2023-2024学年九年级第一次月考数学检测试卷
一．选择题（共10小题,每题4分）
1．已知关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．1或﹣1
2．若把抛物线y＝3x2﹣1向右平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3x2﹣3 B．y＝3x2+1
C．y＝3（x+2）2+1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1
3．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＞0
5．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
6．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（ ）
A．2＜α＜3≤β B．α≤2且β≥3 C．α≤2＜β＜3 D．α＜2且β＞3
7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝bx+a（b≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
9．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
10．点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，．其中正确的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④
二．填空题（共7小题，每题5分）
11．已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a，b的值：a＝ ，b＝ ．
12．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 ．
13．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为 ．
14．已知a、b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则a2+a+3b的值是 ．
15．2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为 ．
16．如图为函数：y＝x2﹣1，y＝x2+6x+8，y＝x2﹣6x+8，y＝x2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y＝x2﹣6x+8的图象的序号是 ．
17．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为
m2．
三．解答题
18．用恰当的方法解下列方程（10分，每题5分）
（1）x2﹣10x+25＝7 （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
19．关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有两个不相等的实数根．（10分）
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
20．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．（12分）
（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？
21．已知关于x的一元二次方程 x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（14分）
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，
①若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；
②若△ABC是等腰三角形，求k的值．
22．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”（如图所示）．已知：y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1）．（14分）
（1）请说明a、c的数量关系并确定b的取值；
（2）请你确定a的取值范围．
23．如图，已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上，（15分）
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点M（点C除外），使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．1或﹣1
解：由题意，得|a|+1＝2，且a﹣1≠0，解得a＝﹣1，故选：A．
2．若把抛物线y＝3x2﹣1向右平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝3x2﹣3 B．y＝3x2+1
C．y＝3（x+2）2+1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1
解：因为抛物线y＝3x2﹣1向右平移2个单位，得：y＝3（x﹣2）2﹣1，
故所得抛物线的表达式为y＝3（x﹣2）2﹣1．故选：D．
3．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5
解：一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5，
∴△＝9+20＝29，∴x＝，
则较小的根a＝，即﹣2＜a＜﹣1，
故选：A．
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＞0
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，函数开口向下，
∴函数值y＞0时，自变量x的取值范围是﹣2＜x＜4，
故选：C．
5．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）
A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）
解：y＝x2﹣2mx﹣4＝x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4＝（x﹣m）2﹣m2﹣4．
∴点M（m，﹣m2﹣4）．∴点M′（﹣m，m2+4）．∴m2+2m2﹣4＝m2+4．
解得m＝±2．∵m＞0，∴m＝2．∴M（2，﹣8）．故选：C．
6．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（ ）
A．2＜α＜3≤β B．α≤2且β≥3 C．α≤2＜β＜3 D．α＜2且β＞3
解：当p＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得α＝2，β＝3，
当p≠0，（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0，看作二次函数y＝（x﹣2）（x﹣3）与直线y＝p2＝0有两个公共点，而y＝（x﹣2）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），直线y＝p2在x轴上方，所以α＜2，β＞3，
综上所述，α≤2且β≥3．
故选：B．
7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝bx+a（b≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
解：在A中，由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，故选项A错误；
在B中，由一次函数图象可知，a＜0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＞0，故选项B错误；
在C中，由一次函数图象可知，a＜0，b＞0，由二次函数图象可知，a＜0，b＞0，故选项C正确；
在D中，由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项D错误；
故选：C．
8．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y1＞y3＞y2；
故选：D．
9．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
解：由题意知，
利润y和月份n之间函数关系式为y＝﹣n2+14n﹣24，
∴y＝﹣（n﹣2）（n﹣12），
当n＝1时，y＜0，
当n＝2时，y＝0，
当n＝12时，y＝0，
故停产的月份是1月、2月、12月．
故选：D．
10．点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，．其中正确的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④
解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≤3，（顶点在y轴上时取“＝”），故①错误；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，
因此，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，故②正确；
若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x＝1，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为﹣2﹣4＝﹣6，故③错误；
