2023-2024学年重庆市七校高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知第二象限角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象大致形状是( )
A. B.
C. D.
5.古希腊数学家泰特托斯，公元前公元前年详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，如图，则( )
A.
B.
C.
D.
6.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形如图所示，现以边长为的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为( )
A. B. C. D.
7.定义在上的偶函数满足，当时，，若在区间内，函数，有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数的图象关于点中心对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在上单调递增
D. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
10.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
11.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为游客乙所在座舱与甲所在座舱间隔个座舱在运行一周的过程中，甲、乙俩人距离地面的高度差下述结论正确的是( )
A.
B.
C. 在运行一周的过程中，的时间超过
D.
12.已知函数，则( )
A. 函数在上单调递增
B. 函数在上有两个零点
C. 对恒有，则整数的最大值为
D. 若，则有
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量与的夹角为，则______．
14.已知，是锐角，且，则 ______ ．
15.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为______ ．
16.在中，角，，的对边分别为，，，满足，，则 ______ ，的面积最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，．
求，；
已知集合，若满足_______，求实数的取值范围．
请从，，中选一个填入中横线处进行解答．
18.本小题分
已知函数
求函数的最小正周期和单调递增区间；
求函数在上的值域．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求函数在区间上的最大值和最小值；
若对任意的，均存在，使得，求的取值范围．
20.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，．
求的大小；
若，，为的中点，求．
21.本小题分
近日，随着李佳琦直播事件的持续发酵，国货品牌上演花式直播现有一品牌商也想借这个热度，采取了“量大价优”“广告促销”等方法，提高其下某商品的销售额市场调查发现，这种商品供不应求，生产出来都能销售完且此商品的月销售量万件与广告促销费用万元满足：，该产品的单价与销售量之间的关系定为：万元，已知生产一万件该产品的成本为万元，设该产品的利润为万元．
求与的函数关系式；利润销售额成本广告促销费用
当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？
22.本小题分
设且，．
若，求在处的切线方程；
若存在极值点．
求的取值范围；
证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，
则且，则集合，
则集合的子集有个．
故选：．
根据二次根式以及对数函数性质结合子集的定义可解．
本题考查二次根式以及对数函数性质以及子集的概念，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”．
故选：．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题即得．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：第二象限角的终边过点，
则，
故则．
故选：．
先求出，再将弦化切，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，，
则，
则函数为偶函数，排除选项B、；
又，
则排除选项A．
故选：．
由函数奇偶性排除选项B、，由，，，排除选项A，进而得解．
本题考查根据函数解析式确定函数图象，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：记，，
由图知：，，，
所以
．
故选：．
利用直角三角形中边角关系和两角和的余弦公式即可求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意知，等边三角形的边长为，从而，
扇形的面积等于以为圆心，为半径的圆的面积的，
故扇形的面积，
由“莱洛三角形”的定义可知，
其面积为．
故选：．
由题意得，从而，再求出扇形的面积，最后根据“菜洛三角形”面积与扇形面积之间的关系求出其面积即可．
本题考查解三角形问题，考查化归转与化思想，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：由，得，
又是偶函数，，则，
可得的周期为，
由，得的图象关于对称，
当时，，可得的大致图象如下，
若在区间内，函数有个零点，
等价于与的图象在有个交点，
结合图象，当时与的图象恰好有个交点，
当时与的图象有个交点，不符合题意，
可得，此时，可得．
则实数的取值范围是．
故选：．
原问题等价于与的图象在有个交点，利用已知可得是周期为的函数，且图象关于对称，画出的图象，结合图象可得答案．
本题考查了函数的零点，转化思想及数形结合思想，解题的关键点是将问题转化为与的图象在有个交点，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：正数，满足，
所以，即，
所以，
令，，则，
所以在时单调递增，
故，即，
所以，
令，，
则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，取得最小值，
所以的最小值为．
故选：．
由已知结合对数恒等式进行变形，然后进行构造函数，结合导数研究单调性，进而可求最值．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及最值，解题的关键是根据已知等式合理的进行构造函数，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由函数的图象可得，由，求得．
再根据五点法作图可得，即，，
，求得，
函数，
，不等于零，故A错误；
是最值，故B正确；
当时，，函数在上单调递增，故C正确；
将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故D错误．
故选：．
由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，结合图象及三角函数的性质可得结论．
本题主要考查了由的图象求解函数解析式，函数的图象变换，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项：因为，，，则，
即，当且仅当时等号成立，所以选项正确；
对于选项：因为，，则，
