灵江中学 2023-2024学年第一学期高二月考
数 学（参考答案）
时间：120分钟 满分：150分 2023.10
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A D C B D A
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 AD BC BCD ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9 5
13. 2 14. 13 15. 2 16. 5
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分 10分）
答案（：1）-a+ 12 b+ c；（2） 17．
解析（：4分+6分）第（1）问ED1 写出合理的加法或减法结构即可给2分；第（2）问写出平方即可给1
分，平方展开正确2分．
（1）ED1=EC +CD+DD 1 11= 2 AD+ -AB +AA1=-a+ 2 b+ c；
（2）a b= 0，a c=-3，b c=-3，
ED1 = ED 21 = -a+ 1 +
2
b c = a2+ 1 b22 4 + c
2- a b+ b c- 2a c
= 4+ 1+ 9- 0+ -3 - -6 = 17．
18.（本小题满分 12分）
答案（：1）见解析；（2）1．
解析（：6分+6分）第（1）问建系+点坐标给1分；第（2）问距离公式对即给2分．
（1）如图建系A- xyz，则
A 0,0,0 ，B 1,0,0 ，C 1,1,0 ，D 0,1,0 ，A1 0,0,2 ，B1 1,0,2 ，C1 1,1,2 ，D1 0,1,2 ，E 0,0,1 ，
CE= -1, -1,1 ，B1D1= -1,1,0 ，B1E= -1,0, -1 ，
因为CE B1D1= 1- 1= 0，CE B1E= 1- 1= 0，
所以CE⊥B1D1，CE⊥B1E，又B1D1∩B1E=B1，
所以CE⊥平面EB1D1；
（2）设平面CB1D1的法向量m= x,y,z ，
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{#{QQABaYqUoggIAABAAQgCUwHyCECQkBEAAIoOBBAIMAAAQAFABAA=}#}
= ,- , = x= 2 C B 1 0 1 2 CB1 m 0 y= 2 m= 2,2,1 ，B1D1= -1,1,0 B1D1 m= 0 z= 1
又CE= -1, -1,1 ，
= CE md = 3所以 = 1． m 3
D1 C1
z
A1 B1
E y
C
D
A
B x
19.（本小题满分 12分）
答案（：1 14）见解析；（2） 7 ．
解析（：6分+6分）第（1）问建系+点坐标给1分，其他解法均可；第（2）问夹角公式对给1分．
（1）如图建系B- xyz，则
A 0,2,0 ，B 0,0,0 ，C 1,0,0 2 ，D 2,2,0 ，P 0,0,2 ，E 0,1,1 ，F 0,0, 3 ，
CE= -1,1,1 ，CD= 1,2,0 ,CF = -1,0, 23 ，
-1=-x+ y
x= 2
设CF = xCE+ yCD，则 0= x+ 2y 3 ，
2 y=- 1
3 = x 3
所以CF = 2 CE- 13 3 CD，
所以点F在平面ECD内；
（2）设平面ECD的法向量m= x,y,z ，
= - , , = x= 2 C E 1 1 1 C E m 0 y=-1 m= 2, -1,3 ，CD= 1,2,0 CD m= 0 z= 3
又平面PAB的法向量n= 1,0,0 ，
cosθ= cos m,n = m n = 2 = 14所以 ． m n 14 7
P z
E
y
F A D
B C x
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{#{QQABaYqUoggIAABAAQgCUwHyCECQkBEAAIoOBBAIMAAAQAFABAA=}#}
20.（本小题满分 12分）
答案（：1 3 13）见解析；（2） 13 ．
解析（：6分+6分）第（1）问面面垂直说明2分，建系+点坐标给1分；第（2）问夹角公式对给1分．
（1）取AC中点H，连接DH，因为DA=DC，所以DH⊥AC，
又平面ACD⊥平面ABC，则有DH⊥平面ABC，
如图建系C- xyz，则
A 2,0,0 ，B 0,2 3 ,0 ，C 0,0,0 ，D 1,0,1 ，M 1 12 , 3 , 2 P
1 , 3 1 3 3， 4 2 , 4 ，Q 2 , 2 ,0 ，
则PQ= 5 14 ,0, - 4 ，
又平面ACD的法向量m= 0,1,0 ，
因为PQ m= 0，则PQ⊥m，
所以PQ 平面ACD；
（2）设平面BCD的法向量n= x,y,z ，
x= 1
C B = 0,2 3 ,0 A B n= 0 y= 0 n= 1,0, -1 ，CD= 1,0,1 AD n= 0 z=-1