根据顶点坐标公式，＝3，
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝3，
∴＝﹣12，
∴CD2＝×（﹣12）＝，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣2）＝3，
∴＝32＝9，
解得a＝﹣，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故选：A．
二．填空题（共7小题）
11．已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a，b的值：a＝ 1 ，b＝ 2 ．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝b2﹣4a＝0，
若a＝1，则b可取2．
故答案为1，2（答案不唯一）．
12．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 y3＞y1＞y2 ．
解：把A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）分别代入y＝（x﹣2）2﹣1得：
y1＝（x﹣2）2﹣1＝3，y2＝（x﹣2）2﹣1＝5﹣4，y3＝（x﹣2）2﹣1＝15，
∵5﹣4＜3＜15，
所以y3＞y1＞y2．
故答案为y3＞y1＞y2．
13．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为 7 ．
解：一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则二次函数y＝ax2+bx的图象与直线y＝﹣m有交点，
由图象得，﹣m≥﹣7，解得m≤7，
∴m的最大值为7，
故答案为：7．
14．已知a、b是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则a2+a+3b的值是 7 ．
解：由题意知，ab＝﹣1，a+b＝2，x2＝2x+1，即a2＝2a+1，
∴a2+a+3b＝2a+1+a+3b＝3（a+b）+1＝3×2+1＝7．
故选答案为：7．
15．2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为 x（x﹣1）＝380 ．
解：设参赛队伍有x支，则
x（x﹣1）＝380．
故答案为：x（x﹣1）＝380．
16．如图为函数：y＝x2﹣1，y＝x2+6x+8，y＝x2﹣6x+8，y＝x2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y＝x2﹣6x+8的图象的序号是 ③ ．
解：y＝x2﹣1对称轴是直线x＝0，图象中第二个，
y＝x2+6x+8对称轴是直线x＝﹣3，图象中第一个，
y＝x2﹣6x+8对称轴是直线x＝3，图象中第三个，
y＝x2﹣12x+35对称轴是直线x＝6，图象中第四个，
故答案为：③．
17．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为 75 m2．
解：设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，
则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米，
故答案为：75．
三．解答题（共5小题）
18．用恰当的方法解下列方程
（1）x2﹣10x+25＝7
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
解：（1）x2﹣10x+25＝7，
（x﹣5）2＝7，
x﹣5＝±，
x1＝5+，x2＝5﹣．
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
方程变形得：3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
分解因式得：（x﹣1）（3x+2）＝0，
可得x﹣1＝0，3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣．
19．关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（k+2）2﹣4k ＞0且k≠0，
∴k2+4k+4﹣k2＞0，且k≠0，
∴k＞﹣1且k≠0，
即k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．
（2）不存在．理由如下：
∵关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝ ，x1 x2＝，
假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0，则x1，x2不为0，且+＝0，
∴+＝＝﹣＝0，
∴k+2＝0，
∴k＝﹣2，
而k＝﹣2与方程有两个不相等实数根的条件k＞﹣1且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在．
20．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．
（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？
解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%．
（2）2018年投入基础教育经费为7200×（1+20%）＝8640（万元），
设购买电脑m台，则购买实物投影仪（1500﹣m）台，
根据题意得：3500m+2000（1500﹣m）≤86400000×5%，
解得：m≤880．
答：2018年最多可购买电脑880台．
21．已知关于x的一元二次方程 x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，
①若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；
②若△ABC是等腰三角形，求k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：①k＝3时，方程为 x2﹣7x+12＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
∴AB＝3，AC＝4，
∵BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
②∵Δ＝1＞0，
∴AB≠AC，
∴AB、AC中有一个数为5．
当x＝5时，原方程为：25﹣5（2k+1）+k2+k＝0，
即k2﹣9k+20＝0，解得：k1＝4，k2＝5．
当k＝4时，原方程为 x2﹣9x+20＝0．
∴x1＝4，x2＝5．
由三角形的三边关系，可知4、5、5能围成等腰三角形，
∴k＝4符合题意；
当k＝5时，原方程为 x2﹣11x+30＝0，
解得：x1＝5，x2＝6．
由三角形的三边关系，可知5、5、6能围成等腰三角形，
∴k＝5符合题意．
综上所述：k的值为4或5．
22．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”（如图所示）．已知：y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1）．
（1）请说明a、c的数量关系并确定b的取值；
（2）请你确定a的取值范围．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
∴a+b+c＝﹣1 ①a﹣b+c＝1 ②
①+②得：a+c＝0 即a与c互为相反数，
①﹣②得：b＝﹣1；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），
∴对称轴为，
当a＜0时，抛物线开口向下，且＜0，
∵抛物线y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
画图可知，当≤﹣1时符合题意，此时﹣≤a＜0，
当﹣1＜＜0时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，
同理，当a＞0时，抛物线开口向上，且＞0，
画图可知，当≥1时符合题意，此时0＜a≤，
当0＜＜1时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，
综上所述：a的取值范围是﹣≤a＜0或0＜a≤．
23．如图，已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上，
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点M（点C除外），使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（﹣3，0），点D（﹣2，﹣3），
∴，得，
即二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3，
∴y＝0时，x＝﹣3或x＝1，
当x＝1时，y＝0，
∴点B的坐标为（1，0），
连接BD交对称轴于点P，
∵PA＝PB，
∴PA+PD的最小值是线段BD的长，
∵点B（1，0），点D（﹣2，﹣3），
∴BD＝＝3，
∴PA+PD的最小值是3；
（3）∵y＝x2+2x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
设点M的坐标为（a，a2+2a﹣3），
∵△ABM的面积等于△ABC的面积，点A（﹣3，0），点B（1，0），点C（0，﹣3），
△ABC的面积是：＝6，
∴＝6，
∴|a2+2a﹣3|＝3，
解得，a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+，a3＝﹣2，a4＝0（舍去），
∴点M的坐标为（﹣1﹣，3），（﹣1+，3）或（﹣2，﹣3）．
