2023-2024学年内蒙古呼和浩特市部分学校九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列图案中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的抛物线解析式为( )
A. B.
C. D.
3.二次函数的图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
4.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同．设共有家公司参加商品交易会，则满足的关系式为( )
A. B. C. D.
5.关于二次函数，下列说法正确的是( )
A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象的对称轴在轴的右侧
C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为
6.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是( )
A. B. C. D.
7.函数的图象经过点，，，则有( )
A. B. C. D.
8.观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
9.如图，二次函数的图象和一次函数的图象在同一平面直角坐标系中可能的情况是( )
A. B. C. D.
10.二次函数图象如图，下列结论：
；
；
若为任意实数，则有；
；
若，且，则．
其中正确的有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.方程的解为______ ．
12.已知坐标系中点和点关于原点对称，则 ______ ．
13.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围______．
14.将抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位后，得到的抛物线的解析式为______ ．
15.在二次函数中，与的部分对应值如表：
则，的大小关系为 ______ 填“”“”或“”
16.若点在抛物线上，且，则的取值范围是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17.图中是抛物线形拱桥，当水面宽为米时，拱顶距离水面米；当水面高度下降米时，水面宽度为多少米？
四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.本小题分
用适当的方法解下列一元二次方程．
；
．
19.本小题分
向阳村年的人均收入为元，年的人均收入为元，求人均收入的年平均增长率．
20.本小题分
正方形网格中网格中的每个小正方形边长是，的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
试作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形；点的坐标为______；
作关于原点成中心对称的；点的坐标为______．
21.本小题分
已知关于的方程有两个实数根、．
求的取值范围；
是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
如图，用长为的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度是，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长是单位：，面积是单位：
求与的函数关系式及的取值范围；
如果要围成面积为的花圃，的长为多少米？
长为多少时，花圃面积最大，最大面积是多少？
23.本小题分
某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为元件，售价为元件，下面是他们在活动结束后的对话：小丽：我发现此商品如果按元件销售，每星期可卖出件小强：我发现在售价元件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件小红：我发现在售价元件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件．
若设每件涨价元，则每星期实际可卖出______ 件，每星期售出商品的利润元与的关系式为 ______ ，的取值范围是______ ；
若设每件降价元，则每星期售出商品的利润元与的关系式为 ______ ；
在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？
24.本小题分
某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下：
其中， ______ ；
根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
观察函数图象，写出两条函数图象的性质______ ；
进一步探究函数图象发现：
函数图象与轴有______ 个交点，所以对应的方程有______ 个实数根；
函数图象与直线轴有______ 个交点，所以对应的方程有______ 个实数根；
关于的方程有个实数根时，的取值范围是______ ；
不等式的解集是______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项B、、的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，
先向右平移个单位，再向下平移个单位后的图象的顶点坐标为，
所以，所得抛物线解析式为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，
顶点坐标是．
故选：．
把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，个点没有三点共线之间连线，所有线段的条数．
每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有家公司参加，则每个公司要签份合同，签订合同共有份．
【解答】
解：设有家公司参加，依题意，得
，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】
解：，
当时，，故选项A错误；
该函数的对称轴是直线，故选项B错误；
当时，随的增大而减小，故选项C错误；
当时，取得最小值，此时，故选项D正确．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程的解根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
把代入方程就得到一个关于的方程，就可以求出的值．
【解答】
解：根据题意，得，
解得，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：因为函数的开口向上，且对称轴为直线，
所以抛物线上离对称轴越远的点，函数值越大．
又，，，
且，
所以．
故选：．
根据，，三个点离对称轴的远近，结合抛物线的增减性即可解决问题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知开口向上的抛物线上的点，离对称轴越远函数值越大是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了估算一元二次方程的近似解，解题关键是确定的值由负数变到正数时的范围．
由表格可发现的值在正数、负数之间变号时对应的的范围，即可得到答案．
【解答】
解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
的一个解的取值范围为和之间．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两结论矛盾，不符合题意；
B、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两结论矛盾，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两结论一致，符合题意；
D、由一次函数的图象可知，，由二次函数的图象可知，，两结论矛盾，不符合题意．
故选：．
根据二次函数的开口方向，与轴的交点；一次函数经过的象限，与轴的交点可得相关图象，进而可得结论．