又PQ= 54 ,0, -
1
4 ，
3
所以 sinθ= , = PQ n cos PQ n = 2 = 3 13 ． PQ n 26 × 134 2
z
D
M
P B
C y
H
Q
A
x
21.（本小题满分 12分）
3 7
答案（：1）见解析；（2） 7
解析（：6分+6分）第（1）问面面垂直说明2分，建系求点1分；第（2）问点D坐标出来3分．
（1）取BE中点F，连接CF，因为CB=CE，则CF⊥BE，
又平面CBE⊥平面ABE，则CF⊥平面ABE，
设CF= h，如图建系B- xyz，则
A - 3 , 3 3 ,0 B 0,0,0 E 2,0,0 C 1,0,h D 1 , 3 32 2 ， ， ， ， 4 4 ,h ，
设平面DAE的法向量m= x,y,z ，
第 3页·共 5页 高二上数学
{#{QQABaYqUoggIAABAAQgCUwHyCECQkBEAAIoOBBAIMAAAQAFABAA=}#}
AD=
7
4 , -
3 3
4 ,h x= 3 3 AD m= 0 y= 7 m= 3 3 ,7,0 ，AE= 7 , - 3 3 ,0 AE m= 0 2 2 z= 0
又平面ABE的法向量n= 0,0,1 ，
因为m n= 0，则m⊥n，
所以平面DAE⊥平面ABE；
3 3 3 2 BA= - , ,0 BD= 1 , 3 3（ ） 2 2 ， 4 4 ,h ，
则 cos∠ BA BDDAB = = 3 = 1 ，解得 h= 3 ，
BA BD 3× 74 +
2 2
h2
BD= 1 , 3 3 3则 4 4 , 2 ，
又平面ABE的法向量n= 0,0,1 ，
3
则 sinθ= cos BD,
BD n
n = = 2 = 3 ， BD n 2 4
tanθ= 3 7所以 7 ．
z
D C
x
E
y
F
y A B
22.（本小题满分 12分）
2 3 5
答案（：1）3 ；（2） 7 ．
解析（：5分+7分）第（1）问点P的位置确定3分；第（2）问倍数假设就给1分，线面角和面面角公式
有一个对就给1分（两个都对也只有1分）．
（1）取AC中点O，如图建系O- xyz，则
A 1,0,0 ，B 0,2,0 ，C -1,0,0 ，
设P x,y,z ，
PA = 6 x- 1
2+ y2+ z2= 6 x= 0
PC = 6 x+ 1
2+ y2+ z2= 6 y=-2 P 0, -2,1 ， PB = 17 x2+ y- 2 2+ z2= 17 z= 1
h = 1 S = 2 V= 1 2则 P ，又 △ABC ，所以 Sh=
3 3
；
（2）设AM = λAP= λ -1, -2,1 ，则M -λ+ 1, -2λ,λ ，
则CM = -λ+ 2, -2λ,λ ，
又平面ABC的法向量m= 0,0,1 ，
第 4页·共 5页 高二上数学
{#{QQABaYqUoggIAABAAQgCUwHyCECQkBEAAIoOBBAIMAAAQAFABAA=}#}
= , = C M m则 sinθ cos CM m = λ = 21 2 CM m 6λ2- 4λ+ 4 21 ，解得 λ= 5 ，
3
所以M 5 , -
4 , 25 5 ，
设平面MBC的法向量n1= x,y,z ，
BM = 3 , - 14 , 2 = x= 2B 5 5 5
M n1 0 y=-1 n = 2, -1, -10 ，
BC = -1, -2,0 BC n2=
1
0 z=-10
设平面PBC的法向量n2= x,y,z ，
x= 2
B P = 0, -4,1 B P n2= 0 y=-1 n = 2, -1, -4 ，BC = -1, -2,0 BC 2n2= 0 z=-4
= , = n1 n则 cosθ cos n n 2 = 45 = 3 51 2 ． n1 n2 105 × 21 7
z P
M
x A C
y B
第 5页·共 5页 高二上数学
{#{QQABaYqUoggIAABAAQgCUwHyCECQkBEAAIoOBBAIMAAAQAFABAA=}#}灵江中学 2023-2024学年第一学期高二月考
数 学
时间：120分钟 满分：150分 2023.10
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.在空间四边形OABC中，OC -BC +BA= ( )
A. OA B. AC C. OC D. AB
2.点M 3, -2,1 关于 x轴对称的点的坐标是 ( )
A. 3, -2,1 B. 3,2, -1 C. -3,2,1 D. -3, -2,1
3.在三棱锥OABC中，M在AB上，AM = 2MB，N是OC的中点．令OA= a，OB= b，OC = c，
则用 a,b,c 表示MN 为 ( )
A. - 13 a-
2 1
3 b+ 2 c B. -
2 a- 13 3 b+
1
2 c
C. 13 a+
2 1
3 b+ 2 c D.
