2023-2024学年广东省中山市教学共进联盟九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知点，均在抛物线上，则、的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程配方后可变形为( )
A. B. C. D.
4.抛物线与轴只有一个公共点，则的值为( )
A. B. C. D.
5.学校“自然之美”研究小组在野外考察时了发现一种植物的生长规律，即植物的个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
6.二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是( )
A.
B.
C.
D. 或
7.对于抛物线，下列说法中错误的是( )
A. 抛物线与轴没有交点 B. 抛物线开口向下
C. 顶点坐标是 D. 函数有最大值，且最大值为
8.如图，正方形的边长为，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，点、、、分别位于边长为的正方形的四条边上，四边形也是正方形，正方形的面积最小时，的值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.方程的解是______．
12.二次函数的图象的顶点坐标是______．
13.如图，若被击打的小球飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为
14.某座石拱桥的桥拱近似抛物线形，以拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则其解析式为，当水面宽度是米时，水面到拱顶的高度是 米
15.已知抛物线在区间上的最小值是，则的值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
用适当的方法解下列一元二次方程：．
17.本小题分
已知抛物线解析式为．
写出抛物线的对称轴、顶点坐标；
抛物线与轴有交点吗？若有，请你求出抛物线与轴的交点坐标；若没有，请你说明理由．
18.本小题分
已知关于的一元二次方程：．
求证：不论为何实数，方程总有实数根；
当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积．
19.本小题分
如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为，宽为．
求通道的宽度；
某公司希望用万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
20.本小题分
如图，已知二次函数的图象顶点是，且过点．
求此二次函数的解析式；
已知直线与该二次函数图象相交于，点，求两点的坐标；
写出当在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
21.本小题分
如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米秒的速度移动，当点到达点或点到达点时，两点停止移动，如果、分别是从、同时出发，秒钟后，
求出的面积；
当的面积等于平方厘米时，求的值．
是否存在的面积等于平方厘米，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
22.本小题分
”双十一“淘宝网销售一款工艺品，每件的成本是元．销售期间发现，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本．设当销售单价为元，每天的销售利润为元．
求出与之间的函数表达式；
求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
如果每天的销售利润不低于元，那么每天的总成本至少需要______元？每天的总成本每件的成本每天的销售量
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，过点作轴交抛物线于点．
求此抛物线的表达式；
点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，求的面积；
若点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积最大，求出此时点的坐标和的最大面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【解答】
解：由题意知，
解得
2.【答案】
【解析】解：，
抛物线的对称轴为：，
，
抛物线开口向上，
点离直线比点离直线远，
，
故选：．
先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较两个点离直线的远近得到、的大小关系．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
则．
故选D．
先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．
本题考查配方法解一元二次方程．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，得到对应一元二次方程根的判别式等于是解题关键．
抛物线与轴只有一个公共点，对应的一元二次方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于，由此即可求解．
【解答】
解：抛物线与轴只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：依题意得：，
故选：．
根据在个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是个，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程．
6.【答案】
【解析】解：由图可知，或时，．
故选D．
根据图象，写出函数图象在轴上方部分的的取值范围即可．
本题考查了二次函数与不等式．
7.【答案】
【解析】解：抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，函数有最大值，最大值为；
令，则，即，
解得，，
抛物线与轴有两个交点．
故选：．
根据二次函数的性质对、、进行判断；通过判断方程的实数解的个数可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次根式的性质．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，正方形的边长为，，
，
，
该函数图象开口向上，对称轴为，
所以，四个选项中符合题意，、、不符合题意．
故选：．
由已知得，根据，求函数关系式，判断函数图象即可．
本题主要考查了二次函数的综合运用，正方形的性质，解题关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量取值范围，开口方向及对称轴．
9.【答案】
【解析】解：如图所示，
过抛物线的顶点作轴，与轴交于点，
则四边形是矩形，