本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于，图象经过一、三象限；小于，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于，图象开口向上；二次项系数小于，图象开口向下．
10.【答案】
【解析】解：图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，
，，，
，
，故错误；
对称轴是直线，与轴交点在左边，
二次函数与轴的另一个交点在与之间，
，故正确；
对称轴是直线，图象开口向下，
时，函数最大值是；
为任意实数，则，
，故正确；
，
由得，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，，
，故正确；
故正确的有个，
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键．
11.【答案】，
【解析】解：方程变形得：，
可得或，
解得：，．
故答案为：，
方程左边提取公因式分解后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
12.【答案】
【解析】解：坐标系中点和点关于原点对称，
，，
则．
故答案为：．
直接利用关于原点对称的点的性质，得出，的值，即可得出答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
13.【答案】且
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得且．
故答案为且．
因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以且，建立关于的不等式组，解得的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
14.【答案】
【解析】解：，
将抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位后，得到的抛物线的解析式为，即．
故答案为：．
根据平移的规律写出函数解析式即可．
本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由表格知：图象对称轴为：直线，当时，，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
，分别为点和的纵坐标，
，
故答案为：．
根据表格的、的值找出函数的对称轴，利用二次函数的性质即可得出答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由题知，
抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
所以当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小，
当时，函数取得大值为．
又点在抛物线上，且，
则当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为．
所以的取值范围是．
故答案为：．
根据抛物线的开口方向及对称轴，可得出抛物线的增减性，据此可解决问题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，能根据抛物线的开口方向及对称轴得出其增减性是解题的关键．
17.【答案】解：建立平面直角坐标系如图：
则抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式，
将点坐标代入，
可得，
解得，
故抛物线解析式为，
当水面下降米，通过抛物线在图上的观察可转化为当时，对应的抛物线上两点之间的距离，
也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
将代入抛物线解析式得，
解得，
所以此时水面宽度为米，
【解析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
本题主要考查二次函数的应用．
18.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，．
【解析】先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
19.【答案】解：设这两年的平均增长率为，由题意得：
，
解得：不合题意舍去，．
答：这两年的平均增长率为．
【解析】设这两年的平均增长率为，年的人均收入平均增长率年人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率．
本题考查了一元二次方程的运用，应明确增长的基数，增长的次数，根据公式增长后的人均收入增长前的人均收入增长率．
20.【答案】；
【解析】解：
如图所示：，即为所求，点的坐标为：；
故答案为：；
如图所示：，即为所求，点的坐标为：．
故答案为：．
【分析】
直接利用旋转的性质进而得出答案；
利用关于原点对称点的性质进而得出答案．
此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】解：整理得，
根据题意得，
解得；
成立．
根据题意得，，
，
，
，
整理得，
解得，，
，
当时，成立．
【解析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
利用根与系数的关系得到，，，再变形得到，所以，解关于的方程得到，，然后利用的范围可确定满足条件．
本题考查了根与系数的关系：一元二次方程的两根分别为，，则，也考查了根的判别式．
22.【答案】解：由题意可得，
，
，
，
即与的函数关系式是；
将代入，得
，
解得，不合题意，舍去，，
答：的长为米．
，对称轴，开口向下，
当时，有最大面积的花圃，最大面积为．
答：当时，围成的花圃的面积最大，最大面积为．
【解析】根据题意和图形可以得到与的函数关系式及的取值范围；
将代入中的函数关系式即可解答本题，注意的取值范围；
根据中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积．
本题考查二次函数的性质、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用函数和方程的思想解答．
23.【答案】 ，且为整数
【解析】解：进价为元件，按元件销售，每星期可卖出件，每涨价元，每星期比销售量件要少卖出件，设每件涨价元，
现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元，
，即，
，则，
，且为整数，
故答案为：，，，且为整数．
进价为元件，按元件销售，每星期可卖出件，每降价元，每星期比销售量件要多卖出件，设每件降价元，
现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元，
，即，
故答案为：．
由可知，，为整数，
，
当时，商品的利润最大，最大利润，
商品的定价为元时，销售利润最大，最大为元．
根据每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量件要少卖出件，由此即可求解；
根据每降价元，每星期比小丽所调查的销售量件要多卖出件，由此即可求解；
根据中数量关系，将变形为顶点式，即可求解．
本题主要考查二次函数与销售问题的综合，理解题目中的数量关系，列方程解方程是解题的关键．
24.【答案】 函数图象关于轴对称，当时，随的增大而增大 是 或．
【解析】解：当时，，
，
故答案为：．
根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．
观察函数图象，可得出：函数图象关于轴对称，当时，随的增大而增大．
故答案为：函数图象关于轴对称，当时，随的增大而增大；
观察函数图象可知：当、时，，
该函数图象与轴有个交点，
即对应的方程有个实数根．
故答案为：；．
观察函数图象可知：函数的图象与只有个交点．
故答案为：．
观察图象可知：关于的方程有个实数根时，的取值范围是．
故答案为：．
不等式的解集是或．
故答案为：或．
把代入函数解析式即可得的值；
描点、连线即可得到函数的图象；
根据函数图象得到函数的图象关于轴对称；当时，随的增大而增大；
根据函数图象与轴的交点个数，即可得到结论；根据的图象与直线的交点个数，即可得到结论；根据函数的图象即可得到的取值范围．
本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．
第1页，共1页
