2023年第一次月考
九年级数学
时量：120分钟 总分：120分
一、选择题（共12小题）
1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．用配方法解方程时，原方程变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若分式的值为0，则的值为（ ）
A．8 B． C．8或 D．4
6．下列各式化简后，能与合并的是
A． B． C． D．
7．关于的一元二次方程有一根为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
8．若，则的值为
A． B．2 C． D．
9．已知反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
10．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
11．已知关于的一元二次方程两个根为，，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为，那么长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题）
13．方程的解是__________．
14．计算的结果是__________．
15．若，则的取值范围是__________．
16．若为方程的一根，为方程的一根，且都是正数，则__________．
17．点在第二象限，化简__________．
18．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为__________．
三、解答题（共7小题）
19．计算：．
20．解方程：
（1）； （2）．
21．先化简，再求值：，其中．
22．已知，求下列代数式的值．
（1）． （2）．
23．某新建火车站站前广场有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
24．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，
①若时，请判断的形状并说明理由；
②若是等腰三角形，求的值．
25．如图，矩形中，，点从点出发沿向点移动（不与点、重合），一直到达点为止；同时，点从点出发沿向点移动（不与点重合）．运动时间设为秒．
（1）若点均以的速度移动，则：____________________；__________（用含的代数式表示）；
（2）若点为的速度移动，点以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？
（3）若点均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形？
参考答案
一、选择题（共12小题）
1．A
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列出不等式，求解即可．
【解答】解：由题意得，，解得．
2．D
【考点】最简二次根式
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：，因此不是最简二次根式；
B．，因此不是最简二次根式；
C．，因此不是最简二次根式；
D．的被开方数是整式，且不含有能开得尽方的因数或因式，所以是最简二次根式，
3．A
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断：根据二次根式的除法法则对B进行判断：根据二次根式的加减法对C、D进行判断．
【解答】故选：A
4．A
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】方程移项，配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程变形得：，配方得：，即，
5．A
【考点】分式的值为零的条件
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：，解得．
6．C
【考点】同类二次根式
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式判断即可．
【解答】解：A选项，原式，与不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式，与不能合并，故该选项不符合题意；
C选项，原式，与可以合并，故该选项符合题意；
D选项，原式，与不能合并，故该选项不符合题意；
7．A
【考点】一元二次方程的解：一元二次方程的定义
【分析】根据一元二次方程有一根为0和一元二次方程的定义，可以求得的值，本题得以解决．
【解答】解：一元二次方程有一根为0，
，解得，，
8．B
【考点】73：二次根式的性质与化简
【分析】根据题意确定和的符号，根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可．
【解答】解：，则，
9．C
【考点】根的判别式；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【分析】根据反比例函数的性质确定，再根据判别式确定方程的根．
【解答】解：在每一个象限内随着增大而增大，，
一元二次方程的判别式，
方程有两个不相等的实数根，
10．B
【考点】一元一次方程的解；一元二次方程的定义：根的判别式
【分析】当时，原方程化为一元一次方程，有一个实数解；当，原方程为一元二次方程，根据判别式的意义得到，，解得，然后综合两种情况即可得到的取值范围．
【解答】解：当，方程化为，解得；
当，解得，即且时，方程有两个实数解，
所以的取值范围为．
11．A
【考点】一元二次方程的定义；根与系数关系
【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：，
12．C
【考点】完全平方公式的几何背景
【分析】设，可得，根据完全平方公式可求得．
【解答】解：设，得，且，
即，
即，解得，
二、填空题（共5小题）
13．
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：，
则或，
解得，
14．5
【考点】二次根式的乘除法
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：．
15．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据已知得出，求出不等式的解集即可．
【解答】解：则的取值范围是
16．6
【考点】解一元二次方程-直接开平方法
【分析】先根据题意，利用直接开平方法和都是正数，求出的值，代入计算即可．
【解答】解：为方程的一根，为方程的一根，
，
，
17．
【考点】二次根式的性质与化简；点的坐标
【分析】先根据象限求出的范围，再根据二次根式的性质开出来即可．
【解答】解：点在第二象限，，
18．
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【分析】先根据新定义得出方程，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共7小题）
19．．
【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂
【分析】先根据二次根式的乘法法则、绝对值和负整数指数幕的意义计算，然后合并即可．
【解答】解：原式．
20．，
【考点】解一元二次方程-因式分解法；公式法
【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）利用求根公式解决．
【解答】解：（1），
则或，解得；
（2），
，
则，
，
21．；
【考点】分式的化简求值
【分析】原式利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算，通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式，当时，原式．
22．12；14
【考点】二次根式的化简求值；分式的加减法；76：分母有理化
【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，把与的值代入计算即可求出值；
（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，把与的值代入计算即可求出值．
【解答】解：，
（1）原式 （2）原式
23．2
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设人行通道的宽度为米，这每块矩形绿地的长为米、宽为米，根据矩形的面积公式结合两块矩形绿地的面积之和为56米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设人行通道的宽度为米，这每块矩形绿地的长为米、宽为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽为2米．
24．证明略：4或5．
【考点】根的判别式：等腰三角形的性质：三角形三边关系：根与系数的关系
【分析】（1）先计算出，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）（1）代入方程，解方程求得，然后利用勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形；
（2）把代入方程，求得的值，然后判断即可．
【解答】（1）证明：方程有两个不相等的实数根．
（2）解：①时，方程为，解得，
是直角三角形；
②中有一个数为5．
当时，原方程为：，
即，解得：．
当时，原方程为．
．由三角形的三边关系，可知4、5、5能围成等腰三角形，符合题意；
当时，原方程为，解得：．
由三角形的三边关系，可知5、5、6能围成等腰三角形，
符合题意．
综上所述：的值为4或5．
25．；当时，为等腰三角形；当时，四边形是菱形．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）根据路程速度时间，即可解决问题．
（2）过点作于点，用等腰三角形三线合一的性质，，列出方程即可解决问题．
（3）当时，四边形是菱形，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）．
（2）过点作于点，
，在矩形中，，
四边形是矩形，，又，
，
当时，为等腰三角形；
（3）在矩形中，，依题知，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，，
在中，，由，
解得：．
当时，四边形是菱形．
