与地面间的摩擦。取重力加速度g=10m/s2。求：
（1）小铁块在弧形轨道末端时所受支持力的大小F；
（2）小铁块在弧形轨道上下滑过程中克服摩擦力所做的功Wf；
（3）小铁块和长木板达到的共同速度v以及相对于长木板滑动的距离x。
8．如图所示，轻弹簧连接着两个质量均为的小球2、3，静止于光滑水平桌面上。另一个质量为的小球1以速度撞向小球2，的方向沿着两小球2和3连线方向，已知小球之间的碰撞为弹性碰撞且球1与球2之间不会发生二次碰撞，求：
（1）第一次碰撞刚结束时三个小球的速度分别是多少？
（2）经计算可知，在小球1和2发生第一次碰撞后的1.57s，弹簧第一次压缩到最短，求此时弹簧的弹性势能。
（3）在小球1和2发生第一次碰撞后的1.57s内，小球3的位移为5.7m。求此时小球1和小球2之间的距离。
9．如图所示，光滑水平面与光滑曲面平滑连接，有两个半径相同的小球A、B，质量分别为m、3m。现让A球以速度向右运动与B球发生正碰，碰后小球A静止，小球B沿曲面上升的最大高度为（未知）；如果仅仅交换小球A、B位置，让B球以速度向右运动与A球发生正碰，碰后小球A沿曲面上升的最大高度为（未知）（设两次碰撞产生的热量相同）求：
（1）小球A、B碰撞过程损失的机械能；
（2）上述过程中，小球A、B上升最大高度的比值。
10．如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为2m，三者都处于静止状态，现使B以某一速度向右运动，B与A发生弹性碰撞，之后A与C发生完全非弹性碰撞，求：
（1）物体A、B、C最终速度大小各是多少：
（2）整个碰撞过程损失的机械能。
