2023-2024学年广西南宁市兴宁区重点中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的二次项系数是( )
A. B. C. D.
3.已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和圆的位置关系( )
A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 无法判断
4.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.为庆祝年月日神舟十六号成功发射，学校开展航天知识竞赛活动经过几轮筛选，某班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经统计，四名同学成绩的平均数单位：分及方差单位：分如表，根据表中数据，要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，应选择( )
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6.一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 没有实数根
7.如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，平行四边形的对角线，相交于点，下列结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为．( )
A. B. C. D.
10.电影流浪地球讲述了太阳即将毁灭，毁灭之后的太阳系已经不适合人类生存，而面对绝境，人类将开启“流浪地球”计划，试图带着地球一起逃离太阳系，寻找人类新家园的故事一经上映就获得追捧，第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达到了亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为，则可列方程( )
A. B.
C. D.
11.周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是( )
A. 小丽从家到达公园共用时间分钟 B. 公园离小丽家的距离为米
C. 小丽在便利店时间为分钟 D. 便利店离小丽家的距离为米
12.如图，抛物线与交于点，且分别与轴交于点、过点作轴的平行线，交抛物线于点、，则以下结论：
无论取何值，总是负数；
可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到；
当时，随着的增大，的值先增大后减小；
四边形为正方形．
其中正确的是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13.二次根式有意义，的取值范围是______．
14.如图，在中，，，则______．
15.抛物线顶点坐标是______ ．
16.已知的直径与弦的夹角为，过点的切线与的延长线交于点，且，则的半径为______．
17.已知函数，当时，则的取值范围为______ ．
18.如图，在正方形中，点、、分别在、、上，，，，，与交于点，连接，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
解一元二次方程：．
21.本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
与关于原点对称，画出；
将绕点逆时针旋转，在网格中画出旋转后对应的，并直接写出的坐标；
求经过点与的一次函数解析式．
22.本小题分
某校为了了解初一年级共名学生身体素质情况，对他们进行了身体素质测试，现随机抽取甲、乙两班各名同学的测试成绩单位：分进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班名学生测试成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，，
乙班名学生测试成绩中的成绩为：，，，，
【整理数据】
成绩分班级
甲
乙
【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
【应用数据】
根据以上信息，可以求出： ， ；
若规定测试成绩在分含分以上的学生身体素质为优秀，请估计初一年级名学生中身体素质为优秀的学生共有多少名；
根据以上数据，你认为哪个班学生的身体素质整体成绩较好？请说明理由一条理由即可．
23.本小题分
如图，已知中，，是外接圆的直径，过点作的垂线交的延长线于点，连接．
求证：平分；
是的切线．
24.本小题分
小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为元，当销售单价定为元时，每天可以销售件，市场调查反映：销售单价每提高元，日销量将会减少件，物价部门规定：销售单价不能超过元，设该纪念品的销售单价为元，日销量为件，日销售利润为元．
求与的函数关系式；
求日销售利润元与销售单价元的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
25.本小题分
已知抛物线经过点，．
求，的值；
若，是抛物线上不同的两点，且，求的值；
将此抛物线沿轴平移个单位长度，当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为，求的值．
26.本小题分
【综合与实践】数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：
【操作探究】如图，为等边三角形，将绕点旋转，得到，连接，则 ______ 若是的中点，连接，则与的数量关系是______ ．
【迁移探究】如图，将中的绕点逆时针旋转，得到，其他条件不变，求出此时的度数及与的数量关系．
【拓展应用】如图，在中，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接在旋转过程中，当时，直接写出线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】解：移项得，，
所以二次项系数为．
故选：．
先移项把一元二次方程化为一般式得，即可得到二次项系数．
本题考查了一元二次方程的一般式：一元二次方程的一般式为，其中叫二次项，叫二次项系数；叫一次项，叫一次项系数；为常数项．
3.【答案】
【解析】解：的半径为，点到圆心的距离为，，
点在圆外．
故选：．
直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：点关于原点对称点的坐标是．
故选：．
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由表格数据知，甲、丙成绩的平均数大于乙、丁，
所以甲、丙的平均成绩比乙、丁好，
又甲成绩的方差小于丙，
甲成绩好且状态稳定．
故选：．
根据平均数和方差的意义求解即可．
本题主要考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的意义是关键．
6.【答案】
【解析】解：，
所以方程有两个相等的实数根．
故选：．
计算出判别式的值即可得出答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
7.【答案】
【解析】解：绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
．
故选：．
根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．
8.【答案】
【解析】解：、平行四边形的对角线、相交于点，
，故此选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，故此选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，故此选项不符合题意；
D、当四边形是菱形时，，故此选项符合题意；
故选：．
根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可．
此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形的性质是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：由题意得：，
，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
．
故选：．
由垂径定理得，再由勾股定理得，即可得出结论．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故选：．