2
3 a+
1
3 b+
1
2 c
4.已知平面 α的法向量为m= 2,1, -2 ，AB = -1, - 12 ,1 ，则直线 AB和平面 α的位置关系是
( )
A. AB α B. AB α
C. AB与 α相交但不垂直 D. AB⊥ α
5.已知向量 a= 1,0, -1 ，b= -2,2,0 ，则 a与 b的夹角是 ( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 135°
6.已知直线 l的方向向量 v= -1,2,1 ，若点 1,1,0 是直线 l上的点，下列点坐标中，也是直线 l上的
点是 ( )
A. 2,3,3 B. 3, -3, -2 C. -1,2,1 D. 1, -1, -2
7.已知 a= 1,0, -1 ，b= 0,1,1 ，存在实数 λ> 2，μ> 2，使得 a+ λb ⊥ μa+ b ，则 λμ的最小值
是 ( )
A. 16 B. 5+ 8 2 C. 15 D. 7+ 4 3
8. A如图，将正方形ABCD纸片沿对角线BD翻折，若E，F分别为BC，AD的
中点，O为原正方形ABCD的中心，使得折纸后的二面角A-BD-C的 F
大小为 120°，则此时 cos∠EOF 的值为 ( ) B D
O
A. - 34 B. -
1 E
2
C. - 1 D. - 1
C （第 8题）
4 3
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二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
9.已知空间向量 a= 1,0,2 ，b= -1,1,1 ，则 ( )
A. 2a- b= 3, -1,3 B. a⊥ b
C. 1 1 1 a+ b = 10 D. a在 b的投影向量的坐标是 - 3 , 3 , 3
10.若 a,b,c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的有 ( )
A. a+ b，a，a- b B. a+ b，b+ c，a+ c
C. a，a+ b+ c，a+ c D. a+ b，a+ c，3a+ b+ 2c
11.在空间直角坐标系O- xyz中，O是坐标原点，A 0,1,0 ，B -1,2,1 ，C 1,3, -1 ，下列选项中，正
确的有 ( )
A. AB⊥BC B.平面ABC的一个法向量是 1,0,1
C. △ABC 3 2 6的面积是 2 D.点O到直线AB的距离是 3
12.如图，棱长为 1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，P为
线段C1F内的动点（含端点），则 ( ) D1 C1
A. C1F 平面AB1E BA 11
B.存在点P，使得AP⊥B1E E P
C.平面AB1E与底面ABCD
2
所成角的余弦值是 3 F
D.三棱锥P-AB 11E的体积是 12 D C
A B
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （第 12题）
13.已知空间向量 a= 1, -2,2 ，b= 2,x,1 ，若 a⊥ b，则 x= ．
14.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC= 2，AA1= 3，则异面直线AD1和DC1所成角的余弦值
是 ．
15.如图，三棱锥 P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥ BC，且AB= BC= 2，AP= a．若D是棱
PC 1上的点，满足PD= 3 PC，且AD⊥PB，则 a= ．
16.如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是 1，且它们所在的平面所成的二面角D-AB-F
的大小是 60°，M，N分别是AC，BF上的动点，且AM=BN，则MN的最小值是 ．
P
F E
D N
A
B BA M
D C
C
（第 15题） （第 16题）
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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分 10分）
如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，AB = AD = 2，AA1= 3，∠BAD = 90°，∠A 1
AB =
∠A1AD= 120°，E是BC的中点．令AB= a，AD= b，AA = c． 1
（1）用 a，b，c表示向量ED1；
（2）求ED1的长．
D1 C1
A1 B1
D C
A EB
18.（本小题满分 12分）
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC= 1，AA1= 2，E是AA1的中点．
（1）求证：CE⊥平面EB1D1；
（2）求点E到平面CB1D1的距离．
D1 C1
A1 B1
E
C
D
A B
19.（本小题满分 12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，BC AD，∠BAD= 90°，
PB=AB=AD= 2，BC= 1 1，点E是AP的中点，F是PB上的点，满足BF= 3 BP．
（1）求证：点F在平面ECD内；
（2）求平面ECD与平面PAB所成角的余弦值．
P
E
A
D
F
B C
第 3页·共 4页 高二上数学
{#{QQABaYqUoggIAABAAQgCUwHyCECQkBEAAIoOBBAIMAAAQAFABAA=}#}
20.（本小题满分 12分）
如图，平面ACD⊥平面ABC，AC⊥BC，AC= 2，BC= 2 3，DA=DC= 2，M是BD的中
点，P是CM 1的中点，点Q在线段AB上，且AQ= 3 QB．
（1）求证：PQ 平面ACD；
（2）求PQ与平面BCD所成角的正弦值．
D
M
P
C B
Q
A
21.（本小题满分 12分）
如图，四棱锥 E- ABCD中，平面 CBE⊥平面 ABE，∠ABE= 120°，AB= 2DC= 3，BE= 2，
DC AB，CB=CE．
（1）求证：平面DAE⊥平面ABE；
（2）若∠DBA= 60°，求BD与平面ABE所成角的正切值．
D C
E
A B
22.（本小题满分 12分）
如图，三棱锥P-ABC中，AB=BC= 5，AC= 2，PA=PC= 6，PB= 17．
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）若点M在棱AP上，且直线CM与平面ABC 21所成角的正弦值为 21 ，求二面角M-BC-P
所成角的余弦值．
P
M
A C
B
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{#{QQABaYqUoggIAABAAQgCUwHyCECQkBEAAIoOBBAIMAAAQAFABAA=}#}