抛物线：与轴只有一个公共点，与轴交于点，
，，
将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积，
．
故选：．
根据题意可推出，，，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积．
10.【答案】
【解析】解：正方形的边长为，设，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
同理可证≌≌≌，
，，
，
正方形的面积，
即：当即在边上的中点时，正方形的面积最小，
．
故选：．
因为正方形的边长为，设，则，易证≌≌≌，再利用勾股定理求出的长，进而得到正方形的面积，利用二次函数的性质即可求出面积的最小值．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等．
11.【答案】或
【解析】解：原方程可化为：，
解得或，
故答案为：或．
此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程两边公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．
12.【答案】
【解析】解：二次函数，
该函数图象的顶点坐标为，
故答案为：．
根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由二次函数顶点式可以直接写出顶点坐标．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的应用有关知识，根据关系式，令即可求得的值为飞行的时间．
【解答】
解：依题意，令得：
，
得，
解得舍去或，
即小球从飞出到落地所用的时间为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：水面的宽度为米，
的横坐标为，
把代入，
得，
，
故答案为：．
根据题意，把直接代入解析式即可解答．
本题考查了二次函数的实际应用，利用二次函数的解析式求值是解题关键．
15.【答案】或
【解析】解：，
二次函数的对称轴为直线，
时，即时，函数有最小值，
此时，，
解得；
时，函数有最小值，
此时，，
解得舍去，，
时，函数有最小值，
此时，，
解得舍去，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
先求出二次函数的对称轴为直线，然后分时，函数有最小值，时，函数有最小值，时，函数有最小值分别列方程求解即可．
本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数增减性，难点在于根据对称轴的情况分情况讨论．
16.【答案】解：移项得，，
配方得，，
，
，．
【解析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17.【答案】解：：
，
抛物线的对称轴是，顶点坐标是；
抛物线与轴有交点，
理由：当时，，
解得；．
抛物线与轴的交点坐标是，．
【解析】直接利用配方法求出抛物线的顶点坐标即可；
直接利用，进而求出抛物线与轴的交点坐标．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，正确求出抛物线与坐标轴的交点是解题关键．
18.【答案】证明：
，
不论为何实数，方程总有实数根；
解：当时，方程为，
设方程的两根分别为，，
由根与系数关系得，
．
所以菱形的面积是．
【解析】先计算判别式的值，再利用配方法得到，则，然后根据判别式的意义得到结论；
当时，方程为，设方程的两根分别为，，则根据根与系数关系可得，
然后根据菱形的面积公式求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式和菱形的性质．
19.【答案】解：设通道宽度为，
依题意得，即
解得，舍去
答：通道的宽度为．
设每次降价的百分率为，
依题意得
解得，舍去
答：每次降价的百分率为．
【解析】设通道的宽度为米．由题意，解方程即可；
可先列出第一次降价后承包金额的代数式，再根据第一次的承包金额列出第二次降价的承包金额的代数式，然后令它等于即可列出方程．
本题考查一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：二次函数的图象顶点是，
设二次函数表达式为，
点代入，得：，
解得：，
二次函数表达式为：；
由题意可得：，
解得：或，
，，
，；
解：由图象可得：
当一次函数图象在二次函数图象上方时，，
当时，一次函数的值大于二次函数的值．
【解析】根据顶点坐标设出顶点式，再将点坐标代入，即可求出解析式；
令，解方程即可得到、的横坐标，从而计算出纵坐标；
根据图象可得出当一次函数图象在二次函数图象上方时的取值范围．
本题考查了二次函数与一次函数综合，用待定系数法求二次函数的解析式，是中等难度题，要熟练掌握二次函数的图象和性质．
21.【答案】解：依题意：，，
所以的面积为：；
依题意：，即
解之得：，，
当的面积等于平方厘米时，的值为或；
不存在；
假设存在的面积等于平方厘米，
则，即，，故方程无实数根，
不存在的面积等于平方厘米．
【解析】的面积为，其中，，分别用关于的代数式代入面积公式即可；
令由求出的面积公式的代数式，解该方程得出的值；
假设存在使的面积等于平方厘米，令的代数式，看该方程是否有根，若有则证明存在，若无则不存在．
本题主要考查的是一元二次方程的应用，列出关于三角形面积的关系式，对于面积为平方米或平方米时，列出方程求解．
22.【答案】
【解析】解：
，
；
，
，
抛物线开口向下．
，对称轴是直线，
当时，；
当时，，
解得，．
当时，每天的销售利润不低于元，
当时，总成本为：，
当时，总成本为：，
所以如果每天的销售利润不低于元，那么每天的总成本至少需要元．
故答案为：．
根据“利润售价成本销售量”列出方程；
把中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
把代入函数解析式，求得相应的值，求出此时的成本即可确定每天的总成本至少需要多少元．
本题考查二次函数的实际应用．建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程．
23.【答案】解：抛物线交轴于点，交轴于点和点，
，得，
此抛物线的表达式是；
抛物线交轴于点，
点的坐标为，
轴，点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，
点的纵坐标是，点到的距离是，
当时，，得或，
点的坐标为，
，
的面积是：；
设点的坐标为，如右图所示，
设过点，点的直线的函数解析式为，
，得，
即直线的函数解析式为，
当时，，
，
的面积是：，
点是直线下方的抛物线上一动点，
，
当时，取得最大值，此时，点的坐标是，
即点的坐标是时，的面积最大，此时的面积是．
【解析】根据题意可以求得、的值，从而可以求得抛物线的表达式；
根据题意可以求得的长和点到的距离，从而可以求得的面积；
根据题意可以求得直线的函数解析式，再根据题意可以求得的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
本题考查二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
第1页，共1页