根据第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达到了亿元，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数图象，观察函数图象，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
根据图象信息即可解决问题．
【解答】
解：、小丽从家到达公园共用时间分钟，正确；
B、公园离小丽家的距离为米，正确；
C、小丽在便利店时间为分钟，错误；
D、便利店离小丽家的距离为米，正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
无论取何值，总是负数；
故正确；
抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，
可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到；
故正确；
，
随着的增大，的值减小；
故错误；
设与交于点，
当时，，
解得：或，
点，
当时，，
解得：或，
点，
，，
当时，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形．
故正确．
故选：．
由非负数的性质，即可证得，即可得无论取何值，总是负数；
求得抛物线的顶点左边，由抛物线的顶点左边，即可得可由向右平移个单位，再向下平移个单位得到；
由，可得随着的增大，的值减小；
首先求得点，，，的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形．
此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
13.【答案】
【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
直接二次根式的性质分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案是：．
根据圆心角、弧、弦的关系求解即可．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：二次函数顶点式的顶点坐标是，
抛物线顶点坐标是，
故答案为：．
运用二次函数顶点式的顶点坐标是进行求解．
此题考查了二次函数顶点式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
16.【答案】
【解析】解：是的切线，
，
根据圆周角定理得：，
在中，，，
因此．
故答案为：．
根据圆周角定理，可求得，已知的长，即可求出的值，也就是半径的长．
本题主要考查切线的性质、圆周角定理的应用．解题的关键是熟练掌握切线的性质．
17.【答案】
【解析】解：，
顶点坐标为，
时，有最小值，
当时，，
当时，的范围是．
故答案为：．
先把该二次函数的解析式化为顶点式，求出函数图象的开口方向和顶点坐标，即可求得函数的最小值，再求得时的函数值，即可得出结论．
本题考查的是二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出二次函数的顶点坐标是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，取的中点，连接、，
四边形是正方形，
，，，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，是的中点，
，
，，
，
，
，
当、、共线时，有最小值，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
过点作于点，取的中点，连接、，根据正方形的性质证明≌，然后根据直角三角形性质可得，当、、共线时，有最小值，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到≌．
19.【答案】解：
．
【解析】先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：，
，
，
，
，
或，
，．
【解析】根据解一元二次方程配方法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
21.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
的坐标为．
设经过点与的一次函数解析式为，
将，代入，
得，
解得，
经过点与的一次函数解析式为．
【解析】根据中心对称的性质作图即可．
根据旋转的性质作图，即可得出答案．
利用待定系数法求一次函数解析式即可．
本题考查作图旋转变换、中心对称、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、待定系数法求一次函数解析式是解答本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：甲班名学生测试成绩出现次数最多，
众数是分，则分；
把乙组个数按从小到大排列，则中位数是第个数，
即中位数出现在这一组中，故分；
故答案为：，；
根据题意得：
人，
答：估计参加防疫知识测试的名学生中成绩为优秀的学生共有人；
甲班成绩较好，理由如下：
因为甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，所以甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定答案不唯一，合理均可．
根据众数和中位数的定义求解可得；
用总人数乘以样本中甲、乙班成绩优秀人数和所占比例即可；
根据平均数、众数、中位数、方差的意义求解即可答案不唯一，合理均可．
本题考查了中位数、众数和平均数、方差的概念．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
23.【答案】证明：，
，
，，
，
平分；
连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
【解析】根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据角平分线的定义即可得到结论；连接，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：根据题意得，，
故与的函数关系式为；
根据题意得，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，，
答：当为时，日销售利润最大，最大利润元．
【解析】根据题意得到函数解析式；
根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润单个利润销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
25.【答案】解：把点，代入得，，
解得：；
由得函数解析式为，
把代入得，，
，
，且对称轴为直线，
；
，
抛物线开口向上，的对称轴为直线，
抛物线在时有最小值为，
向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值，
，
将代入得：，
或，
，
；
向右平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值，
，
将代入得：，
解得：或，
，
；
综上所述，或．
【解析】把点，代入解方程组即可得到结论；
把代入得到，于是得到，即可得到结论；
根据函数的性质，图象向左或向右平移，在自变量的值满足的情况下，对应的函数的最小值求出的值．
本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，平移规律，注意分类讨论，正确的理解题意是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：将等边绕点旋转，得到，
，，共线，，，共线，，，
，
，
，
，是的中点，
是的中位线，
，
故答案为：，；
等边三角形绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
；
是的中点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
答：的度数为，与的数量关系为；
当在上方时，如图：
，，
，
，
，
将绕点旋转，得到，
，
是的中点，
，
在中，
；
当在下方时，如图：
同理可得，，
，；
综上所述，的长为或．
由将等边绕点旋转，得到，知，，共线，，，共线，，，可得，故，而是的中点，知是的中位线，；
由等边三角形绕点逆时针旋转，得到，可得是等腰直角三角形，，故；根据是的中点，得是等腰直角三角形，，从而；
分两种情况：当在上方时，可得，而是的中点，有，故AF；当在下方时，同理可得．
本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，等腰直角三角形的性质及应用，旋转变换等，解题的关键是掌握旋转的性质和等腰直角三角形，含的直角三角形三边的关系．
第1页，共1页