当且仅当时等号成立，所以选项正确；
对于选项：当且时，，所以选项错误；
对于选项：，
当且仅当，即时等号成立，所以选项正确．
故选：．
对于选项：根据基本不等式变式，即可求解；
对于选项：根据基本不等式得到，即可求解；
对于选项：令，，即可判断；
对于选项：利用“”的妙用得到，结合基本不等式，即可求解．
本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意开始转动后距离地面的高度为，可得是关于的三角函数，
如图所示，以摩天轮轴心为原点，以与地面平行的直线为横轴建立平面直角坐标系，
设摩天轮距地面最近点为，
因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，
则当时，游客甲位于，
所以为终边的角为，
而转一圈需要大约，
可知角速度大约为，
由题意可得：，即A正确；
当时，，即B错误；
因为，
由正弦函数的性质可得：，
故，即高度超过米时时间长，
显然高度超过米的时间长超过，故C正确；
甲乙所在位置分别设为、两点，甲乙座舱差个，
则，
故分钟后甲乙的高度分别为：，，
其高度差为：，即D正确．
故选：．
根据题意建立三角函数模型，先得出解析式，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可．
本题考查了三角函数应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数，
求导得，
令，
则，
对于，当时，
，，，
，函数在上单调递增，故A正确；
对于：当时，，，，
，函数在上单调递增，
而，
则，使得，
当时，，当时，，
因此在上递减，在上递增，
由选项A知，函数在上单调递增，
又，，，
则，，使得，
因此函数在上有两个零点，故B正确；
对于：对恒有，由选项B知，
，
令，，
，
函数在上单调递减，，
又，
则有 ，
因此整数的最大值为，故C错误；
对于：当时，
令，，
则，，
函数在上递减，，
即，函数在上递增，
，即，
令，，
显然在上单调递增，
则有函数在上单调递增，
因此，即，
所以当时，成立，故D正确．
故选：．
根据给定条件，求出函数的导数，再求出的导数，推导的正负判断；结合零点存在定理推理判断；利用导数探讨最值判断；利用导数证明不等式判断．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属难题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得，
．
故答案为：．
先利用两个向量的数量积的定义求出，根据，求得结果．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：已知，是锐角，且，
则，
则，
而，
所以．
故答案为：．
根据角的范围及正余弦值求得、，再由及差角正弦公式求值即可．
本题考查了两角和与差的三角函数，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为的定义域为，且，所以函数是奇函数，
由，所以函数为上单调递增的奇函数，
所以不等式对任意均成立等价于，
即，即对任意均成立，
又，当且仅当时取等号，
所以的取值范围为．
故答案为：．
根据函数为奇函数且为增函数得，则有，求出右边最小值即可．
本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由可得，
由，则，
则，
因为，
所以，
则，
所以，
则，
则，
则，
因为，
则，
则，
当且仅当，
即时取得等号，故，面积最大值为．
故答案为：；．
由已知可得，可得，进而可得，可求的面积最大值．
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：因为集合，，
所以，，
所以或．
选时，，所以，
若，则，解得；
若，则，解得；
综上，的取值范围是
选时，，所以，以下解法同选．
选时，，所以，以下解法同选．
【解析】化简集合，根据集合的运算法则求解即可．
选或选或选，都得出，讨论和，列出不等式求得的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
18.【答案】解：
，
的最小正周期，
由，，
解得，，
的单调递增区间为，．
，
，
，
则，
，即函数在上的值域为．
【解析】化简，由正弦函数的性质即可求解周期和单调区间；
由正弦函数的性质即可求解函数的值域．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：当时，，
，
当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
；
又，，，
．
若对任意的，均存在，
使得，问题可转化为．
，其对称轴方程为，
当时，取得最大值．
又，
，
当时，在区间上单调递增，无最大值，却满足题意；
当时，令，得，
所以在上单调递增，在单调递减，
故，
所以，解得：，综上所述，，
即的取值范围是．
【解析】代入的值，求出函数的导数，由此可求得在区间上单调递增，在区间上单调递减，从而可得函数在区间上的最大值和最小值；
问题可转化为，根据函数的单调性分别求出的最大值和的最大值，即可求出的范围．
本题考查了利用导数求曲线的切线方程，利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查导数的综合应用以及分类讨论思想，转化思想，考查推理运算能力
20.【答案】解：由结合正弦定理得，，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为为三角形内角，所以，
所以，
因为，所以；
在中，因为，
所以，
所以，
解得或，
当时，，则为钝角，不符合题意，
则，，
所以，
故．
【解析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求；
由已知结合余弦定理可求，然后结合向量的线性表示及向量数量积的性质可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可知，；
，
当且仅当，即时取等号，
所以当广告促销费用定为万元的时候，该产品利润最大，最大为万元．
【解析】根据利润销售额成本广告促销费用即可得到与的函数关系式；
由可知，再结合基本不等式求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
22.【答案】解：先作换底变换，可得，
则．
当时，，
则，而，则切线方程为，
即．
由知，
分母不影响符号，故只研究分子的变化情况．
设，
则．
第一种情形，若，则，而，则在上恒成立，
则在上单调递增，又因为当时，，
则在上恒成立，即在上恒成立，
则在上单调递增，则在定义域内无极值点；
第二种情形，若，令，得，易知在单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
而，
又因为当时，，当时，，则存在唯一的实数，
使得当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
则为函数的极大值点，所以的取值范围为．
证明：由前面的分析知的极大值点满足方程，
而，则，
当且仅当时取等号，此时，
故成立．
【解析】化简，求出，即可求出，，再由点斜式方程求解即可；
求出，令，讨论和，的单调性，即可求出的取值范围；
由知的极大值点满足方程，即可表示出，再结合基本不等式即可证明．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程，不等式的证明，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．
第1页，共1页
